Was ist eine Linearkombination?
Eine Linearkombination aus zwei oder mehr Vektoren ist der Vektor, der sich aus der Summe dieser mit Skalaren multiplizierten Vektoren ergibt.
Jeder Vektor lässt sich als lineare Kombination anderer Vektoren mit unterschiedlicher Richtung darstellen.
Diese Linearkombination ist einzigartig.
Beispiel für eine Linearkombination von Vektoren
Drücke den Vektor
als Linearkombination der folgenden Vektoren aus:
Diese Aufgabe mag schwierig erscheinen, aber eigentlich geht es nur um Addition und Subtraktion, und mit Grundkenntnissen im Bereich Gleichungssysteme finden wir die Antwort schnell heraus.
Zunächst werden wir die Aufgabe in mathematischer Sprache unter Verwendung der Formel für Linearkombinatinen formulieren.
Wie die Formel besagt, ist eine Skalar-Kombination einfach eine Summe von Vektoren, die jeweils mit einem Skalar multipliziert werden. Da wir die Skalare in diesem Fall nicht kennen, benennen wir sie mit 
und 
. Wir schreiben den mathematischen Ausdruck wie folgt:
Dieser Ausdruck, der auf den ersten Blick recht kompliziert erscheinen mag, ist in Wirklichkeit sehr einfach, und wir werden ihn Schritt für Schritt zerlegen, um die Werte von und zu ermitteln:
Wir beginnen mit den ersten Zahlen der Vektoren in den Klammern:
Die 1 entspricht dem ersten Element des Vektors 
, 
entspricht der Multiplikation von 
mit dem Element 
des Vektors 
und 
der letzten Multiplikation des Vektors 
. Wir fahren also fort, indem wir dieselben Unbekannten 
nehmen und sie mit den Zahlen multiplizieren, die in der Mitte in den Klammern stehen:
Und schließlich
Wir schreiben diese Ergebnisse in ein System um, um uns die Berechnung zu erleichtern:
Wenn wir alle Gleichungen addieren, erhalten wir:
Wir vereinfachen und erhalten:
Diese letzte vereinfachte Gleichung hilft uns dabei, die Werte von und zu ermitteln. Wir ziehen nun nacheinander jede der Gleichungen mit zwei Unbekannten von dieser vereinfachten Gleichung ab:
Da wir die Skalare haben, schreiben wir die Linearkombination um:
Mit KI zusammenfassen:
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