Ein Vieleck ist in einen Kreis eingeschrieben, wenn alle seine Eckpunkte Punkte des Kreises sind und alle seine Seiten innerhalb des von ihm definierten Kreises eingeschlossen sind.

Wann ist ein Vieleck in einen Kreis eingeschrieben?

 

  • Jedes regelmäßige Vieleck ist in einen Kreis eingeschrieben.
  • Der Mittelpunkt eines eingeschriebenen Vielecks ist der Mittelpunkt des darin eingeschriebenen Kreises.
  • Der Radius des eingeschriebenen Vielecks ist der Radius des darin eingeschriebenen Kreises.

 

Berechne die Seite eines eingeschriebenen gleichseitigen Dreiecks

 

Seite des inn einen Kreis eingeschriebenen gleichseitigen Dreiecks berechnen

Wenn du ein eingeschriebenes gleichseitiges Dreieck hast, kannst du das Maß seiner Seite durch einfache Anwendung des Satzes von Pythagoras herausfinden.

Wie du in der obigen Abbildung sehen kannst, bildet das rote Dreieck mit der Grundseite gleich der halben Seite des Dreiecks ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Hypotenuse gleich dem Radius ist.

Du führst die Berechnungen fort, um das Maß der Seite zu ermitteln:

\displaystyle r^{2}= \left (\frac{l}{2} \right )^{2}+\left (\frac{r}{2} \right )^{2}
\displaystyle \left (\frac{l}{2} \right )^{2}= r^{2} - \left (\frac{r}{2} \right )^{2}
 \displaystyle \left (\frac{l}{2} \right )^{2}= r^{2} - \frac{r^{2}}{4}
\displaystyle \frac{l}{2} = \sqrt {\frac{3r^{2}}{4} }
\displaystyle \frac{l}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot r
\displaystyle l  = \sqrt{3} \cdot r

 

Beispiel für die Berechnung der Seite eines Dreiecks 

 

Bestimme die Seite eines gleichseitigen Dreiecks, das in einen Kreis mit dem Radius 10 cm eingeschrieben ist.

Bestimme die seite des gleichseitigen Dreiecks, um das im Kreis eingeschriebene Dreieck zu berechnen
 10^{2} = \left ( \frac{l}{2} \right )^{2} + 5^{2}
 \frac{l}{2} = \sqrt{75}
 l = 2 \cdot \sqrt{75} = 17.32

Berechne die Seite eines eingeschriebenen Quadrats

Seite eines eingeschriebenen Quadrats berechnen

 

In der obigen Abbildung ist zu sehen, dass die Seiten eines eingeschriebenen Quadrats ein gleichschenkliges, rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse l bilden.

Mit dem Satz des Pythagoras kannst du diese Seite berechnen:

 

 l = \sqrt{r^{2}+r^{2}}

 

Beispiel für die Berechnung der Seite eines Quadrats 

Finde die Seite eines Quadrats, das in einen Kreis mit dem Radius l cm eingeschrieben ist.

Bestimme die Seite des Quadrats, um das im Kreis eingeschriebene Quadrat zu berechnen

 

 l = \sqrt{5^{2}+5^{2}}=\sqrt{50}= 7.07

Berechne das Apothema des eingeschriebenen Sechsecks

Apothema eines eingeschriebenen Sechsecks berechnen

 

In der obigen Abbildung kannst du sehen, dass die Seite des grünen Dreiecks der Radius ist.

Mit dem Satz des Pythagoras kannst du das Apothema berechnen.

 

 l = r

\displaystyle a = \sqrt{l^{2}-\left ( \frac{l}{2} \right )^{2}}

 

Übungsbeispiel für die Berechnung eines Apothemas

 

Berechne das Apothema eines Sechsecks, das in einen Kreis mit Radius 4 cm eingeschrieben ist.

Berechne das Apothema des Sechsecks, das in einen Kreis eingeschrieben ist

 

 l = r = 4

\displaystyle a = \sqrt{4^{2}-2^{2}}= 3.46

 

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Anna