Kapitel
- Definition eines Dreiecks
- Eigenschaften von Dreiecken
- Gleiche Dreiecke
- Klassifizierung von Dreiecken nach ihren Seiten und Umfangsformeln
- Klassifizierung von Dreiecken nach ihren Winkeln
- Klassifizierung von Dreiecken nach ihren Winkeln
- Wichtige Elemente in Dreiecken
- Flächeninhalt eines Dreiecks
- Sätze und Formeln
Definition eines Dreiecks
Ein Dreieck ist ein Polygon, das durch drei Liniensegmente, genannt Seiten, oder durch drei nicht ausgerichtete Punkte, genannt Scheitelpunkte, bestimmt wird.
Die Eckpunkte eines Dreiecks werden in Großbuchstaben geschrieben.
Die Seiten eines Dreiecks werden kleingeschrieben, mit den gleichen Buchstaben wie die gegenüberliegenden Eckpunkte.
Die Winkel eines Dreiecks werden auf die gleiche Weise geschrieben wie die Scheitelpunkte.
Eigenschaften von Dreiecken
1 Eine Seite eines Dreiecks ist kleiner als die Summe der beiden anderen und größer als deren Differenz.
2 Die Summe der drei Winkel eines Dreiecks beträgt 
.
3 In einem Dreieck gilt: Je größer die Seite, desto größer der Winkel.
4 Der Wert eines Außenwinkels ist gleich der Summe der beiden nicht benachbarten Innenwinkel. Wenn ein Dreieck zwei gleiche Seiten hat, sind auch seine gegenüberliegenden Winkel gleich.
Gleiche Dreiecke
1Zwei Dreiecke sind gleich, wenn sie eine Seite haben und ihre beiden benachbarten Winkel gleich sind.
2Zwei Dreiecke sind gleich, wenn sie zwei gleiche Seiten und einen eingeschlossenen Winkel haben.
3Zwei Dreiecke sind gleich, wenn sie drei gleiche Seiten haben.
Klassifizierung von Dreiecken nach ihren Seiten und Umfangsformeln
| Gleichseitiges Dreieck | Gleichschenkliges Dreieck | Ungleichseitiges Dreieck |
|---|---|---|
| U = 3 x l | U = 2 x l + b | U = a + b + c |
| 
| 
|
Klassifizierung von Dreiecken nach ihren Winkeln
Spitzwinkliges Dreieck
Es hat drei spitzen Winkel
Rechtwinkliges Dreieck
Es hat einen rechten Winkel.
Die größere Seite ist die Hypotenuse.
Die Nebenseiten sind die Katheten.
Stumpfwinkliges Dreieck
Es hat einen stumpfen Winkel.
Klassifizierung von Dreiecken nach ihren Winkeln
Gleichseitiges Dreieck: ein Dreieck mit drei gleichen Seiten
Gleichschenkliges Dreieck: ein Dreieck mit zwei gleichen Seiten
Unregelmäßiges Dreieck: ein Dreieck mit drei ungleichen Seiten
Wichtige Elemente in Dreiecken
Höhen eines Dreiecks:
Die Höhe ist jede der senkrechten Linien, die von einem Scheitelpunkt zur gegenüberliegenden Seite (oder deren Verlängerung) gezogen werden.
Höhenschnittpunkt
Er ist der Schnittpunkt der drei Höhen.
Mediane eines Dreiecks
Der Median ist jede der Geraden, die den Mittelpunkt einer Seite mit dem gegenüberliegenden Scheitelpunkt verbindet.
Schwerpunkt
Er ist der Schnittpunkt der drei Seitenhalbierenden.
Der Schwerpunkt teilt jede Seitenhalbierende in zwei Segmente, wobei das Segment, das den Schwerpunkt mit dem Scheitelpunkt verbindet, doppelt so lang ist wie das Segment, das den Schwerpunkt mit dem Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite verbindet.
Mittelsenkrechte eines Dreiecks
Die Mittelsenkrechte ist jede der senkrechten Linien, die zu einer Seite durch ihren Mittelpunkt gezogen wird.
Umkreis
Er ist der Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten.
Er ist der Mittelpunkt eines Kreises, der das Dreieck umschreibt.
Winkelhalbierende eines Dreiecks
Die Winkelhalbierende ist jede der Geraden, die einen Winkel in zwei gleiche Winkel teilt.
Inkreis
Er ist der Schnittpunkt der drei Winkelhalbierenden.
Er ist der Mittelpunkt eines in das Dreieck eingeschriebenen Kreises.
Eulersche Gerade
Der Höhenschnittpunkt, das Baryzentrum und der Umkreis eines unregelmäßigen Dreiecks sind zueinander ausgerichtet, d.h. sie gehören zur selben Linie, die Eulersche Linie genannt wird.
Flächeninhalt eines Dreiecks
Der Flächeninhalt eines Dreiecks ist gleich der Hälfte des Produkts aus seiner Grundseite und seiner Höhe.
Beispiel: Finde den Flächeninhalt des folgenden Dreiecks
Die Grundseite beträgt 
und die Höhe 
, also ist der Flächeninhalt
Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks
Der Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks ist gleich der Hälfte des Produkts der Schenkel.
Beispiel: Finde den Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks, dessen Schenkel 
und 
messen.
Die Schenkel sind und 
lang, also ist ihre Fläche
Halbumfang
Der Halbumfang eines Dreiecks ist gleich der Summe seiner Seiten geteilt durch 2. Er wird mit dem Buchstaben 
bezeichnet
Zwei Seiten und deren Winkel sind bekannt
Kreisumfang eines Dreiecks
wobei 
der Radius des umschriebenen Kreises ist
In ein Dreieck eingeschriebener Kreisumfang
wobei 
der Radius des eingeschriebenen Kreises ist
Sätze und Formeln
Kathetensatz
Höhensatz
Satz des Pythagoras
Satz des Heron
wobei der Halbumfang ist.
Beispiel: Finde den Flächeninhalt des Dreiecks, dessen Seiten 
und 
messen.
Berechne den Halbumfang
Wende den Satz des Heron an
Diagonale des Quadrats
Diagonale des Rechtecks
Schräge Seite eines rechteckigen Trapezes
Höhe eines gleichschenkligen Trapezes
Höhe eines gleichseitigen Dreiecks
Apothema eines regelmäßigen Vielecks
Apothema eines eingeschriebenen Sechsecks
Seite eines eingeschriebenen gleichseitigen Dreiecks
Seite eines eingeschriebenen Quadrats
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