Kapitel

 

Definition der Ähnlichkeit von Dreiecken

 

Ähnlichkeit von Dreiecken

 

Definition der Ähnlichkeit von Dreiecken

 

Gegeben sind die Dreiecke ABC und A'B'C', die Seiten \overline{AB} und \overline{A'B'}, \overline{AC} und \overline{A'C'}, \overline{BC} und \overline{B'C'} werden homologe Seiten genannt. Die homologen Winkel sind: \alpha = {\alpha}', \beta = {\beta}' y \gamma = {\gamma}'. Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn ihre homologen Winkel gleich und ihre homologen Seiten proportional sind. Das bedeutet folgendes:

 

\displaystyle \frac{\overline{AB}}{\overline{A'B'}} = \frac{\overline{AC}}{\overline{A'C'}} = \frac{\overline{BC}}{\overline{B'C'}} = r

 

und

 

\alpha = {\alpha}', \quad \beta = {\beta}' \quad \gamma = {\gamma}'

 

Das Verhältnis der Proportionen r zwischen den homologen Seiten von Dreiecken wird als Ähnlichkeitsverhältnis bezeichnet.

Beobachtungen:

 

1. Das Verhältnis der Umfänge von ähnlichen Dreiecken ist gleich ihrem Ähnlichkeitsverhältnis.

 

\displaystyle \frac{\overline{AB}}{\overline{A'B'}} = \frac{\overline{AC}}{\overline{A'C'}} = \frac{\overline{BC}}{\overline{B'C'}} = \frac{\overline{AB} + \overline{AC} + \overline{BC}}{\overline{A'B'} + \overline{A'C'} + \overline{B'C'}} = r

 

2. Das Verhältnis der Flächen ähnlicher Dreiecke ist gleich dem Quadrat ihres Ähnlichkeitsverhältnisses. Wenn also die Flächen der Dreiecke ABC und A'B'C' jeweils S und S' sind, dann gilt:

 

\displaystyle \frac{\overline{S}}{\overline{S'}} = r^2

 

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Los geht's

Praktische Beispiele

 

1 Berechne die Höhe eines Gebäudes, das einen Schatten von 6,5 m wirft, während ein 4,5 m hoher Mast zur gleichen Zeit einen Schatten von 0,90 m wirft.

 

Beispiel für die Ähnlichkeit von Dreiecken

 

Da die Schatten zur gleichen Zeit geworfen werden, stützt du dich auf die Ähnlichkeit, um eine Lösung anzugeben. Aufgrund der Ähnlichkeit hast du also folgende Gleichheit

 

\displaystyle \frac{4.5}{h} = \frac{0.9}{6.5},

 

durch Auflösen nach h erhältst du

 

\displaystyle h = \frac{(6.5)(4.5)}{0.9} = 32.5

 

2 Die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks messen 24 m und 10 m. Wie lang sind die Katheten eines ähnlichen Dreiecks, dessen Hypotenuse 52 m misst?

 

Heispiel für die Ähnlichkeit von rechtwinkligen Dreiecken

 

Da du die Katheten eines der rechtwinkligen Dreiecke kennst, kannst du seine Hypotenuse berechnen

 

\displaystyle\overline{BC} = \sqrt{24^2 + 10^2} = 26

 

Da die Hypotenuse bereits gegeben ist und die Dreiecke ähnlich sind, kannst du die Tatsache nutzen, dass die Seiten proportional sind, um die Katheten des anderen Dreiecks zu erhalten. Berechne zunächst \overline{A'B'}.

 

\displaystyle \frac{26}{52} = \frac{\overline{BC}}{\overline{B'C'}} = \frac{24}{\overline{A'B'}},

 

nach Auflösen von \overline{A'B'} erhältst du

 

\overline{A'B'} = \frac{(24)(52)}{26} = 48 m.

 

Berechne jetzt \overline{A'C'}

 

\displaystyle \frac{26}{52} = \frac{\overline{BC}}{\overline{B'C'}} = \frac{10}{\overline{A'C'}},

 

nach Auflösen von \overline{A'C'} erhältst du

 

\displaystyle \overline{A'C'} = \frac{(10)(52)}{26} = 20 m.

 

Kriterien für Ähnlichkeit

 

Gleiche Winkel

 

Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn sie zwei gleiche Winkel haben.

 

Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn sie zwei gleiche Winkel habenZwei Dreiecke sind ähnlich, wenn sie zwei gleiche Winkel haben

 

\alpha = \alpha ', \beta = \beta ' \quad \text {o} \quad \alpha = \alpha ', \gamma = \gamma ' \quad \text {o} \quad \beta = \beta', \gamma= \gamma '

 

Proportionale Seiten

 

Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn ihre Seiten proportional sind.

 

Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn ihre Seiten proportional sind.Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn ihre Seiten proportional sind.

 

\displaystyle \frac{\overline{AB}}{\overline{A'B'}} = \frac{\overline{AC}}{\overline{A'C'}} = \frac{\overline{BC}}{\overline{B'C'}} = r

 

Winkel zwischen den Seiten

 

Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn sie zwei proportionale Seiten haben und die Winkel zwischen ihnen gleich sind.

 

Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn sie zwei proportionale Seiten haben und die Winkel zwischen ihnen gleich sind.Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn sie zwei proportionale Seiten haben und die Winkel zwischen ihnen gleich sind

 

\displaystyle \frac{\overline{AB}}{\overline{A'B'}} = \frac{\overline{AC}}{\overline{A'C'}} \quad \text{y} \quad \alpha = \alpha'

 

oder auch

 

\displaystyle \frac{\overline{AB}}{\overline{A'B'}} = \frac{\overline{BC}}{\overline{B'C'}} \quad \text{y} \quad \beta = \beta'

 

oder auch

 

\displaystyle \frac{\overline{AC}}{\overline{A'C'}} = \frac{\overline{BC}}{\overline{B'C'}} \quad \text{y} \quad \gamma= \gamma'

 

Beispiele

 

Zeige, dass die beiden Dreiecke ähnlich sind:

 

1

 

Beispiele für die Ähnlichkeit von Dreiecken Beispiel für ähnliche Dreiecke

 

Für dieses Beispiel analysierst du, ob die Seiten proportional sind. Dafür kannst du auf mehrere Arten vorgehen. Am besten reduzierst du die Proportion jeder Seite auf ihren minimalen Wert und überprüfst, ob sie übereinstimmen. Wenn ja, hast du das Verhältnis der Proportion r gefunden. Dabei musst du beachten, dass

 

\displaystyle \frac{\overline{AB}}{\overline{A'B'}} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3},

 

\displaystyle \frac{\overline{AC}}{\overline{A'C'}} = \frac{15}{22.5} = \frac{2}{3},

 

und zuletzt

 

\displaystyle \frac{\overline{BC}}{\overline{B'C'}} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}.

 

Du erhältst also

 

\displaystyle \frac{\overline{AB}}{\overline{A'B'}} = \frac{\overline{AC}}{\overline{A'C'}} = \frac{\overline{BC}}{\overline{B'C'}} = r = \frac{2}{3}

 

Du kannst darauf schließen, dass die Dreiecke ähnlich sind, weil ihre Seiten proportional sind.

 

2

Dreiecke sind ähnlich, wenn sie zwei gleiche Winkel habenDreiecke sind ähnlich, wenn sie zwei gleiche Winkel haben

Erinnere dich, dass die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks immer gleich 180^{\circ} ist. Das heißt folgendes:

 

    \begin{align*} \alpha &= 180^{\circ} - \beta - \gamma\\ &= 180^{\circ} - 60^{\circ} - 100^{\circ}\\ &= 20^{\circ} \end{align*}

 

Beachte nun, dass \alpha = \alpha' = 20^{\circ} y \gamma = \gamma' = 100^{\circ}. Daher sind sie ähnlich, weil sie zwei gleiche Winkel haben.

 

3

 

Überprüfe, ob die beiden Seiten der Dreiecke proportional und ob die Winkel zwischen ihnen gleich sindDreiecke sind ähnlich, wenn sie zwei proportionale Seiten haben und die Winkel zwischen ihnen gleich sind

 

Überprüfe, ob die beiden Seiten der Dreiecke proportional und ob die Winkel zwischen ihnen gleich sind. Beachte, dass \alpha = \alpha' = 65^{\circ}.

Daher sind sie ähnlich, weil sie zwei gleiche Winkel haben. Dann musst du nur noch überprüfen, dass die Seiten proportional sind. Du stellst fest, dass

\displaystyle \frac{\overline{AC}}{\overline{A'C'}} = \frac{8}{20} = \frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 5} = \frac{2}{5},

 

\displaystyle \frac{\overline{AB}}{\overline{A'B'}} = \frac{7}{17.5} = \frac{3.5 \cdot 2}{3.5 \cdot 5} = \frac{2}{5}.

 

Daher musst du

 

\displaystyle \frac{\overline{AB}}{\overline{A'B'}} = \frac{\overline{AC}}{\overline{A'C'}} = \frac{2}{5}.

 

Die beiden Dreiecke sind also ähnlich, weil sie zwei proportionale Seiten haben und die Winkel zwischen ihnen gleich sind.

 

Ähnlichkeit von rechtwinkligen Dreiecken

 

Winkel

 

Zwei rechtwinklige Dreiecke sind ähnlich, wenn sie einen Winkel (außer dem rechten Winkel) gleich haben.

 

Ähnlichkeit von rechtwinkligen DreieckenZwei rechtwinklige Dreiecke sind ähnlich, wenn sie einen Winkel (außer dem rechten Winkel) gleich haben

 

\gamma = \gamma'.

 

Proportionale Katheten

 

Zwei rechtwinklige Dreiecke sind ähnlich, wenn ihre beiden Seiten proportional sind.

 

Wann sind rechtwinklige Dreiecke ähnlich?Zwei rechtwinklige Dreiecke sind ähnlich, wenn ihre beiden Seiten proportional sind

 

\displaystyle \frac{\overline{AB}}{\overline{A'B'}} = \frac{\overline{AC}}{\overline{A'C'}} .

 

Hypotenuse und Kathete

 

Zwei rechtwinklige Dreiecke sind ähnlich, wenn die Hypotenuse und eine Kathete proportional sind.

 

Kriterien für die Ähnlichkeit von rechtwinkligen DreieckenZwei rechtwinklige Dreiecke sind ähnlich, wenn die Hypotenuse und eine Kathete proportional sind.

 

\displaystyle \frac{\overline{AB}}{\overline{A'B'}} = \frac{\overline{BC}}{\overline{B'C'}} .

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Anna

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