Ein gleichseitiges Dreieck hat drei gleiche Seiten und Winkel.

Ein gleichseitiges Dreieck hat drei gleiche Seiten und Winkel

 

Umfang eines gleichseitigen Dreiecks

 

Der Umfang eines Dreiecks ist gleich der Summe seiner drei Seiten. Für ein gleichseitiges Dreieck, dessen drei Seiten gleich sind, gilt

 

P = 3 \cdot l

 

Beispiel: Berechne den Umfang eines gleichseitigen Dreiecks mit 10 cm Seitenlänge.

 

Durch Anwendung der Umfangsformel erhältst du

 

P = 3 \cdot 10 = 30 \, cm

 

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Höhe eines gleichseitigen Dreiecks

 

Unter Anwendung des Satzes von Pythagoras kannst du die Höhe berechnen:

 

Höhe eines gleichseitiges Dreiecks berechnen

 

h^2 = l^2 - \left ( \cfrac{l}{2} \right )^2 = \cfrac{3 l^2}{4}

 

Durch Berechnung der Wurzeln erhältst du

 

h = \sqrt{\cfrac{3 l^2}{4}} = \cfrac{\sqrt{3}}{2} \, l

 

Beispiel: Berechne die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks mit 10 cm Seitenlänge.

 

Berechne die Höhe des gleichseitiges Dreiecks

 

Bei Anwendung der Höhenformel erhältst du

 

h = \cfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot 10 = 8.66 \, cm

 

Flächeninhalt eines gleichseitigen Dreiecks

 

Der Flächeninhalt eines Dreiecks ist gleich der Hälfte des Produkts aus seiner Grundseite und seiner Höhe. Für ein gleichseitiges Dreieck gilt

 

A = \cfrac{\sqrt{3}}{4} \, l^2

 

Beispiel: Berechne den Flächeninhalt eines gleichseitigen Dreiecks mit 10 cm Seitenlänge.

 

Wende die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks an

 

A = \cfrac{\sqrt{3}}{4} \, 10^2 = 43.3 \, cm^2

 

Beispiel: Der Umfang eines gleichseitigen Dreiecks beträgt 0,9 \, dm und die Höhe beträgt 25,95 \, cm. Berechne die Fläche des Dreiecks.

 

Flächeninhalt eines gleichseitiges Dreiecks berechnen

 

Da das Dreieck gleichseitig ist, sind seine drei Seiten gleich, also l = 0,3, dm

 

Da ein Dezimeter hundert Zentimetern entspricht, ist l = 30 cm

 

Wende die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks an

 

A = \cfrac{\sqrt{3}}{4} \, 30^2 = 389.71 \, cm^2

 

Apothema des gleichseitigen Dreiecks

 

Apothema eines gleichseitigen Dreiecks berechnen

 

Die Seite eines eingeschriebenen gleichseitigen Dreiecks ist:

 

l = \sqrt{3} \cdot r

 

Eliminiere den Radius

 

r = \cfrac{l}{\sqrt{3}}

 

Wende den Satz des Pythagoras an

 

ap^2 = \left ( \cfrac{l}{\sqrt{3}} \right )^2 - \left ( \cfrac{l}{2} \right )^2 = \cfrac{l^2}{12}

 

Die Berechnung der Quadratwurzel ergibt

 

ap = \cfrac{l}{2\sqrt{3}} = \cfrac{\sqrt{3}}{6} \, l

 

Beispiel: Berechne das Apothema eines gleichseitigen Dreiecks mit 6 cm Seitenlänge.

 

Berechne das Apothema des gleichseitigen Dreiecks

 

Unter Anwendung der Formel des Apothemas erhältst du

 

ap = \cfrac{\sqrt{3}}{6} \cdot 6 = 1.73 \, cm

 

Eigenschaften des gleichseitigen Dreiecks

 

Welche Eigenschaften hat ein gleichseitiges Dreieck?

 

In einem gleichseitigen Dreieck fallen das Orthozentrum, der Schwerpunkt, der Umkreismittelpunkt und der Inkreismittelpunkt zusammen.

 

Der Mittelpunkt des Kreises ist der Schwerpunkt und die Höhe fällt mit dem Median zusammen, so dass der Radius des umschriebenen Kreises gleich zwei Drittel der Höhe ist.

 

r = \cfrac{2 \cdot h}{3}

 

Übungen

1Berechne den Flächeninhalt eines gleichseitigen Dreiecks, das in einen Kreis mit dem Radius 6 cm eingeschrieben ist.

1Stelle das Problem grafisch dar

Aufgaben zum Berechnen von gleichseitigen Dreiecken

 

2Der Mittelpunkt des Kreises ist der Schwerpunkt, also ist r = \cfrac{2 h}{3} und du erhältst

 

6 = \cfrac{2 h}{3} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ h = 9 \, cm

 

3Um den Flächeninhalt des Dreiecks zu ermitteln, musst du seine Grundseite kennen. Teile dazu das gleichseitige Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke und wende den Satz des Pythagoras an

 

l^2 = 9^2 + \cfrac{l^2}{4} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ l = \cfrac{2 \cdot 9}{\sqrt{3}} = 10.39 \, cm

 

4Um seine Fläche zu berechnen, verwendest du

 

A_t = \cfrac{b \cdot h}{2} = \cfrac{10.39 \cdot 9}{2} = 46.76 \, cm^2

 

2Gebe ein gleichseitiges Dreieck mit 6, m Seiten an und finde die Fläche eines der Sektoren, die durch den Umkreis und die Radien durch die Scheitelpunkte bestimmt werden.

1Stelle das Problem grafisch dar

Berechne die Fläche des gleichseitigen Dreiecks

 

2Der Mittelpunkt des Kreises ist der Schwerpunkt, also r = \cfrac{2 h}{3}

 

3Um die Höhe des Dreiecks zu ermitteln, wendest du den Satz des Pythagoras an

 

h^2 = 6^2 - 3^2 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ h = 5.17 \, m

 

4Berechne den Radius

 

r = \cfrac{2 \cdot 5.17}{3} = 3.46 \, m

 

5Die Fläche eines der Sektoren, die durch den umschriebenen Umfang und durch die Scheitelpunkte gehenden Radien bestimmt wird, ist

 

A = \cfrac{\pi \cdot 3.46^2 \cdot 120}{360} = 12.57 \, m^2

 

3Berechne die Seite eines gleichseitigen Dreiecks, das in einen Kreis mit dem Radius 10 cm eingeschrieben ist.

1Stelle das Problem grafisch dar

Berechne die Seite eines gleichseitigen Dreiecks, das in einen Kreis eingeschrieben ist

 

2Betrachte das rechtwinklige Dreieck mit der Seite \cfrac{l}{2}, der Hypotenuse 10 und der Restseite 5. Wende den Satz des Pythagoras an

 

\left ( \cfrac{l}{2} \right )^2 = 10^2 - 5^2 = 75\ \ \ \Longrightarrow \ \ \ l = 2 \sqrt{75} = 17.32 \, cm

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Anna