Kapitel
Im Folgenden lösen wir Aufgaben zu den Thematiken:
- Faktorisierung eines Binoms
- Faktorisierung eines perfekten quadratischen Trinoms
- Faktorisierung eines quadratischen Trinoms
- Faktorisierung eines Trinoms zweiten Grades
- Faktorisierung eines Polynoms vierten Grades
- Faktorisierung eines unvollständigen Polynoms dritten Grades
- Faktorisierung durch Anpassung des Gleichungsgrads
Polynomfaktorisierung und Ermittlung von Nullstellen: Aufgaben
span class="sa">1 Um zu faktorisieren, beachte, dass 
ein gemeinsamer Faktor beider Terme ist
span class="sa">2 Um die Wurzel (=Nullstelle) herauszufinden, muss der Wert von 
so gewählt sein, dass die Gleichung Null ergibt. Für 
trifft dies in zwei Fällen zu: wenn 
ist und wenn 
ist
Folglich sind die Wurzeln 
und 
span class="sa">1 Um zu faktorisieren, beachte, dass 
ein gemeinsamer Faktor beider Terme ist
span class="sa">2 In diesem Fall ist die einzige Nullstelle, da das Polynom 
keine Wurzeln hat, d.h. es gibt keine reelle Zahl für die 
wäre
span class="sa">1 Wende die Quadratdifferenz an
span class="sa">2 Die Wurzeln, mit denen jeder Faktor Null ergibt, sind
und 
span class="sa">1 Wende die Quadratdifferenz an
span class="sa">2 Wende die Quadratdifferenz erneut beim zweiten Faktor an
span class="sa">3 Die Wurzeln, mit denen jeder Faktor Null ergibt, sind
y
Beachte, dass der Faktor 
keine reelle Wurzel besitzt
span class="sa">1 Hier liegt ein perfektes quadratisches Trinom vor, das auch als quadratisches Binom geschrieben werden kann. Stelle die folgenden Fragen:
Welche Zahl zum Quadrat ergibt 
? Und welche Zahl zum Quadrat ergibt ?
Prüfe, wann das doppelte Lösungsprodukt gleich 
ist
span class="sa">2 Dies ist für 
und der Fall, d.h. die Faktorisierung muss wie folgt aussehen
span class="sa">3 Die Wurzel, mit denen jeder Faktor Null ergibt, ist
. Man nennt sie auch doppelte Nullstelle
span class="sa">1 Wende in diesem Fall die allgemeine Formel für Gleichungen zweiten Gradesan. Dafür muss die Gleichung gleich Null gesetzt werden, das heißt 
. Ermittle die Werte von (Nullstellen der Gleichung) mithilfe der allgemeinen Formel
Löse auf und du erhältst die Nullstellen 
span class="sa">2 In diesem Fall sind die Faktoren der Gleichung
.
span class="sa">1 Setze das Polynom gleich Null und führe einen Variablentausch durch 
Durch Einsetzen der neuen Variable erhältst du 
span class="sa">2 Löse die Gleichung zweiten Grades auf
Du erhältst die Nullstellen 
span class="sa">3 Durch Variablentausch erhältst du ; löse auf und du erhältst die Nullstellen
span class="sa">4 In diesem Fall sind die Faktoren der Gleichung
.
span class="sa">1 Setze das Polynom gleich Null und führe einen Variablentausch durch
Durch Einsetzen der neuen Variable erhältst du 
span class="sa">2 Löse die Gleichung zweiten Grades auf
Du erhältst die Nullstellen 
span class="sa">3 Durch Variablentausch erhältst du ; löse auf und du erhältst die Nullstellen
; beachte, dass 
keine Lösungen besitzt
span class="sa">4 In diesem Fall sind die Faktoren der Gleichung
.
span class="sa">1 Finde die Teiler des konstanten Glieds. Diese sind 
.
span class="sa">2 Durch Anwendung des Divisionssatzes kannst du ermitteln für welche Werte die Division exakt ist.
span class="sa">3 Führe eine Division nach dem Horner-Schema durch
Da die Division exakt ist, ist 
eine Nullstelle und das entsprechende Polynom ist
span class="sa">4 Wende die gleiche Vorgehensweise beim zweiten Faktor an. Prüfe mit 
, da der erste Faktor eine Quadratzahl sein könnte.
ist also keine Nullstelle des zweiten Faktors. Prüfe mit 
span class="sa">5 Führe eine Division nach dem Horner-Schema durch
Da die Division exakt ist, ist eine Nullstelle und das entsprechende Polynom ist
span class="sa">6 Ermittle nun mithilfe der Gleichung zweiten Grades den dritten Faktor oder auf die gleiche Weise wie gerade, wobei dann der Nachteil ist, dass man nur ganze Nullstellen finden kann.
Die Nullstellen sind 
und das entsprechende Polynom ist
span class="sa">1 Finde die Teiler des konstanten Glieds. Diese sind 
.
span class="sa">2 Durch Anwendung des Divisionssatzes kannst du ermitteln für welche Werte die Division exakt ist.
span class="sa">3 Führe eine Division nach dem Horner-Schema durch
Da die Division exakt ist, ist eine Nullstelle und das entsprechende Polynom ist
span class="sa">4 Wende die gleiche Vorgehensweise beim zweiten Faktor an. Prüfe mit , da der erste Faktor eine Quadratzahl sein könnte.
span class="sa">5 Führe eine Division nach dem Horner-Schema durch
Da die Division exakt ist, ist ine Nullstelle und das entsprechende Polynom ist
span class="sa">1 Finde die Teiler des konstanten Glieds. Diese sind 
.
span class="sa">2 Durch Anwendung des Divisionssatzes kannst du ermitteln für welche Werte die Division exakt ist.
span class="sa">3 Führe eine Division nach dem Horner-Schema durch
Da die Division exakt ist, ist eine Nullstelle und das entsprechende Polynom ist
span class="sa">4 Ermittle nun mithilfe der Gleichung zweiten Grades den zweiten Faktor oder auf die gleiche Weise wie gerade, wobei dann der Nachteil ist, dass man nur ganze Nullstellen finden kann.
Da die Diskriminante negativ ist, besitzt das Polynom keine reellen Nullstellen. Daher ist die einzige Nullstelle und das entsprechende Polynom ist
span class="sa">1 Finde die Teiler des konstanten Glieds. Diese sind 
.
span class="sa">2 Durch Anwendung des Divisionssatzes kannst du ermitteln für welche Werte die Division exakt ist.
span class="sa">3 Führe eine Division nach dem Horner-Schema durch
Da die Division exakt ist, ist eine Nullstelle und das entsprechende Polynom ist
span class="sa">4 Ermittle nun mithilfe der Gleichung zweiten Grades den zweiten Faktor oder auf die gleiche Weise wie gerade, wobei dann der Nachteil ist, dass man nur ganze Nullstellen finden kann.
Die Nullstellen des zweiten Faktors sind 
und das entsprechende Polynom ist
span class="sa">1 Finde die Teiler des konstanten Glieds. Diese sind 
.
span class="sa">2 Durch Anwendung des Divisionssatzes kannst du ermitteln für welche Werte die Division exakt ist.
span class="sa">3 Führe eine Division nach dem Horner-Schema durch
Da die Division exakt ist, ist eine Nullstelle und das entsprechende Polynom ist
span class="sa">4 Ermittle nun mithilfe der Gleichung zweiten Grades den zweiten Faktor oder auf die gleiche Weise wie gerade, wobei dann der Nachteil ist, dass man nur ganze Nullstellen finden kann.
Die Nullstellen des zweiten Faktors sind 
und das entsprechende Polynom ist
Polynomfaktorisierung: Aufgaben
Klammere den gemeinsamen Faktor aus
Schreibe die quadratische Differenz als Summe mal Differenz aus
Klammere den gemeinsamen Faktor aus
Du erhältst ein perfektes quadratisches Trinom, das man auch als Binom zum Quadrat darstellen kann
Klammere den gemeinsamen Faktor 
aus
Du erhältst ein perfektes quadratisches Trinom, das man auch als Binom zum Quadrat darstellen kann
Schreibe die quadratische Differenz als Summe mal Differenz aus
Klammere den gemeinsamen Faktor 
aus
Schreibe die quadratische Differenz als Summe mal Differenz aus
Klammere den gemeinsamen Faktor aus
Schreibe die quadratische Differenz als Summe mal Differenz aus
Der zweite Faktor ist ein irreduzibles Polynom oder Primpolynom
Der dritte Faktor ist eine Quadratdifferenz, die als Summe mal Differenz dargestellt wird
Setze das Trinom zweiten Grades gleich Null und löse die Gleichung auf
Die Nullstellen sind 
und das entsprechende Polynom ist
Linearfaktorzerlegung: Aufgaben
Bei dieser Aufgabe kann zweimal ein gemeinsamer Faktor ausgeklammert werden. Klammere bei den ersten beiden Summanden aus und bei den zweiten beiden 
Klammere den gemeinsamen Faktor 
aus
ist eine quadratische Differenz
Schreibe die quadratische Differenz als Summe mal Differenz aus
Du erhältst ein perfektes quadratisches Trinom, das man auch als Binom zum Quadrat darstellen kann
Das Quadrat von ist , das Quadrat von ist und das Doppelte von mal ist
Du erhältst ein perfektes quadratisches Trinom, das man auch als Binom zum Quadrat darstellen kann
Das Quadrat von ist , das Quadrat von ist und das Doppelte von mal 
ist
Du erhältst ein perfektes quadratisches Trinom, das man auch als Binom zum Quadrat darstellen kann
Das Quadrat von ist , das Quadrat von 
ist 
und das Doppelte von mal ist 
Du erhältst ein perfektes quadratisches Trinom, das man auch als Binom zum Quadrat darstellen kann
Das Quadrat von ist , das Quadrat von 
ist 
und das Doppelte von mal ist 
Du erhältst ein perfektes quadratisches Trinom, das man auch als Binom zum Quadrat darstellen kann
Das Quadrat von ist , das Quadrat von 
ist 
und das Doppelte von mal ist 
Klammere den gemeinsamen Faktor aus
Du erhältst ein weiteres perfektes quadratisches Trinom
Das Quadrat von ist , das Quadrat von ist 
und das Doppelte von mal ist 
Klammere den gemeinsamen Faktor aus
Schreibe die quadratische Differenz als Summe mal Differenz aus
Wende die Würfelsumme und -differenz an
Setze das Polynom gleich Null
Löse die Gleichung zweiten Grades auf
Die Nullstellen sind 
und das entsprechende Polynom ist
Löse die Gleichung zweiten Grades auf
Die Nullstellen sind 
und das entsprechende Polynom ist
Löse die Gleichung zweiten Grades auf
Die Nullstellen sind 
und das entsprechende Polynom ist
Du findest diesen Artikel toll? Vergib eine Note!
Loading...
