Regelmäßige Vielecke haben gleiche Seiten und Winkel und sind in einen Kreis eingeschrieben.

 

 

Regelmäßige Vielecke haben gleiche Seiten und Winkel und sind in einen Kreis eingeschrieben

 

Ein Vieleck ist in einen Kreis eingeschrieben, wenn alle seine Scheitelpunkte in ihm enthalten sind.

 

1. Umkreis

Umkreis eines regelmäßigen Vielecks

Der Umkreis berührt jeden Scheitelpunkt des Vielecks.

Sein Mittelpunkt ist von allen Scheitelpunkten gleich weit entfernt.

Sein Radius ist der Radius des Vielecks.

 

 

2. Inkreis

Inkreis eines regelmäßigen Vielecks

Der Inkreis berührt das Vieleck in der Mitte jeder Seite.

Sein Zentrum ist von allen Seiten gleich weit entfernt.

Sein Radius ist das Apothema des Vielecks.

 

 

 

Eigenschaften eines regelmäßigen Vielecks

 

Was sind die Eigenschaften eines regelmäßigen Vielecks?

1 Der Mittelpunkt C ist der innere Punkt, der von jedem Scheitelpunkt gleich entfernt ist.
2 Der Radius r ist die Strecke vom Mittelpunkt zu jedem Scheitelpunkt.
3 Das Apothema a ist der Abstand von der Mitte zum Mittelpunkt einer Seite.

Merkmale eines regelmäßigen Vielecks

Was sind die Merkmale eines regelmäßigen Vielecks?

 

1 Mittelpunktswinkel eines regelmäßigen Vielecks

Mittelpunktswinkel eines regelmäßigen Vielecks

 

Der Mittelpunktswinkel wird durch zwei anliegende Radien gebildet.

Wenn n die Anzahl der Seiten eines Vielecks beträgt der

 

Mittelpunktswinkel = 360° : n

 

Der Mittelpunktswinkel des regelmäßigen Fünfecks beträgt zum Beispiel 360° : 5 = 72º

 

2 Innenwinkel eines regelmäßigen Vielecks

 

Innenwinkel eines regelmäßigen Vielecks

Der Innenwinkel wird durch zwei anliegende Seiten gebildet.

 

Innenwinkel = 180° − Zentralwinkel

 

Zum Beispiel ist der Innenwinkel des regelmäßigen Fünfecks = 180° − 72º = 108º

 

 

3 Außenwinkel eines regelmäßigen Vielecks

 

Außenwinkel eines regelmäßigen Vielecks

Der Außenwinkel wird durch eine Seite und die Verlängerung einer anliegenden Seite gebildet.

Die Außen- und Innenwinkel sind ergänzend, d.h. sie addieren sich zu 180º.

 

Außenwinkel = Mittelpunktswinkel

 

Zum Beispiel ist der Außenwinkel des regelmäßigen Fünfecks = 72º

Winkel eines Vielecks

 

Summe der Innenwinkel eines Vielecks

 

Die Innenwinkel eines Vielecks sind die Winkel, die durch zwei anliegende Seiten bestimmt werden.

Was sind die Innenwinkel eines Vielecks?

Wenn n die Anzahl der Seiten eines Vielecks ist, ist die Summe:

 

S = (n − 2) · 180°.

 

Winkelsumme eines Dreiecks = (3 − 2) · 180° = 180º.

Winkelsumme eines Vierecks = (4 − 2) · 180° = 360º.

Winkelsumme eines Fünfecks = (5 − 2) · 180° = 540º.

Winkelsumme eines Sechsecks = (5 − 2) · 180° = 720º.

 

 

Umfang und Fläche eines regelmäßigen Vielecks

 

Umfang und Fläche eines regelmäßigen Vielecks

 

1 Der Umfang ist gleich der Anzahl der Seiten mal der Länge der Seite.

 

P = n · l

2 Die Fläche ist

A = \displaystyle \frac{Apothema x Umfang} {2}

 

Beispiel für Flächen- und Umfangsberechnung 

 

Ermittle den Umfang und die Fläche des Sechsecks:

 

Ermittle den Umfang und die Fläche des Sechsecks

 

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Anna