Kapitel
Multiplikation einer Zahl mit einem Polynom
Bei der Multiplikation einer Zahl mit einem Polynom erhält man als Ergebnis ein weiteres Polynom desselben Grades, dessen Koeffizienten sich aus dem Produkt der Koeffizienten des Polynoms mal Wert der Zahl errechnen.
Beispiele:
13 · (2x³ − 3x² + 4x − 2) = 6x³ − 9x² + 12x − 6
Das Multiplikationszeichen · vor der Klammer entfällt
2 2(3x³ + 4x² + 2x − 1) = 6x³ + 8x² + 4x − 2
Multiplikation eines Monoms mit einem Polynom
Bei der Multiplikation eines Monoms mit einem Polynom wird das Monom mit mit jedem einzelnen Monom multipliziert, das im Polynom enthalten ist.
Bei der Multiplikation von Monomen erhält man als Ergebnis ein weiteres Monom, dessen Koeffizient das Koeffizientprodukt der Monome ist und dessen Faktoren sich aus der Multiplikation der Potenzen mit derselben Basis, d.h. durch Addieren der Exponenten errechnet.
Beispiele:
1 3x² · (2x³ − 3x² + 4x − 2) = 6x5 − 9x4 + 12x³ − 6x²
Das Multiplikationszeichen · vor der Klammer entfällt
2 2x(x4− 3x²+ 5x − 1) = 2x5 − 6x³ + 10x² − 2x
Multiplikation von Polynomen
Diese Form der Rechenaufgaben kann auf zwei Arten gelöst werden.
Wir ziehen folgendes Beispiel zum Vergleich heran:
P(x) = 2x² − 3 Q(x) = 2x³ − 3x² + 4x
Erster Lösungsweg
1Jedes Monom des ersten Polynoms wird mit allen Elementen des zweiten Polynoms multipliziert.
P(x) · Q(x) = (2x² − 3) · (2x³ − 3x² + 4x) = 4x5 − 6x4 + 8x³ − 6x³ + 9x² − 12x
2 Addiere die Monome desselben Grades und du erhältst:
4x5 − 6x4 + 2x³ + 9x² − 12x
3 Das Ergebnis ist ein Polynom, dessen Grad sich aus den Gradzahlen der Polynome ergibt, die miteinander multipliziert wurden.
Grad des Polynoms = Grad von P(x) + Grad von Q(x) = 2 + 3 = 5
Zweiter Lösungsweg
Man kann Polynome ebenso addieren, indem man sie untereinander schreibt.
1 In jeder Zeile werden alle Monome des zweiten Polynoms mit allen Monomen des ersten Polynoms multipliziert.
2 Sich ähnelnde Monome werden in dieselbe Spalte gesetzt und im Anschluss miteinander addiert.
3 Da die Multiplikation von Polynomen dem Kommutativgesetz folgt, wählt man für die Multiplikation das einfachste Polynom aus.
Wie du siehst, führen beide Lösungswege zum selben Ergebnis.
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