Kapitel
Umfang eines gleichseitigen Dreiecks
Der Umfang eines Dreiecks ist gleich der Summe seiner drei Seiten. Für ein gleichseitiges Dreieck, dessen drei Seiten gleich sind, gilt
Beispiel: Berechne den Umfang eines gleichseitigen Dreiecks mit 
Seitenlänge.
Durch Anwendung der Umfangsformel erhältst du
Höhe eines gleichseitigen Dreiecks
Unter Anwendung des Satzes von Pythagoras kannst du die Höhe berechnen:
Durch Berechnung der Wurzeln erhältst du
Beispiel: Berechne die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks mit Seitenlänge.
Bei Anwendung der Höhenformel erhältst du
Flächeninhalt eines gleichseitigen Dreiecks
Der Flächeninhalt eines Dreiecks ist gleich der Hälfte des Produkts aus seiner Grundseite und seiner Höhe. Für ein gleichseitiges Dreieck gilt
Beispiel: Berechne den Flächeninhalt eines gleichseitigen Dreiecks mit Seitenlänge.
Wende die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks an
Beispiel: Der Umfang eines gleichseitigen Dreiecks beträgt 
und die Höhe beträgt 
. Berechne die Fläche des Dreiecks.
Da das Dreieck gleichseitig ist, sind seine drei Seiten gleich, also 
Da ein Dezimeter hundert Zentimetern entspricht, ist 
Wende die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks an
Apothema des gleichseitigen Dreiecks
Die Seite eines eingeschriebenen gleichseitigen Dreiecks ist:
Eliminiere den Radius
Wende den Satz des Pythagoras an
Die Berechnung der Quadratwurzel ergibt
Beispiel: Berechne das Apothema eines gleichseitigen Dreiecks mit 
Seitenlänge.
Unter Anwendung der Formel des Apothemas erhältst du
Eigenschaften des gleichseitigen Dreiecks
In einem gleichseitigen Dreieck fallen das Orthozentrum, der Schwerpunkt, der Umkreismittelpunkt und der Inkreismittelpunkt zusammen.
Der Mittelpunkt des Kreises ist der Schwerpunkt und die Höhe fällt mit dem Median zusammen, so dass der Radius des umschriebenen Kreises gleich zwei Drittel der Höhe ist.
Übungen
1Berechne den Flächeninhalt eines gleichseitigen Dreiecks, das in einen Kreis mit dem Radius eingeschrieben ist.
1Stelle das Problem grafisch dar
2Der Mittelpunkt des Kreises ist der Schwerpunkt, also ist 
und du erhältst
3Um den Flächeninhalt des Dreiecks zu ermitteln, musst du seine Grundseite kennen. Teile dazu das gleichseitige Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke und wende den Satz des Pythagoras an
4Um seine Fläche zu berechnen, verwendest du
2Gebe ein gleichseitiges Dreieck mit 
Seiten an und finde die Fläche eines der Sektoren, die durch den Umkreis und die Radien durch die Scheitelpunkte bestimmt werden.
1Stelle das Problem grafisch dar
2Der Mittelpunkt des Kreises ist der Schwerpunkt, also
3Um die Höhe des Dreiecks zu ermitteln, wendest du den Satz des Pythagoras an
4Berechne den Radius
5Die Fläche eines der Sektoren, die durch den umschriebenen Umfang und durch die Scheitelpunkte gehenden Radien bestimmt wird, ist
3Berechne die Seite eines gleichseitigen Dreiecks, das in einen Kreis mit dem Radius eingeschrieben ist.
1Stelle das Problem grafisch dar
2Betrachte das rechtwinklige Dreieck mit der Seite 
, der Hypotenuse 
und der Restseite 
. Wende den Satz des Pythagoras an
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