Kathetensatz

In jedem rechtwinkligen Dreieck ist eine Kathete zur Hälfte proportional zur Hypotenuse und ihrer Projektion auf diese.

Kathetensatz

 

  • a ist die Hypotenuse
  • b und c sind die Katheten
  • m ist die Projektion der Kathete b auf die Hypotenuse
  • n ist die Projektion der Kathete c auf die Hypotenuse

 

\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{b}{m}  \hspace{2cm} b^2=a\cdot m

                                                                                                                                  \displaystyle \frac{a}{c}=\frac{c}{n} \hspace{2cm} c^2=a\cdot n

                                                                                                                                                                Beispiel

Die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks misst 30 cm und die Projektion einer Kathete auf sie 10,8 cm. Ermittle die andere Kathete.

 

Beispiel zum Kathetensatz

 

\displaystyle \frac{c}{30}=\frac{10.8}{c} \hspace{2cm} c^2=30\cdot 10.8
\displaystyle c=\sqrt{30\cdot 10.8} \hspace{2cm} c=18\text{cm}

 

Höhensatz

 

In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Höhe in Bezug auf die Hypotenuse halb proportional zwischen den beiden Segmenten, die die Hypotenuse unterteilen.

 

      \displaystyle \frac{m}{h}=\frac{h}{n} \hspace{2cm} h^2=m\cdot n

                                                                                                                                                            Beispiel

In einem rechtwinkligen Dreieck messen die Projektionen der Katheten auf die Hypotenuse 4 und 9 Zentimeter. Berechne die Höhe bezogen auf die Hypotenuse.

 

Beispiel zum Höhensatz

 

 

\displaystyle \frac{9}{h}=\frac{h}{4} \hspace{2cm} h^2=36
\displaystyle h=\sqrt{36} \hspace{2cm} h=6\text{cm}

 

Satz des Pythagoras

 

Satz des Pythagoras einfach erklärt

 

In allen rechtwinkligen Dreiecken ist die Summe der Flächeninhalte der Kathetenquadrate gleich dem Flächeninhalt des Hypotenusenquadrates.

 

      \displaystyle a^2=b^2+c^2

Anwendungsbeispiele für den Satz des Pythagoras

 

Berechne unter Kenntnis der beiden Katheten die Hypotenuse

 

     \displaystyle a^2=b^2+c^2 \hspace{2cm} a=\sqrt{b^2+c^2}

Beispiel:

1 Die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks messen 3 m bzw. 4 m. Wie lang ist die Hypotenuse?

 

Satz des Pythagoras: Hypotenuse berechnen

 

\displaystyle a^2=3^2+4^2 \hspace{2cm} a=\sqrt{3^2+4^2}=5\text{m}

Du kennst bereits die Hypotenuse und eine Kathete und berechnest nun die andere Kathete.

 

     \displaystyle \begin{matrix} a^2=b^2+c^2 \end{matrix}\hspace{2cm} \begin{matrix} c=\sqrt{a^2-b^2}\\ b=\sqrt{a^2-c^2} \end{matrix}

 

2 Die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks misst 5 m und eine seiner Katheten 3 m. Wie viel misst die andere Kathete?

 

Satz des Pythagoras: Kathete berechnen

 

\displaystyle 5^2=3^2+c^2 \hspace{2cm} c=\sqrt{5^2-3^2}=4\text{m}

Du kennst bereits zwei Seiten. Überprüfe nun, ob es rechtwinklig ist

 

Um rechtwinklig zu sein, muss das Quadrat der größeren Seite gleich der Summe der Quadrate der beiden kleineren Seiten sein.

 

3 Bestimme, ob das Dreieck rechtwinklig ist.

 

Bestimme mit dem satz des Pythagoras ob das Dreieck rechtwinklig ist

 

\displaystyle 5^2=3^2+4^2 \hspace{2cm} 25=25

 

 

Berechne die Diagonale des Quadrats

 

Diagobale eines Quadrats mit dem Satz des Pythagoras berechnen
\displaystyle d^2=l^2+l^2
\displaystyle d=\sqrt{l^2+l^2}=\sqrt{2l^2}
\displaystyle d=l\sqrt{2}

 

Berechne die Diagonale des Rechtecks

 

Diagonale eines Rechtecks mit dem Satz des Pythagoras berechnen

 

\displaystyle d^2=b^2+h^2
\displaystyle d=\sqrt{b^2+h^2}

 

Berechne die schräge Seite des rechteckigen Trapezes

 

Seite eines Trapezes mit dem satz des Pythagoras berechnen

 

\displaystyle n=B-b
\displaystyle l=\sqrt{h^2+n^2}

 

 

Berechne die Höhe des gleichschenkligen Trapezes

 

Höhe eines gleichschenkligen Trapezes mit dem Satz des Pythagoras berechnen

 

\displaystyle n=\frac{B-b}{2}
\displaystyle h=\sqrt{l^2-n^2}

 

Berechne die Höhe des gleichseitigen Dreiecks

 

Höhe eines gleichseitigen Dreicks mit dem Satz des Pythagoras berechnen

 

\displaystyle l^2=h^2+\left(\frac{l^2}{2}\right)^2 \hspace{2cm} l^2=h^2+\frac{l^2}{4}
\displaystyle h=\sqrt{l^2-\frac{l^2}{4}} \hspace{2cm} h=\sqrt{\frac{3l^2}{4}}
\displaystyle h=\frac{\sqrt{3}}{2}l

 

 

Berechne das Apothema eines regelmäßigen Fünfecks

 

Apothema eines regelmäßigen Fünfecks mit dem Satz des Pythagoras berechnen

 

\displaystyle a=\sqrt{r^2-\left(\frac{l}{2}\right)^2}

 

 

Berechne das Apothema eines eingeschriebenen Sechsecks

 

Apothema eines in einen Kreis eingeschriebenen Sechsecks mit dem satz des Pythagoras berechnen

 

\displaystyle l=r
\displaystyle a=\sqrt{l^2-\left(\frac{l}{2}\right)^2}

 

Berechne die Seite eines eingeschriebenen gleichseitigen Dreieckes

 

Seite eines eingeschriebenen gleichseitigen Dreieckes mit dem Satz des Pythagoras berechnen

 

\displaystyle r^2=\left(\frac{l}{2}\right)^2+\left(\frac{r}{2}\right)^2 \hspace{2cm} \left(\frac{l}{2}\right)^2=r^2-\left(\frac{r}{2}\right)^2
\displaystyle \left(\frac{l}{2}\right)^2=r^2-\frac{r^2}{4} \hspace{2cm} \frac{l}{2} =\sqrt{\frac{3\cdot r^2}{4}}
\displaystyle \frac{l}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot r \hspace{2cm} l=\sqrt{3}\cdot r

 

 

Berechne die Seite eines eingeschriebenen Quadrats

 

Seite eines eingeschriebenen Quadrats mit dem Satz des Pythagoras berechnen

 

\displaystyle l=\sqrt{r^2+r^2}
Du brauchst Mathe-Nachhilfe?

Hat Dir der Beitrag gefallen?

1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars 5,00/5 - 1 Bewertung(en)
Loading...

Anna