Kapitel
Grundlegende Eigenschaften ganzer Exponenten
1Jede beliebige Zahl 
hoch 1 ist gleich :
2 Jede beliebige Zahl 
hoch 0 ist gleich 1:
Nota: Der Ausdruck 
ist unbestimmt, d.h. nicht als Wert definiert
3 Das Ergebnis jeder beliebigen Zahl mit einer geraden Potenz 
ist positiv. Das heißt,
wenn 
für 
ist.
Beispiel
Jede (positive oder negative) Zahl mit einer geraden Potenz hat eine positive Zahl als Ergebnis.
4 Das Ergebnis jeder beliebigen Zahl mit einer ungeraden Potenz hat dasselbe Vorzeichen wie . Das heißt,
und
wenn 
für ist.
Beispiel
5 Negative Exponenten haben folgende Eigenschaften (für ):
das heißt, sie sind gleich dem Kehrwert der Basis hoch positive Potenz.
Beispiele
1 
, 
, 
2 
, 
3 
, da 6 eine natürliche gerade Zahl ist. Sowie
4 
, da 
und 3 eine ungerade Zahl ist. Ebenso ist
da 
5 
Rationale Exponenten
Die Wurzeln reeller Zahlen werden wie folgt definiert:
Definition: die n-te Wurzel von 
einer Zahl 
ist die Zahl , für die gilt
Man schreibt 
oder 
.
Für die Berechnung rationaler Potenzfunktionen werden die Radikalen beachtet. Folgende Eigenschaften sind dabei relevant:
1 Per Definition ist
2 Ebenso ist
3 Des Weiteren ist
Anmerkung: für negative reelle Zahlen gibt es laut Definition keine Wurzel. Man kann sagen, die Wurzel ist nicht definiert.
Beispiele
1 
2 
3 
Regeln für Exponenten mit gleicher Basis
Folgende Regeln gelten für beliebige Variablen 
und beliebige 
. Beachte, dass in einigen Fällen die Verwendung von 
nicht bestimmt sein kann.
1 Das Produkt von zwei Potenzen mit derselben Basis kann auch als Basis hoch Summe der Exponenten geschrieben werden:
2 Die Division von zwei Potenzen mit derselben Basis kann auch als Basis hoch Differenz der Exponenten geschrieben werden:
3 Eine Potenz hoch eine andere Potenz kann auch als Basis hoch Produkt der beiden Potenzen geschrieben werden:
Anmerkung: sieh dir die Klammern des vorherigen Ausdrucks genau an. Zuerst wird 
angewandt und im Anschluss wird hoch 
gerechnet. Anders wird hier vorgegangen:
beide Wege führen fast immer zu anderen Ergebnissen, das heißt
Beispiele
Sieh dir die folgenden Beispiele im Vergleich an
1 
2 
3 
Potenzen mit gleichen Exponenten
Folgende Regeln gelten für beliebige Variablen 
und beliebige 
y 
.
1 Das Produkt von zwei Potenzen mit demselben Exponenten ist gleich dem Produkt der Basen hoch Exponenten. Das heißt,
2 Die Division von zwei Potenzen mit demselben Exponenten ist gleich der Division der Basen hoch Exponent:
Beispiele
Sieh dir folgende Beispiele an:
1 
2 
Aufgaben
Vereinheitliche die Potenzen der folgenden Aufgaben und schreibe sie in die Form 
um:
a 
b 
c 
d 
a Hier liegt eine Multiplikation von Exponenten mit derselben Basis vor, daher werden die Exponenten addiert:
b Hier soll eine Division von zwei Potenzen mit derselben Basis durchgeführt werden, daher werden die Exponenten subtrahiert:
c Hier soll die Potenz einer Potenz berechnet werden, daher werden die Exponenten multipliziert:
d Hier liegen drei Potenzen mit demselben Exponent vor, daher werden die Basen miteinander multipliziert:
Vereinheitliche die Potenzen der folgenden Aufgaben und schreibe sie in die Form um:
a 
b 
c 
d 
a Hier soll die Potenz einer Potenz berechnet werden, daher werden die Exponenten multipliziert:
b Dieser Fall ist ähnlich wie der erste. Hier sollen drei aufeinanderfolgende Potenzen berechnet werden, daher werden die Exponenten multipliziert:
c Hier liegt wieder die Potenz einer Potenz vor:
Beachte aber, dass 
, das heißt man kann noch etwas vereinfachen:
d Hier liegt wieder die Potenz einer Potenz vor. Außerdem sehen wir, dass 
ist, das heißt
Vereinheitliche die Potenzen der folgenden Aufgaben und schreibe sie in die Form um:
a 
b 
c 
d 
a Hier liegt eine Multiplikation von Potenzen mit derselben Basis vor, das heißt die Exponenten werden addiert
b Hier liegt eine Division zweier Potenzen mit derselben Basis vor, das heißt die Exponenten werden subtrahiert:
c Hier liegt die Potenz einer Potenz vor, das heißt die Exponenten werden multipliziert
d Um zwei Potenzen mit demselben Exponent zu multiplizieren, werden die Basen miteinander multipliziert
Vereinheitliche die Potenzen der folgenden Aufgaben und schreibe sie in die Form :
a 
b 
c 
d 
a Hier liegt die Potenz einer Potenz vor, das heißt die Exponenten werden multipliziert
b Hier liegt eine Potenz mit Exponent Null vor. Da
ist
kann man schlussfolgern, dass
ist.
c Hier liegt die Potenz einer Potenz vor, das heißt 
d Erneut liegt die Potenz einer Potenz vor. Zudem ist 
:
Führe die folgenden Rechenoperationen mit Potenzen vollständig durch:
a 
b 
c 
d 
a Hier sollen Potenzen mit derselben Basis multipliziert werden, das heißt, die Exponenten werden miteinander multipliziert:
Das Vorzeichen wird beibehalten, da die Potenz ungerade ist.
b Wie im vorhergehenden Beispiel liegt auch hier eine Multiplikation von Potenzen mit derselben Basis vor
Das Vorzeichen wird wieder beibehalten, da die Potenz ungerade ist.
c Auch hier liegt eine Multiplikation von Potenzen mit derselben Basis vor
d Hier soll eine Division von Potenzen mit derselben Basis durchgeführt werden, das heißt die Exponenten müssen subtrahiert werden:
Führe die folgenden Rechenoperationen mit Potenzen vollständig durch:
a 
b 
c 
a Hier sollen Potenzen mit derselben Basis dividiert werden:
b Hier sollen ebenso Potenzen mit derselben Basis dividiert werden:
c Hier eine weiter Übung zur Division von Potenzen mit derselben Basis:
Berechne die folgenden Potenzen:
a 
b 
c 
d 
Beachte, dass bei gebrochenen Exponenten mit Wurzeln gerechnet wird.
a Dieser Ausdruck kann auch als
geschrieben werden
Verwende die Rechenregel zur Multiplikation von Exponenten:
b Dieser Ausdruck kann auch als
geschrieben werden
Verwende die Rechenregel zur Multiplikation von Exponenten:
c Beachte, dass 
ist. Das heißt,
Schreibe um:
d Jetzt ist der Exponent 
. Folglich ist
Vereinfache den folgenden Ausdruck:
Zur Vereinfachung benennen wir den Ausdruck mit 
:
Im Zähler können alle Zahlen hoch 0 als 1 geschrieben werden. Im Nenner kann die Regel zur Multiplikation von Exponenten angewendet werden:
Nun können die Exponenten mit derselben Basis addiert werden:
das heißt,
Alle Brüche mit negativem Exponenten können in den Kehrwert der Basis mit entsprechendem positivem Exponent umgeschrieben werden:
Erneut können die Exponenten mit derselben Basis addiert/subtrahiert werden:
Es wird ersichtlich, dass
und
ist
Das heißt, der Ausdruck kann wie folgt umgeschrieben werden:
Wende noch einmal die Regel zur Multiplikation von Potenzen an:
Addiere/subtrahiere die Exponenten:
Als Ergebnis erhält man
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