Kapitel

Aussage des Satzes von Pythagoras

Der Satz des Pythagoras besagt Folgendes:

In allen rechtwinkligen Dreiecken ist die Summe der Flächeninhalte der Kathetenquadrate gleich dem Flächeninhalt des Hypotenusenquadrates.

 

Was besagt der Satz des Pythagoras?

 

Aus der vorherigen Aussage können wir die folgende Formel ableiten, mit der wir den Betrag jeder der Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks berechnen können

 

    $$a^{2}=b^{2}+c^{2}.$$

 

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Los geht's

Anwendungen des Satzes von Pythagoras

 

Berechne die Hypotenuse.

 

1 Du kennst bereits die beiden Katheten, daher kannst du die Hypotenuse berechnen. Du musst nur die Variable a aus der Gleichung entfernen

 

    $$a^{2}=b^{2}+c^{2}.$$

 

Dies machst du, indem du einfach die Quadratwurzel ziehst

 

    $$a=\sqrt{b^{2}+c^{2}}.$$

 

Beispiel: Die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks messen jeweils 3m und 4m. Wie lang ist die Hypotenuse?

 

Hypotenuse mit dem Satz des Pythagoras berechnen

 

In diesem Fall hast du b=4,c=3 und musst den Wert von a herausfinden.

 

In die obige Formel einsetzen

 

    $$a=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{25}=5.$$

 

Die Hypotenuse misst also 5m.

Eine Kathete berechnen.

 

2 Wenn du die Hypotenuse und eine Seite kennst, kannst du die andere Seite berechnen.

 

Aus deiner Ausgangsgleichung a^{2}=b^{2}+c^{2}, kannst du den Wert einer der Katheten eliminieren und erhältst für die Kathete b,

 

    $$b=\sqrt{a^{2}-c^{2}},$$

 

und für die Kathete c,

 

    $$c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}.$$

Beispiel: Die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks ist 5m und einer der Katheten ist 3m lang. Wie lang ist die andere Kathete?

 

Kathete mit dem Satz des Pythagoras berechnen

 

Laut der Abbildung misst die Kathete c 3m, die Hypotenuse 5m und du musst die Kathete b finden. Verwende also die Formel zur Berechnung der Kathete,

 

    $$ b = \sqrt{5^{2}+3^{2}} = \sqrt{25-9} = \sqrt{16} = 4 $$

 

Daher misst die Kathete b 4m.

 

Klassifikation von rechtwinkligen Dreiecken.

 

3 Wenn du die Seiten eines Dreiecks kennst, kannst du herausfinden, ob es ein rechtwinkliges Dreieck ist oder nicht.

 

Damit ein Dreieck ein rechtwinkliges Dreieck ist, muss das Quadrat der größeren Seite gleich der Summe der Quadrate der beiden kleineren Seiten sein.

 

Beispiel: Bestimme, ob das folgende Dreieck ein rechtwinkliges Dreieck ist.

 

Lege fest, ob das Dreieck rechtwinklig ist

 

Beachte, dass die längste Seite dieses Dreiecks die Länge 5 hat. Wenn du mit der vorherigen Angabe fortfährst, musst du die folgenden Gleichungen überprüfen

 

    $$5^{2}=3^{2}+4^{2},$$

 

    $$25=9+16=25.$$

 

Da du auf beiden Seiten der Gleichheit das gleiche Ergebnis erhältst, kannst du darauf schließen, dass das Dreieck rechtwinklig ist.

Aufgaben

 

1Eine 10 m lange Leiter ist an eine Wand gelehnt. Der Fuß der Leiter ist 6 m von der Wand entfernt. Welche Höhe erreicht die Leiter über der Wand?
Aufgaben zum Satz des Pythagoras

Die Treppe, die Wand und der Boden bilden ein rechtwinkliges Dreieck, bei dem du als Hypotenuse die Länge der Treppe und als einen der Schenkel die Länge vom Fuß der Treppe bis zur Wand nehmen kannst. Dann ist a=10 und c=6. Unser Ziel ist es dann, die Höhe der Treppe über der Wand zu berechnen, also die verbleibende Kathete zu berechnen. Nach unseren vorherigen Formeln und der Abbildung haben wir, dass

    $$b=\sqrt{10^{2}-6^{2}}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8.$$

. 

2Finde den Flächeninhalt des gleichseitigen Dreiecks:

Satz des Pythagoras: Finde den Flächeninhalt des gleichseitigen Dreiecks

Zuerst zeichnest du die Höhe des gleichseitigen Dreiecks ein. Diese Höhe teilt das Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke mit den Katheten h, der Höhe des gleichseitigen Dreiecks, 5, der Hälfte einer der Seiten des Dreiecks und schließlich mit der Hypotenuse 10, einer der Seiten des Ausgangsdreiecks. Auf diese Weise musst du zur Höhenberechnung nur die vorherige Formel für das Finden von Katheten rechtwinkliger Dreiecke anwenden, die uns ergibt

    $$10^{2}=h^{2}+5^{2},$$

    $$ h = \sqrt{10^{2} - 5^{2}} = \sqrt{100 - 25} = \sqrt{75} = 8.66 $$

Der Flächeninhalt eines Dreiecks ergibt sich aus der Formel

    $$A_{triángulo}=\cfrac{\mbox{base}\times\mbox{altura}}{2}.$$

Du stellst fest, dass die Grundseite  des Dreiecks 10cm und die Höhe 8.66cm beträgt. Dann ergibt sich durch Einsetzen in die Flächenformel

    $$A_{triángulo}=\cfrac{10\times 8.666}{2}=43.30.$$

3Finde die Diagonale des Quadrats:

Satz des Pythagoras: Finde die Diagonale des Quadrats

 

Die Diagonale des Quadrats, dessen Seiten 5cm messen, teilt die genannte Figur in zwei rechtwinklige Dreiecke, wobei die Diagonale d mit der Hypotenuse eines dieser Dreiecke zusammenfällt. Das heißt, du musst die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks finden, dessen Katheten gleich 5cm sind.
Verwende dazu verwendest die Formel für die Hypotenuse:

    $$d^{2}=5^{2}+5^{2}}$$

    $$ d = \sqrt{5^{2}+5^{2}} = \sqrt{25+25} = \sqrt{50} = 7.07 $$

Die Diagonale beträgt also 7.07cm.

4Finde die Diagonale des Rechtecks:

Satz des Pythagoras: Finde die Diagonale des Rechtecks

 

Ähnlich wie in der vorherigen Übung teilt die Diagonale d dieses Rechtecks in zwei rechtwinklige Dreiecke von 6cm und 10cm und die Diagonale fällt mit der Hypotenuse dieser Dreiecke zusammen. Also musst du wieder die Formel verwenden, um die Hypotenuse zu berechnen:

    $$d^{2}=10^{2}+6^{2}},$$

    $$ d = \sqrt{10^{2}+6^{2}} = \sqrt{100+36} = \sqrt{136} = 11.66 $$

Die Länge der Diagonale beträgt daher 11.66cm.

5Finde den Umfang und die Fläche des rechtwinkligen Trapezes:

Satz des Pythgaroras: Finde den Umfang und die Fläche des rechtwinkligen Trapezes

 

Der Umfang des Trapezes ist die Summe der Längen seiner Seiten. Aus der Abbildung geht hervor, dass die Oberseite des Trapezes 8cm, die Unterseite 10cm und die Höhe des Trapezes 6cm misst. Um die diagonale Seite des Trapezes zu finden, die du h nennst, musst du das rechtwinklige Dreieck mit der senkrechten Seite 6cm, der waagerechten Seite 2cm und der Hypotenuse h betrachten. Da du den Wert von h berechnen musst, verwendest du die Formel zur Berechnung der Hypotenuse:

    $$h^{2}=6^{2}+2^{2}},$$

    $$ h = \sqrt{6^{2}+2^{2}} = \sqrt{36+4} = \sqrt{40} = 6.32cm $$

Am Schluss kannst du den Umfang berechnen, der dasselbe wie die Summe ist:

    $$P=8+6+10+6.32=30.32cm.$$

Um die Fläche zu berechnen musst du wissen, dass das Trapez aus einem rechtwinkligen Dreieck und einem Rechteck besteht. Daher musst du nur die beiden Flächen zusammenrechnen. Das bedeutet

    $$A_{trapecio} = A_{triángulo}+A_{rectángulo}.$$

Der Flächeninhalt des Rechtecks ist das Produkt aus seiner Grundseite und seiner Höhe, also A_{Rechteck}=6{Rechteck}=6{dtod 8= 48. Für den Flächeninhalt des Dreiecks gilt

    $$A_{triángulo}=\cfrac{\mbox{base}\times\mbox{altura}}{2}$$

[latex]$$A_{triángulo}=\cfrac{2\times 6}{2}=6cm^{2}.$$[/latex]Daher

    $$A_{trapecio} = 6cm^{2} + 48cm^{2} = 54 cm^{2}.$$

 

6Der Umfang eines gleichschenkligen Trapezes beträgt 110 m, die Grundseiten messen 40 m bzw. 30 m. Berechne die nicht-parallelen Seiten und den Flächeninhalt.

Satz des Pythagoras: gleichschenkliges Trapez berechnen

 

Der Umfang des Trapezes ist gleich der Summe der Längen seiner Seiten. Dann hast du die folgende Gleichheit

    $$110=40+30+2l,$$

, wobei l der Wert der nicht-parallelen Seite ist. Wenn du l aus der vorherigen Gleichung entfernst, weißt du, dass

    $$l=$110-40-30}=20cm $$

ist. Auf diese Weise hast du bereits den ersten Teil des Problems gelöst. Erinnere dich daran, dass die Fläche des Trapezes gleich der Summe der Grundseite ist, multipliziert mit der Höhe und diese dann durch zwei geteilt wird. Du musst also die Höhe des Trapezes berechnen, die du h nennst. Aus der Abbildung kannst du das rechtwinklige Dreieck mit den Katheten 5cm, h und der Hypotenuse l betrachten. Um den Wert von h zu finden, verwendest du anschließend die Formel zur Berechnung der Katheten,

    $$ h = \sqrt{l^{2}-5^{2}} = \sqrt{20^{2}-5^{2}} = 19.36cm $$

Nun kannst du den Flächeninhalt des Trapezes berechnen,

    $$ A = \frac{(40+30) \times h}{2} = \frac{(40+30)\times 19.36}{2} = 677.77cm^{2} $$

7Finde den Flächeninhalt eines regelmäßigen Fünfecks:

Satz des Pythagoras: Finde den Flächeninhalt eines regelmäßigen Fünfecks

 

Du weißt, dass die Seiten des regelmäßigen Fünfecks 6cm messen. Da der Flächeninhalt des Fünfecks gleich der Hälfte des Umfangs mal dem Wert des Apothemas ist, musst du den Wert des Apothemas finden. Du nennst das Apothema a,, wie in der Abbildung dargestellt. Um a zu berechnen, betrachtest du das Dreieck mit den Katheten a, 3cm und der Hypotenuse 5cm. Du verwendest also die Formel zur Berechnung der Katheten:

    $$5^{2}=a^{2}+3^{2}},$$

    $$a = \sqrt{5^{2}-3^{2}} = \sqrt{25-9} = \sqrt{16} = 4cm $$

Der Wert des Umfangs des Fünfecks ist

    $$P=5mal 6=30cm.$$

. Schließlich kannst du den Flächeninhalt des Fünfecks berechnen.

    $$ A = \frac{P \times a}{2}= \frac{30 \times 4}{2}= \frac{120}{2} = 60cm^{2}.$$

8Berechne den Flächeninhalt des eingeschriebenen Quadrats von einem Umkreis mit einer Länge von 18.84 m.

Flächeninhalt eines in einen Kreis eingeschriebenen Quadrats mit dem Satz des Pythagoras berechnen

 

Da das Quadrat in einen Kreis eingeschrieben ist, kannst du es in 4 rechtwinklige Dreiecke mit Katheten gleich dem Radius des Kreises, r, und der Hypotenuse l aufteilen und so die Seite des Dreiecks mit der Formel für die Berechnung von Hypotenusen berechnen,

    $$ l^{2} = r^{2}+r^{2}} $$

    $$l^{2}=9+9=18$$

.
Da der Flächeninhalt des Quadrats also l=l^{2} ist, folgt daraus, dass er gleich 18cm^{2} ist.

9In einem Kreis misst ein Seil 48 cm und ist 7 cm vom Mittelpunkt entfernt. Berechne den Flächeninhalt des Kreises.

Satz des Pythagoras üben: aufgaben und Lösungen

 

Um den Flächeninhalt des Kreises zu berechnen, musst du zunächst seinen Radius ermitteln. Da die Sehne des Kreises 7cm vom Mittelpunkt entfernt ist, kannst du ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten 7cm, der halben Sehne, 24cm und der Hypotenuse gleich dem Radius des Kreises, r, bilden. Um den Radius zu finden, musst du also die Formel zur Berechnung von Hypotenusen verwenden.

    $$r^{2}=24^{2}+7^{2}},$$

    $$r=\sqrt{24^{2}+7^{2}}=\sqrt{625}=25cm.$$

Así, el area del círculo es

    $$A=\pi\cdot r^{2}$$

[latex]$$A=\pi\cdot 25^{2}=1963.50cm^{2}.$$[/latex]

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Anna

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