Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung nach Cauchy besagt:
Sind 
und 
stetige Funktionen auf 
und ableitbar auf 
, so gibt es einen Punkt 
, und es gilt:
mit 
.
Der Wert des ersten Glieds ist konstant, weshalb:
Die geometrische Interpretation des Satzes besagt, dass es zwei Punkte 
und 
auf den Graphen 
und 
gibt, sodass die Steigung der Tangente an den Graphen im ersten Punkt das 
-fache der Steigung der Tangente an den Graphen im zweiten Punkt beträgt.
Beispiel: Analysiere, ob der Satz nach Cauchy auf dem Intervall 
für die Funktionen angewendet werden kann:
Falls ja, wende ihn an.
1 Die Funktionen und sind im Bereich 
ableitbar und stetig, da es sich um Polynomfunktionen handelt. Insbesondere sind sie auf stetig und auf 
ableitbar.
2 Außerdem gilt 
.
Somit gilt der Satz als bewiesen:
3 Wir wenden den Satz an und berechnen hierfür die Ableitungen der beiden Funktionen
Wir setzen in die Formel ein
Die Nullstellen sind 
und 
Da 
, schließen wir daraus, dass der gesuchte Wert 
ist
Beispiel: Analysiere, ob der Satz nach Cauchy auf dem Intervall 
für die Funktionen angewendet werden kann:
Falls ja, wende ihn an.
1 Die Funktionen 
und 
sind auf der gesamten Zahlengeraden ableitbar und stetig. Vor allem sind sie stetig auf dem Intervall und ableitbar auf 
2 Außerdem gilt 
.
Somit gilt der Satz als bewiesen
3 Wir wenden den Satz an und berechnen hierfür die Ableitungen der beiden Funktionen
Wir setzen in die Formel ein
Die Nullstellen sind 
Da 
, schließen wir daraus, dass der gesuchte Wert 
ist.
Mit KI zusammenfassen:
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