Definition eines Dreiecks

 

Ein Dreieck ist ein Polygon, das durch drei Liniensegmente, genannt Seiten, oder durch drei nicht ausgerichtete Punkte, genannt Scheitelpunkte, bestimmt wird.

 

Die Seiten eines DreiecksEckpunkte eines Dreiecks

 

Winkel eines Dreiecks

 

Die Eckpunkte eines Dreiecks werden in Großbuchstaben geschrieben.

 

Die Seiten eines Dreiecks werden kleingeschrieben, mit den gleichen Buchstaben wie die gegenüberliegenden Eckpunkte.

 

Die Winkel eines Dreiecks werden auf die gleiche Weise geschrieben wie die Scheitelpunkte.

 

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Eigenschaften von Dreiecken

 

1 Eine Seite eines Dreiecks ist kleiner als die Summe der beiden anderen und größer als deren Differenz.

 

a < b + c

 

a > b - c

 

2 Die Summe der drei Winkel eines Dreiecks beträgt 180^o.

 

Wie berechnet man die Winkelsumme am Dreieck?

 

3 In einem Dreieck gilt: Je größer die Seite, desto größer der Winkel.

 

In einem Dreieck gilt: Je größer die Seite, desto größer der Winkel

 

4 Der Wert eines Außenwinkels ist gleich der Summe der beiden nicht benachbarten Innenwinkel. Wenn ein Dreieck zwei gleiche Seiten hat, sind auch seine gegenüberliegenden Winkel gleich.

 

Was ist der Außenwinkel eines Dreiecks?

 

Gleiche Dreiecke

 

1Zwei Dreiecke sind gleich, wenn sie eine Seite haben und ihre beiden benachbarten Winkel gleich sind.

 

2Zwei Dreiecke sind gleich, wenn sie zwei gleiche Seiten und einen eingeschlossenen Winkel haben.

 

3Zwei Dreiecke sind gleich, wenn sie drei gleiche Seiten haben.

 

Klassifizierung von Dreiecken nach ihren Seiten und Umfangsformeln

Gleichseitiges DreieckGleichschenkliges DreieckUngleichseitiges Dreieck
U = 3 x lU = 2 x l + bU = a + b + c
Gleichseitiges DreieckGleichschenkliges DreieckUngleichseitiges Dreieck

 

Klassifizierung von Dreiecken nach ihren Winkeln

 

Spitzwinkliges Dreieck

 

Es hat drei spitzen Winkel

 

Spitzwinkliges Dreieck

 

Rechtwinkliges Dreieck

 

Es hat einen rechten Winkel.

Die größere Seite ist die Hypotenuse.

Die Nebenseiten sind die Katheten.

 

Rechtwinkliges Dreieck

 

Stumpfwinkliges Dreieck

 

Es hat einen stumpfen Winkel.

 

Stumpfwinkliges Dreieck

 

Klassifizierung von Dreiecken nach ihren Winkeln

 

Gleichseitiges Dreieck: ein Dreieck mit drei gleichen Seiten

 

Gleichseitiges Dreieck

 

Gleichschenkliges Dreieck: ein Dreieck mit zwei gleichen Seiten

 

Gleichschenkliges Dreieck

 

Unregelmäßiges Dreieck: ein Dreieck mit drei ungleichen Seiten

 

Unregelmäßiges Dreieck

 

Wichtige Elemente in Dreiecken

 

Höhen eines Dreiecks:

 

Die Höhe ist jede der senkrechten Linien, die von einem Scheitelpunkt zur gegenüberliegenden Seite (oder deren Verlängerung) gezogen werden.

 

Höhenschnittpunkt

 

Er ist der Schnittpunkt der drei Höhen.

 

Mediane eines Dreiecks

 

Der Median ist jede der Geraden, die den Mittelpunkt einer Seite mit dem gegenüberliegenden Scheitelpunkt verbindet.

 

Schwerpunkt

 

Er ist der Schnittpunkt der drei Seitenhalbierenden.

 

Der Schwerpunkt teilt jede Seitenhalbierende in zwei Segmente, wobei das Segment, das den Schwerpunkt mit dem Scheitelpunkt verbindet, doppelt so lang ist wie das Segment, das den Schwerpunkt mit dem Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite verbindet.

 

Mittelsenkrechte eines Dreiecks

 

Die Mittelsenkrechte ist jede der senkrechten Linien, die zu einer Seite durch ihren Mittelpunkt gezogen wird.

 

Umkreis

 

Er ist der Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten.

 

Er ist der Mittelpunkt eines Kreises, der das Dreieck umschreibt.

 

Winkelhalbierende eines Dreiecks

 

Die Winkelhalbierende ist jede der Geraden, die einen Winkel in zwei gleiche Winkel teilt.

 

Inkreis

 

Er ist der Schnittpunkt der drei Winkelhalbierenden.

 

Er ist der Mittelpunkt eines in das Dreieck eingeschriebenen Kreises.

 

Eulersche Gerade

 

Der Höhenschnittpunkt, das Baryzentrum und der Umkreis eines unregelmäßigen Dreiecks sind zueinander ausgerichtet, d.h. sie gehören zur selben Linie, die Eulersche Linie genannt wird.

 

Flächeninhalt eines Dreiecks

 

Der Flächeninhalt eines Dreiecks ist gleich der Hälfte des Produkts aus seiner Grundseite und seiner Höhe.

 

Flächeninhalt eines Dreiecks

 

A = \cfrac{b \cdot h}{2}

 

Beispiel: Finde den Flächeninhalt des folgenden Dreiecks

 

Beispiel zur Berechnung des Flächeninhalts von Dreiecken

 

Die Grundseite beträgt 11 \, cm und die Höhe 7 \, cm, also ist der Flächeninhalt

 

A = \cfrac{11 \cdot 7}{2} = 38.5 \, cm^2

 

Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks

 

Der Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks ist gleich der Hälfte des Produkts der Schenkel.

 

Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks

 

A = \cfrac{b \cdot c}{2}

 

Beispiel:  Finde den Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks, dessen Schenkel 3 und 4 cm messen.

 

Beispiel zur Berechnung des Flächeninhalts eines rechtwinkligen Dreiecks

 

Die Schenkel sind 3 und 4 \, cm lang, also ist ihre Fläche

 

A = \cfrac{3 \cdot 4}{2} = 6 \, cm^2

 

Halbumfang 

 

Der Halbumfang eines Dreiecks ist gleich der Summe seiner Seiten geteilt durch 2. Er wird mit dem Buchstaben p bezeichnet

 

p = \cfrac{a + b + c}{2}

 

Zwei Seiten und deren Winkel sind bekannt

 

Halbumfang eines Dreiecks

 

A = \cfrac{a \cdot  b \cdot sen \, C}{2}

 

Kreisumfang eines Dreiecks

 

Kreisumfang eines Dreiecks

 

A = \cfrac{a \cdot b \cdot c}{4R}

 

wobei R der Radius des umschriebenen Kreises ist

 

In ein Dreieck eingeschriebener Kreisumfang

 

In ein Dreieck eingeschriebener Kreisumfang

 

A = r \cdot p

 

wobei r der Radius des eingeschriebenen Kreises ist

 

Sätze und Formeln

 

Kathetensatz

 

Kathetensatz am Dreieck berechnen

 

\cfrac{a}{b} = \cfrac{b}{m} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ b^2 = a \cdot m

 

\cfrac{a}{c} = \cfrac{c}{n} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ c^2 = a \cdot n

 

Höhensatz

 

Höhensatz am Dreieck

 

\cfrac{m}{h} = \cfrac{h}{n} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ h^2 = m \cdot n

 

Satz des Pythagoras

 

Dreiecke und der Satz des Pythagoras

 

a^2 = b^2 + c^2

 

a = \sqrt{b^2 + c^2}

 

b = \sqrt{a^2 - c^2}

 

c = \sqrt{a^2 - b^2}

 

Satz des Heron

 

Dreiecke und der Satz des Heron

 

A = \sqrt{p \cdot (p - a) \cdot (p - b) \cdot (p - c)}

 

wobei p der Halbumfang ist.

 

Beispiel: Finde den Flächeninhalt des Dreiecks, dessen Seiten 3, 4 und 5 \, cm messen.

 

Berechne den Halbumfang

 

p = \cfrac{3 + 4 + 5}{2} = 6

 

Wende den Satz des Heron an

 

A = \sqrt{6 \cdot (6 - 3) \cdot (6 - 4) \cdot (6 - 5)} = 6 \, cm^2

 

Diagonale des Quadrats

 

Dreiecke: Diagonale eines Quadrats

 

d = l \sqrt{2}

 

Diagonale des Rechtecks

 

Diagonale eines Rechtecks (Dreiecke)

 

d = \sqrt{b^2 + h^2}

 

Schräge Seite eines rechteckigen Trapezes

 

Schräge Seite des rechteckigen Trapezes

 

n = B - b

 

l = \sqrt{h^2 + n^2}

 

Höhe eines gleichschenkligen Trapezes

 

Höhe eines gleichschenkligen Trapezes

 

n = B - b

 

h = \sqrt{l^2 - n^2}

 

Höhe eines gleichseitigen Dreiecks

 

Höhe eines gleichseitigen Dreiecks

 

h = \cfrac{\sqrt{3}}{2} l

 

Apothema eines regelmäßigen Vielecks

 

Apothema eines regelmäßigen Vielecks

 

a = \sqrt{r^2 - \left ( \cfrac{l}{2} \right )^2}

 

Apothema eines eingeschriebenen Sechsecks

 

Apothema eines eingeschriebenen Sechsecks

 

a = \sqrt{l^2 - \left ( \cfrac{l}{2} \right )^2}

 

Seite eines eingeschriebenen gleichseitigen Dreiecks

 

Seite eines eingeschriebenen gleichseitigen Dreiecks

 

l = \sqrt{3} r

 

Seite eines eingeschriebenen Quadrats

 

Seite eines eingeschriebenen Quadrats

 

l = \sqrt{r^2 + r^2}

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Anna