Ein Winkel ist der Bereich der Ebene zwischen zwei Geraden mit einem gemeinsamen Ursprung. Die Geraden werden Seiten genannt und der gemeinsame Ursprung wird Scheitelpunkt genannt.

Was ist ein Winkel?

 

 

Winkel messen

 

Zum Messen von Winkeln verwendest du den Kreisbogen (^{\circ })

 

Der Kreisbogen ist die Amplitude des Winkels, der sich aus der Teilung des Umfangs in 360 gleiche Teile ergibt.

 

1^{\circ }=60'=3600''

 

1'=60''

 

Bogenmaß mit der Einheit Radiant

 

Der Radiant (rad) ist das Maß für den zentralen Winkel eines Kreises, dessen Bogenlänge mit der Länge seines Radius übereinstimmt.

 

Die Einheit Radiant ist ein Winkelmaß, das den Winkel durch die Länge des Kreisbogens im Einheitskreis angibt.

 

1\: \textup{rad}=57^{\circ}\, 17'\, 44.8''

 

360^{\circ}=2\pi \textup{rad}

 

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Klassifizierung von Winkeln nach ihrem Maß

Spitzer Winkel

 

Was ist ein spitzer Winkel? Er misst weniger als 90^{\circ}.

 

Rechter Winkel

Was ist ein rechter Winkel?Er misst genau 90^{\circ}.

 

Stumpfer Winkel

Was ist ein stumpfer Winkel?  Er misst mehr als 90^{\circ}.

 

Flacher Winkel

Was ist ein flacher Winkel? Er misst 180^{\circ}.

 

Überstumpfer Winkel

Was ist ein überstumpfer Winkel?                           Er misst weniger als ein flacher Winkel.

 

Erhabener Winkel

Was ist ein erhabener Winkel? Er misst mehr als ein flacher Winkel.

 

Nullwinkel

Was ist ein Nullwinkel? Er misst 0^{\circ}. Die winkelbildenden Geraden liegen direkt aufeinander.

 

Vollwinkel

Was ist ein Vollwinkel? Er misst 360^{\circ}.

 

Negativer Winkel

Was ist ein negativer Winkel? Er misst weniger als 0^{\circ}.

 

 

Negative Winkel drehen sich im Uhrzeigersinn, d. h. in der Richtung, in der sich die Zeiger einer Uhr bewegen.

 

Ein negativer Winkel kann in einen positiven Winkel umgewandelt werden, indem man 360^{\circ} addiert.

 

-30^{\circ}=360^{\circ}-30^{\circ}=330^{\circ}

 

 

Winkel größer als 360°

Winekl größer als 360°?Er misst mehr als eine Umdrehung.

 

Ein Winkel von 390^{\circ}=360^{\circ}+30^{\circ}, entspricht - wenn du ihn darstellst - einem Winkel von 30^{\circ}. Ein Winkel von 750^{\circ}=2\cdot 360^{\circ}+30^{\circ}, entspricht - wenn du ihn darstellst - einem Winkel von 30^{\circ}. Wenn du der ersten Windung einen Winkel zuordnen willst, teilst du den Winkel durch 360^{\circ}: Der Quotient ist die Anzahl der Windungen, die sich daraus ergibt. Der Rest ist der resultierende Winkel, der der ersten Windung entspricht.

 

 

Klassifizierung von Winkeln nach ihrer Lage

 

Nebenwinkel

 

Was ist ein Nebenwinkel?

Zwei Winkel, die an einer Geradenkreuzung nebeneinanderliegen, heißen Nebenwinkel.

Benachbarte Winkel

 

Was sind benachbarte Winkel?

Es handelt sich dabei um Winkel, die den Scheitelpunkt und eine gemeinsame Seite haben. Die anderen Seiten liegen in einem Vieleck des anderen.

 

Sie bilden zusammen einen gestreckten Winkel.

 

Wechselwinkel

 

 

Was sind Wechselwinkel?

Es handelt sich um Winkel, die den Scheitelpunkt gemeinsam haben. Die Seiten des einen sind eine Verlängerung der Seiten des anderen.

 

Die Winkel 1 und 3 sind gleich.

 

Die Winkel 2 und 4 sind gleich.

 

Klassifizierung von Winkeln nach ihrer Summe

 

 

Komplementärwinkel

 

Was sind Komplementärwinkel?

Zwei Winkel, die sich zu 90^{\circ} ergänzen, heißen Komplementärwinkel.

 

 

Supplementärwinkel

 

Was sind Supplementärwinkel?

Zwei Winkel, die sich zu 180^{\circ} ergänzen, heißen Supplementärwinkel.

 

 

Stufenwinkel

 

Zugehörige Winkel

 

 

Was ist ein Stufenwinkel?

 

Die Winkel 1 und 2 sind gleich.

 

 

Wechselwinkel innen

 

 

Stufenwinkel: Wechselwinkel innen

 

Die Winkel 2 und 3 sind gleich.

 

 

Wechselwinkel außen

 

Stufenwinkel: Wechselwinkel außen

 

Die Winkel 1 und 4 sind gleich.

 

 

Winkel am Kreis

 

Mittelpunktswinkel

 

Der Winkel, dessen Scheitel im Mittelpunkt des Kreises liegt und dessen Schenkel die Begrenzungspunkte des Kreisbogens schneiden, heißt Mittelpunktswinkel.

Das Maß eines Kreisbogens ist das Maß des zugehörigen Mittelpunktswinkels.

 

Winkel am Kreis: Mittelpunktswinkel

 

      {\widehat{AOB}}=\stackrel{\textstyle\frown}{AB}

Kreiswinkel

 

Der Kreiswinkel hat hat seinen Scheitelpunkt auf dem Umfang und seine Seiten sind Sekanten zu ihm.

Er misst die Hälfte des Kreisbogens, den er überspannt.

 

Kreiswinkel (Winkel am Kreis)

 

     {\widehat{AOB}}=\cfrac{1}{2}\stackrel{\textstyle\frown}{AB}

Halbwinkel

 

Der Halbwinkel liegt auf dem Kreis, eine Seite ist Sekante und die andere tangiert ihn.

Er misst die Hälfte des Kreisbogens, den er überspannt.

 

Halbwinkel (Winkel am Kreis)

 

     {\widehat{AOB}}=\cfrac{1}{2}\stackrel{\textstyle\frown}{AB}

Innenwinkel

 

Sein Scheitelpunkt liegt innerhalb des Kreises und seine Seiten sind Sekanten zu ihm.
Er misst die Hälfte der Summe der Maße der Kreisbögen, die seine Seiten überspannen, und der Verlängerungen seiner Seiten.

 

Innenwinkel am Kreis

 

     {\widehat{AOB}}=\cfrac{1}{2}(\stackrel{\textstyle\frown}{AB}+\stackrel{\textstyle\frown}{CD})

Außenwinkel

 

Sein Scheitelpunkt ist ein Punkt außerhalb des Kreises, und die Seiten seiner Winkel sind: entweder eine Sekante an ihm, oder eine Tangente und eine Sekante, oder Tangente an ihm.

 

Außenwinkel am Kreis Außenwinkel am Kreis erklärtAußenwinkel am Kreis: Definition

Er misst die Hälfte der Differenz zwischen den Maßen der Kreisbögen, die seine Seiten auf dem Umfang aufspannen.

 

     {\widehat{AOB}}=\cfrac{1}{2}(\stackrel{\textstyle\frown}{AB}-\stackrel{\textstyle\frown}{CD})

Winkel eines regelmäßigen Vielecks

 

Winkel eines regelmäßigen Vielecks

 

Mittelpunktswinkel eines regelmäßigen Vielecks

 

Es ist derjenige, der von zwei aufeinanderfolgenden Radianten gebildet wird.

 

Beispiel

 

Wenn n die Anzahl der Seiten eines Vielecks ist:

 

Mittelpunktswinkel = =360^{\circ}\div n

 

Mittelpunktswinkel des regelmäßigen Vielecks = =360^{\circ}\div 5=72^{\circ}

 

Innenwinkel eines regelmäßigen Vielecks

 

Es ist derjenige, der von zwei aufeinanderfolgenden Seiten gebildet wird.

 

Innenwinkel =180^{\circ}- Mittelpunktswinkel

 

Innenwinkel eines regelmäßigen Vielecks =180^{\circ}-72^{\circ}=108^{\circ}

 

Außenwinkel eines regelmäßigen Vielecks

 

Er ist derjenige, der von einer Seite und der Verlängerung einer darauffolgenden Seite gebildet wird.

 

Die Außen- und Innenwinkel sind ergänzend, d.h. sie addieren sich zu 180^{\circ}.

 

Außenwinkel = Mittelpunktswinkel

 

Außenwinkel des regelmäßigen Vielecks =72^{\circ}

 

Summe

 

Die Summe von zwei Winkeln ist ein weiterer Winkel, dessen Amplitude die Summe der Amplituden der beiden Ausgangswinkel ist.

 

Summe von Winkeln

 

Subtraktion

 

Die Subtraktion zweier Winkel ist ein weiterer Winkel, dessen Amplitude die Differenz zwischen der Amplitude des größeren Winkels und der Amplitude des kleineren Winkels ist.

 

Substraktion von Winkeln

 

Multiplikation einer Zahl mit einem Winkel

 

Die Multiplikation einer Zahl mit einem Winkel ist ein weiterer Winkel, dessen Amplitude die Summe von so vielen Winkeln ist, wie die Zahl angibt.

 

Multiplikation einer Zahl mit einem Winkel

 

Division eines Winkels durch eine Zahl

 

Die Division eines Winkels durch eine Zahl besteht darin, einen anderen Winkel zu finden, der multipliziert mit dieser Zahl den ursprünglichen Winkel ergibt.

 

Division eines Winkels durch eine Zahl         \div\: 4=  Winkel durch eine Zahl teilen

 

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Anna