Grundlegende Elemente eines Dreiecks
Höhen eines Dreiecks
Die Höhe ist jede der senkrechten Linien, die von einem Eckpunkt zur gegenüberliegenden Seite (oder ihrer Verlängerung) gezogen wird.
Höhenschnittpunkt/Orthozentrum
Der Schnittpunkt der drei Höhen.
Seitenhalbierende eines Dreiecks
Die Seitenhalbierende ist jede der Linien, die den Mittelpunkt einer Seite mit dem gegenüberliegenden Eckpunkt verbindet.
Schwerpunkt
Der Schnittpunkt der drei Seitenhalbierenden.
Der Schwerpunkt, auch Baryzentrum genannt, teilt jede Seitenhalbierende in zwei Segmente, wobei das Segment, das den Schwerpunkt mit dem Eckpunkt verbindet, doppelt so lang ist wie das Segment, das den Schwerpunkt mit dem Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite verbindet.
Mittelsenkrechten eines Dreiecks
Die Mittelsenkrechte ist jede der senkrechten Linien, die durch den Mittelpunkt einer Seite gezogen wird.
Umkreismittelpunkt
Der Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten.
Es ist der Mittelpunkt eines Kreises, der das Dreieck umschreibt.
Winkelhalbierende eines Dreiecks
Die Winkelhalbierende ist jede der Geraden, die einen Winkel in zwei gleiche Winkel teilt.
Inkreis
Der Schnittpunkt der drei Winkelhabierenden.
Es ist der Mittelpunkt eines in das Dreieck eingeschriebenen Kreises.
Eulersche Gerade
Der Höhenschnittpunkt, der Schwerpunkt und der Umkreismittelpunkt eines unregelmäßigen Dreiecks sind zueinander ausgerichtet, d.h. sie gehören zur selben Linie, die Eulersche Gerade genannt wird.
Aufgaben mit Lösungen
Gegeben ist ein Dreieck mit den Eckpunkten 
. Berechne:
die Höhen
1 Gesucht ist die Gleichung der Höhe 
, die durch den Eckpunkt 
und die ihm gegenüberliegende Seite verläuft.
Da die Höhe senkrecht auf der gegenüberliegenden Seite steht, berechnen wir die Steigung 
der Seite 
.
Die Steigung 
der Höhe ist
Die Höhe hat die Steigung und verläuft durch den Punkt . Wir berechnen ihre Gleichung
Somit lautet die Gleichung der Höhe es 
2 Gesucht ist die Gleichung der Höhe 
, die durch den Eckpunkt 
und die ihm gegenüberliegende Seite verläuft.
Da die Höhe senkrecht auf der gegenüberliegenden Seite steht, berechnen wir die Steigung 
der Seite 
Die Steigung 
der Höhe ist
Die Höhe hat die Steigung und verläuft durch den Punkt . Wir berechnen ihre Gleichung
Die Gleichung der Höhe ist also 
3 Gesucht ist die Gleichung der Höhe 
, die durch den Eckpunkt 
und die ihm gegenüberliegende Seite verläuft.
Da die Höhe senkrecht auf der gegenüberliegenden Seite steht, berechnen wir die Steigung 
der Seite 
Die Steigung 
der Höhe lautet
Die Höhe hat die Steigung und verläuft durch den Punkt . Wir berechnen ihre Gleichung
Somit lautet die Gleichung der Höhe es 
den Höhenschnittpunkt
1 Gesucht ist der Schnittpunkt der Höhen 
. Hierfür multiplizieren wir die 1. Höhe mit 7 und addieren die 2. Höhe, um die 2. Koordinate des Höhenschnittpunkts zu erhalten
2 Wir setzen den Wert der 2. Koordinate des Höhenschnittpunkts in die Gleichung der 1. Höhe ein und lösen, um die 1. Koordinate des Höhenschnittpunktes zu berechnen
3 Wir überprüfen, ob der Höhenschnittpunkt zur Höhe gehört
die Gleichheit ist erfüllt, weshalb der Höhenschnittpunkt 
der Schnittpunkt der drei Höhen ist
die Seitenhalbierenden
1 Gesucht sind die Mittelpunkte der Seiten des Dreiecks
Der Mittelpunkt 
der Seite 
ist
Der Mittelpunkt 
der Seite 
ist
Der Mittelpunkt 
der Seite 
ist
2 Gesucht ist die Gleichung der Seitenhalbierenden 
, die durch den Eckpunkt und den Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite verläuft
Wir berechnen die Steigung, die durch und verläuft
Die Seitenhalbierende hat die Steigung 
und verläuft durch den Punkt . Wir berechnen ihre Gleichung
Die Gleichung der Seitenhalbierenden ist also 
3 Gesucht ist die Gleichung der Seitenhalbierenden 
, die durch den Eckpunkt und den Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite verläuft
Wir berechnen die Steigung, die durch und verläuft
Die Seitenhalbierende hat die Steigung 
und verläuft durch den Punkt . Wir berechnen ihre Gleichung
Die Gleichung der Seitenhalbierenden ist also 
4 Gesucht ist die Gleichung der Seitenhalbierenden 
, die durch den Eckpunkt und den Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite verläuft
Wir berechnen die Steigung, die durch und verläuft
Die Seitenhalbierende hat die Steigung 
und verläuft durch den Punkt . Wir berechnen ihre Gleichung
Die Gleichung der Seitenhalbierenden ist also 
den Schwerpunkt
1 Gesucht ist der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden 
. Hierfür multiplizieren wir die 1. Seitenhalbierende mit 
, die 2. Seitenhalbierende mit 
und addieren die beiden Seitenhalbierenden, um die 2. Koordinate des Schwerpunktes zu erhalten
2 Wir setzen den Wert der 2. Koordinate des Schwerpunktes in die Gleichung der 2. Seitenhalbierenden ein und berechnen, um die 1. Koordinate des Schwerpunktes zu erhalten
3 Wir überprüfen, ob der Schwerpunkt zur Seitenhalbierenden gehört
die Gleichheit ist erfüllt, weshalb der Schwerpunkt 
der Schnittpunkt der drei Seitenhalbierenden ist
die Mittelsenkrechten
1 Gesucht sind die Mittelpunkt der Seiten des Dreiecks
Der Mittelpunkt der Seite ist
Der Mittelpunkt der Seite ist
Der Mittelpunkt der Seite ist
2 Gesucht ist die Gleichung der Mittelsenkrechten 
, die durch den Mittelpunkt von verläuft und darauf senkrecht steht.
Wir berechnen die Steigung 
der Seite
Die Steigung 
der Mittelsenkrechten ist
Die Mittelsenkrechte hat die Steigung und verläuft durch den Punkt . Wir berechnen ihre Gleichung
Die Gleichung der Mittelsenkrechten ist 
3 Gesucht ist die Gleichung der Mittelsenkrechten 
, die durch den Mittelpunkt von verläuft und darauf senkrecht steht.
Wir berechnen die Steigung der Seite
Die Steigung der Mittelsenkrechten ist
Die Mittelsenkrechte hat die Steigung und verläuft durch den Punkt . Wir berechnen ihre Gleichung
Die Gleichung der Mittelsenkrechten ist 
4 Gesucht ist die Gleichung der Mittelsenkrechten 
, die durch den Mittelpunkt von verläuft und darauf senkrecht steht.
Wir berechnen die Steigung der Seite
Die Steigung der Mittelsenkrechten ist
Die Mittelsenkrechte hat die Steigung und verläuft durch den Punkt . Wir berechnen ihre Gleichung
Die Gleichung der Höhe ist 
den Umkreis
1 Wir suchen den Schnittpunkt der Mittelsenkrechten 
. Hierfür multiplizieren wir die 1. Mittelsenkrechte mit 
und addieren die beiden Mittelsenkrechten, um die 2. Koordinate des Umkreismittelpunktes zu erhalten
2 Wir setzen den Wert der 2. Koordinate des Umkreismittelpunktes in die Gleichung der 2. Mittelsenkrechten ein und berechnen, um die 1. Koordinate des Umkreismittelpunktes zu erhalten
3 Wir überprüfen, ob der Umkreismittelpunkt zur Mittelsenkrechten gehört
7x + 5y - 3
die Gleichheit ist erfüllt, weshalb der Umkreismittelpunkt 
der Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten ist
die Winkelhalbierenden
1 Um die Gleichung einer Winkelhalbierenden zu finden, genügt es, den Abstand der Punkte der Winkelhalbierenden mit den Seiten des betreffenden Winkels gleichzusetzen, d. h., wenn die Seiten, die die Winkel bilden, wie folgt sind:
somit erhält man die Winkelhalbierende:
2 Gesucht ist die Gleichung der Winkelhalbierenden von . Hierfür müssen wir die Gleichungen der Seiten und ermitteln. Mit der Gleichung der Geraden durch zwei Punkte erhalten wir:
die Gerade
die Gleichung lautet
die Gerade
die Gleichung lautet
Wir wenden die Formel an, um die Winkelhalbierende zu ermitteln
Die Gleichung der Winkelhalbierenden 
ist
3 Gesucht ist die Gleichung der Winkelhalbierenden von . Hierfür müssen wir die Gleichungen der Seiten und ermitteln. Mit der Gleichung der Geraden durch zwei Punkte erhalten wir:
die Gerade
die Gleichung lautet
die Gerade
die Gleichung lautet
Wir wenden die Formel an, um die Winkelhalbierende zu ermitteln
Die Gleichung der Winkelhalbierenden 
ist
4 Gesucht ist die Gleichung der Winkelhalbierenden von . Hierfür müssen wir die Gleichungen der Seiten und . Mit der Gleichung der Geraden durch zwei Punkte erhalten wir:
die Gerade
die Gleichung lautet
die Gerade
die Gleichung lautet
Wir wenden die Formel an, um die Winkelhalbierende zu ermitteln
Die Gleichung der Winkelhalbierenden ist
den Inkreismittelpunkt
1 Gesucht ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden 
. Hierfür multiplizieren wir die 1. Winkelhalbierende mit 
, mit 
und addieren die beiden Winkelhalbierenden, um die 2. Koordinate des Inkreismittelpunktes zu erhalten
2 Wir setzen den Wert der 2. Koordinate des Inkreismittelpunktes in die 1. Gleichung der Winkelhalbierenden ein und berechnen, um die 1. Koordinate des Inkreismittelpunktes zu erhalten
die Eulersche Gerade
1 Gesucht ist die Gerade, die durch den Höhenschnittpunkt 
, den Schwerpunkt und den Umkreismittelpunkt verläuft
2Wir berechnen die Steigung für den Höhenschnittpunkt und den Schwerpunkt
Die Eulersche Gerade hat die Steigung und verläuft durch den Punkt 
. Wir berechnen ihre Gleichung
Somit lautet die Eulersche Gerade 
Zeige, dass der Inkreismittelpunkt nicht auf der Eulerschen Geraden liegt
1 Es genügt, den Inkreismittelpunkt sustituir el incentro 
in die Eulersche Gerade einzusetzen und zu zeigen, dass diese nicht erfüllt ist
Wir setzen ein
Da der Inkreismittelpunkt die Gleichung der Eulerschen Geraden nicht erfüllt, kann man daraus schließen, dass der Inkreismittelpunkt nicht auf der Eulerschen Geraden liegt.
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