Löse die folgenden Aufgaben zu Ableitungen
Berechne die Ableitung der Logarithmusfunktion: 
Wir wenden die Eigenschaften von Logarithmen an und erhalten
und somit 
, weshalb
Leite die folgende Funktion ab: 
Leite die Funktion ab
Wir denken daran, dass 
In diesem Fall haben wir 
und somit 
Wir fahren mit der Ableitung der Funktion 
fort und erhalten 
Leite 
ab
Wir denken daran, dass 
, und somit 
, aber erneut 
, weshalb
Berechne die Ableitung der Funktion: 
Wir beachten: Wenn 
Also nehmen wir in diesem Fall 
und stellen fest, dass 
. Wir leiten beide Seiten der vorherigen Gleichung ab und erhalten 
, weshalb 
Daraus können wir schließen, dass 
Leite ab: 
Um die Funktion abzuleiten, nehmen wir 
. Wir wenden die Definition des Logarithmus an und erhalten 
, daher 
Wir schreiben so, dass sich die Ableitung leichter durchführen lässt. Wir leiten ab (2) 
Ein Quadrat hat eine Seitenlänge von 
. Bestimme, um wie viel sich die Fläche des Quadrats vergrößert, wenn sich seine Seitenlänge um einen Millimeter vergrößert. Berechne den Fehler, der auftritt, wenn Differentiale anstelle von Zunahmen verwendet werden.
Die Funktion der Fläche des Quadrats ist gegeben durch
also lautet ihr Differential
Aus der Aufgabenstellung geht hervor, dass das Quadrat eine Seitenlänge von 
hat und diese Seitenlänge zunimmt: 
, das heißt,
Die Vergrößerung der Fläche unter Verwendung von Differentialen beträgt daher
Wir wenden Zunahmen an und erhalten
Somit lautet der Fehler 
Berechne die Volumenänderung eines Würfels mit einer Kantenlänge von 
, wenn sich diese um 
vergrößert.
Die Funktion des Volumens ist gegeben durch
,
wobei 
das Maß der Kante angibt. Somit lautet ihr Differential
Nun ist die Seitenlänge des Würfels und diese vergrößert sich um , das heißt
Die Volumenvergrößerung beträgt daher
Berechne den absoluten und relativen Fehler bei der Berechnung des Volumens einer Kugel mit einem Durchmesser von 
, gemessen mit einem Instrument, das auf Tausendstel Zentimeter genau misst.
Das Volumen einer Kugel beträgt
weshalb das Differential wie folgt lautet
In den Angaben ist das Volumen der Kugel angegeben, sodass wir daraus den Radius berechnen können, indem wir lösen, und erhalten folgendes Ergebnis:
der Fehler beträgt 
, das heißt
Somit beträgt der absolute Fehler des Volumens
und der relative Fehler beträgt
Wenn anstelle von 
eingesetzt wird, wie groß sind dann der absolute und der relative Fehler?
Wir haben die Funktion
mit dem Differential (mit dem der absolute Fehler gemessen werden kann)
und der relative Fehler ist gegeben durch
Die Zunahme von beträgt
Somit beträgt die Zunahme der Funktion oder der absolute Fehler
und der relative Fehler beträgt
Mit KI zusammenfassen:
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