Name: Höhensatz &#038; Kathetensatz (Satz des Pythagoras)
Brand: Superprof
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Kapitel

Kathetensatz
Höhensatz
Satz des Pythagoras
Anwendungsbeispiele für den Satz des Pythagoras

Kathetensatz

In jedem rechtwinkligen Dreieck ist eine Kathete zur Hälfte proportional zur Hypotenuse und ihrer Projektion auf diese.

$a$ ist die Hypotenuse
$b$ und $c$ sind die Katheten
$m$ ist die Projektion der Kathete $b$ auf die Hypotenuse
$n$ ist die Projektion der Kathete $c$ auf die Hypotenuse

$\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{b}{m} \hspace{2cm} b^2=a\cdot m$

$\displaystyle \frac{a}{c}=\frac{c}{n} \hspace{2cm} c^2=a\cdot n$

Beispiel

Die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks misst $30$ cm und die Projektion einer Kathete auf sie $10,8$ cm. Ermittle die andere Kathete.

$\displaystyle \frac{c}{30}=\frac{10.8}{c} \hspace{2cm} c^2=30\cdot 10.8$

$\displaystyle c=\sqrt{30\cdot 10.8} \hspace{2cm} c=18\text{cm}$

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Los geht's

Höhensatz

In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Höhe in Bezug auf die Hypotenuse halb proportional zwischen den beiden Segmenten, die die Hypotenuse unterteilen.

$\displaystyle \frac{m}{h}=\frac{h}{n} \hspace{2cm} h^2=m\cdot n$

Beispiel

In einem rechtwinkligen Dreieck messen die Projektionen der Katheten auf die Hypotenuse $4$ und $9$ Zentimeter. Berechne die Höhe bezogen auf die Hypotenuse.

$\displaystyle \frac{9}{h}=\frac{h}{4} \hspace{2cm} h^2=36$

$\displaystyle h=\sqrt{36} \hspace{2cm} h=6\text{cm}$

Satz des Pythagoras

In allen rechtwinkligen Dreiecken ist die Summe der Flächeninhalte der Kathetenquadrate gleich dem Flächeninhalt des Hypotenusenquadrates.

$\displaystyle a^2=b^2+c^2$

Anwendungsbeispiele für den Satz des Pythagoras

Berechne unter Kenntnis der beiden Katheten die Hypotenuse

$\displaystyle a^2=b^2+c^2 \hspace{2cm} a=\sqrt{b^2+c^2}$

Beispiel:

1 Die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks messen $3$ m bzw. $4$ m. Wie lang ist die Hypotenuse?

Satz des Pythagoras: Hypotenuse berechnen

$\displaystyle a^2=3^2+4^2 \hspace{2cm} a=\sqrt{3^2+4^2}=5\text{m}$

Du kennst bereits die Hypotenuse und eine Kathete und berechnest nun die andere Kathete.

$\displaystyle \begin{matrix} a^2=b^2+c^2 \end{matrix}\hspace{2cm} \begin{matrix} c=\sqrt{a^2-b^2}\\ b=\sqrt{a^2-c^2} \end{matrix}$

2 Die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks misst $5$ m und eine seiner Katheten $3$ m. Wie viel misst die andere Kathete?

$\displaystyle 5^2=3^2+c^2 \hspace{2cm} c=\sqrt{5^2-3^2}=4\text{m}$

Du kennst bereits zwei Seiten. Überprüfe nun, ob es rechtwinklig ist

Um rechtwinklig zu sein, muss das Quadrat der größeren Seite gleich der Summe der Quadrate der beiden kleineren Seiten sein.

3 Bestimme, ob das Dreieck rechtwinklig ist.

Bestimme mit dem satz des Pythagoras ob das Dreieck rechtwinklig ist

$\displaystyle 5^2=3^2+4^2 \hspace{2cm} 25=25$

Berechne die Diagonale des Quadrats

Diagobale eines Quadrats mit dem Satz des Pythagoras berechnen

$\displaystyle d^2=l^2+l^2$
$\displaystyle d=\sqrt{l^2+l^2}=\sqrt{2l^2}$
$\displaystyle d=l\sqrt{2}$

Berechne die Diagonale des Rechtecks

Diagonale eines Rechtecks mit dem Satz des Pythagoras berechnen

$\displaystyle d^2=b^2+h^2$
$\displaystyle d=\sqrt{b^2+h^2}$

Berechne die schräge Seite des rechteckigen Trapezes

Seite eines Trapezes mit dem satz des Pythagoras berechnen

$\displaystyle n=B-b$

$\displaystyle l=\sqrt{h^2+n^2}$

Berechne die Höhe des gleichschenkligen Trapezes

Höhe eines gleichschenkligen Trapezes mit dem Satz des Pythagoras berechnen

$\displaystyle n=\frac{B-b}{2}$

$\displaystyle h=\sqrt{l^2-n^2}$

Berechne die Höhe des gleichseitigen Dreiecks

Höhe eines gleichseitigen Dreicks mit dem Satz des Pythagoras berechnen

$\displaystyle l^2=h^2+\left(\frac{l^2}{2}\right)^2 \hspace{2cm} l^2=h^2+\frac{l^2}{4}$

$\displaystyle h=\sqrt{l^2-\frac{l^2}{4}} \hspace{2cm} h=\sqrt{\frac{3l^2}{4}}$

$\displaystyle h=\frac{\sqrt{3}}{2}l$

Berechne das Apothema eines regelmäßigen Fünfecks

Apothema eines regelmäßigen Fünfecks mit dem Satz des Pythagoras berechnen

$\displaystyle a=\sqrt{r^2-\left(\frac{l}{2}\right)^2}$

Berechne das Apothema eines eingeschriebenen Sechsecks

Apothema eines in einen Kreis eingeschriebenen Sechsecks mit dem satz des Pythagoras berechnen

$\displaystyle l=r$

$\displaystyle a=\sqrt{l^2-\left(\frac{l}{2}\right)^2}$

Berechne die Seite eines eingeschriebenen gleichseitigen Dreieckes

Seite eines eingeschriebenen gleichseitigen Dreieckes mit dem Satz des Pythagoras berechnen

$\displaystyle r^2=\left(\frac{l}{2}\right)^2+\left(\frac{r}{2}\right)^2 \hspace{2cm} \left(\frac{l}{2}\right)^2=r^2-\left(\frac{r}{2}\right)^2$

$\displaystyle \left(\frac{l}{2}\right)^2=r^2-\frac{r^2}{4} \hspace{2cm} \frac{l}{2} =\sqrt{\frac{3\cdot r^2}{4}}$

$\displaystyle \frac{l}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot r \hspace{2cm} l=\sqrt{3}\cdot r$

Berechne die Seite eines eingeschriebenen Quadrats

Seite eines eingeschriebenen Quadrats mit dem Satz des Pythagoras berechnen

$\displaystyle l=\sqrt{r^2+r^2}$

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Anna

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Kathetensatz und Höhensatz (Satz des Pythagoras)

Kathetensatz

Beispiel

Höhensatz

Beispiel

Satz des Pythagoras

Anwendungsbeispiele für den Satz des Pythagoras

Berechne unter Kenntnis der beiden Katheten die Hypotenuse

Berechne die Diagonale des Quadrats

Berechne die Diagonale des Rechtecks

Berechne die schräge Seite des rechteckigen Trapezes

Berechne die Höhe des gleichschenkligen Trapezes

Berechne die Höhe des gleichseitigen Dreiecks

Berechne das Apothema eines regelmäßigen Fünfecks

Berechne das Apothema eines eingeschriebenen Sechsecks

Berechne die Seite eines eingeschriebenen gleichseitigen Dreieckes

Berechne die Seite eines eingeschriebenen Quadrats

Formeln

Umfang & Flächeninhalt eines Dreiecks

Rechteck: Umfang & Diagonale

Satz des Thales & Ähnlichkeit von Dreiecken

Vielecke: Winkel

Vielecke berechnen

Apothema berechnen: so geht’s

Gleichseitiges Dreieck

Polygone: Fläche & Umfang

Theorie

Winkelarten im Überblick

Regelmäßiges Vieleck: Winkel

Unregelmäßige Vielecke

Regelmäßige Vielecke

Winkelhalbierende

Arten von Dreiecken

Regelmäßiges Fünfeck

Dreieck: Eigenschaften & Arten

Was ist ein Vieleck?

Fläche & Umfang von Vierecken

Besondere Linien im Dreieck

Winkel im Dreieck

Rechnen mit Winkeln: Winkelsumme & Co.

Regelmäßiges Sechseck

Polygone: Arten & Eigenschaften

Vielecke: Merkmale & Arten

Peripheriewinkel am Kreis berechnen

Satz des Pythagoras: Anwendung

Höhensatz & Kathetensatz (Satz des Pythagoras)

Ähnlichkeit von Dreiecken

Satz des Thales: Formel & Beweis

Ähnlichkeitssatz für Dreiecke

Der Höhensatz

Besondere Punkte im Dreieck

Dreiecke

Strecke

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