Die Ableitung an einem Punkt
Die Ableitung einer Funktion 
an einem 
ist der Wert des Grenzwertes, sofern es ihn gibt, des Differenzquotienten, wenn die Änderung der Variablen gegen 0 konvergiert.
1 Berechne die Ableitung der Funktion 
am Punkt 
.
Wir berechnen das Binom, multiplizieren und eliminieren Terme
Wir wenden den Grenzwert an
2 Berechne die Ableitung der Funktion 
bei 
.
Wir berechnen das Binom, multiplizieren und eliminieren Terme
wir addieren Terme
Wir wenden den Grenzwert an
3 Berechne die Ableitung von 
bei 
.
Wir berechnen das Binom, multiplizieren und eliminieren Terme
mit dem Ergebnis faktorisieren wir 
im Zähler und dividieren wie folgt
Wir wenden den Grenzwert an
Nun werten wir 
aus
4 Berechne die Ableitung von 
bei .
Wir berechnen das Binom, multiplizieren und eliminieren Terme
mit dem Ergebnis faktorisieren wir im Zähler und dividieren wie folgt
Wir wenden den Grenzwert an
Nun werten wir 
aus
5 Berechne die Ableitung von 
bei .
Wir wenden die Regel zum Subtrahieren zweier Brüche an, um Terme zu eliminieren
Wir wenden den Einschnürungssatz an, um zu elimineren
Wir wenden den Grenzwert an
Nun werten wir 
aus
6 Berechne den Wert der Ableitung
en .
Wir wenden die Regel zum Subtrahieren zweier Brüche an, um Terme zu eliminieren
Wir wenden den Einschnürungssatz an, um zu eliminieren
Wir wenden den Grenzwert an
Nun werten wir aus
7 Berechne die Ableitung von 
bei 
.
Für diese Funktion rationalisieren wir, indem wir mit ihrer Konjugierten multiplizieren, um die Quadratwurzeln zu eliminieren
Wir subtrahieren, um zu eliminieren und es durch das im Nenner zu dividieren
Wir wenden den Grenzwert an
Seitliche Ableitungen
Eine Funktion ist an einem Punkt ableitbar, wenn sie auf der rechten und auf der linken Seite an diesem Punkt ableitbar ist und die seitlichen Ableitungen übereinstimmen.
Linksseitige Ableitung
Rechtsseitige Ableitung
Beispiel
Untersuche den Wert der Ableitung von
bei 
.
Wir berechnen die Ableitung auf der linken Seite.
Wir berechnen die Ableitung auf der rechten Seite.
Da die seitlichen Ableitungen nicht übereinstimmen, hat die Funktion keine Ableitung bei x = 0.
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