Definition von Umfang und Flächeninhalt

 

Der Umfang eines Vielecks ist gleich der Summe der Längen seiner Seiten.

 

Der Flächeninhalt eines Vielecks ist das Maß für die vom Vieleck umschlossene Region oder Fläche.

 

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Umfang und Flächeninhalt von Dreiecken

 

Der Umfang eines Dreiecks ergibt sich aus der Addition der Längen seiner drei Seiten. Je nach Art des Dreiecks hast du die folgenden Formeln für den Umfang

 

Gleichseitiges Dreieck Gleichschenkliges Dreieck Unregelmäßiges Dreieck
P = 3 \cdot l P = 2 \cdot l + b P = a + b + c
Umfang gleichseitiges Dreieck Umfang gleichschenkliges Dreieck Umfang unregelmäßiges Dreieck

 

Der Flächeninhalt eines Dreiecks ist gleich der Hälfte des Produkts aus seiner Grundseite und seiner Höhe.

 

Was ist der Flächeninhalt eines Dreiecks?

 

Für das Dreieck mit der Grundseite b und der Höhe h lautet die Formel für den Flächeninhalt

 

A = \cfrac{b \cdot h}{2}

 

Beispiel: Finde die Fläche und den Umfang des folgenden Dreiecks

 

Beispiel, um Fläche und Umfang eines Dreiecks zu berechnen

 

Es handelt sich um ein gleichschenkliges Dreieck, also ist der Umfang

 

P = 2 \cdot 11 + 7.5 = 29.5 \, cm

 

Du bemerkst, dass die Grundseite 11 \, cm und die Höhe 7 \, cm ist

 

A = \cfrac{11 \cdot 7}{2} = 38.5 \, cm^2

 

Umfang und Fläche eines Quadrats

 

Vielecke: Fläche und Umfang eines Quadrats

 

Der Umfang eines Quadrats ergibt sich aus der Addition der Längen seiner vier Seiten; da alle vier Seiten gleich sind, lautet die Formel für den Umfang eines Quadrats der Seite l

 

P = 4 \cdot l

 

Um den Flächeninhalt eines Quadrats herauszufinden, quadrierst du die Seiten des Quadrats.

 

A = l^2

 

Beispiel: Berechne die Fläche und den Umfang des Quadrats der Seite 5 cm.

 

Vielecke: Beispiel für Berechnung von Fläche und Umfang eines Quadrats

 

Die Seite l = 5 \, cm. Du berechnest den Umfang

 

P = 4 \cdot 5 = 20 \, cm

 

Du berechnest die Fläche

 

A = 5^2 = 25 \, cm^2

 

Umfang und Fläche eines Rechtecks

 

Vielecke: Umfang und Flächeninhalt von Rechtecken

 

Der Umfang eines Rechtecks ergibt sich aus der Addition der Längen seiner vier Seiten; die Formel für den Umfang eines Rechtecks mit der Grundseite b und der Höhe h lautet

 

P = 2 \cdot (b + h)

 

Um den Flächeninhalt eines Rechtecks zu ermitteln, multiplizierst du seine Grundseite mit seiner Höhe

 

A = b \cdot h

 

Beispiel: Berechne die Fläche und den Umfang des Rechtecks mit 10 cm Grundseite und 6 cm Höhe.

 

Vielecke: Beispiel für Berechnung von Fläche und Umfang eines Rechtecks

 

Berechne den Umfang

 

P = 2 \cdot (10 + 6) = 32 \, cm

 

Berechne die Fläche

 

A = 10 \cdot 6 = 60 \, cm^2

 

Umfang und Fläche einer Raute

 

Vielecke: Umfang und Flächeninhalt einer Raute

 

Den Umfang einer Raute erhält man durch Addition der Längen ihrer vier Seiten; da diese gleich sind, lautet die Formel für den Umfang einer Raute der Seite l

 

P = 4 \cdot l

 

Um den Flächeninhalt einer Raute mit der Hauptdiagonale D und der Nebendiagonale d zu ermitteln, wendest du die Formel an, um die Hälfte des Produkts der Diagonalen zu berechnen

 

A = \cfrac{D \cdot d}{2}

 

Beispiel: Berechne den Flächeninhalt und den Umfang der Raute, deren Diagonalen 30 und 16, cm messen und deren Seite 17, cm misst.

 

Vielecke: Beispiel für Berechnung von Fläche und Umfang einer Raute

 

Berechne den Umfang

 

P = 4 \cdot 17 = 68 \, cm

 

Berechne die Fläche

 

A = \cfrac{30 \cdot 16}{2} = 240 \, cm^2

 

Umfang und Fläche eines Parallelogramms

 

Vielecke: Umfang und Fläche eines Parallelogramms

 

Den Umfang eines Parallelogramms erhältst du durch Addition der Längen seiner vier Seiten; da die gegenüberliegenden Seiten gleich sind, lautet die Formel für den Umfang eines Parallelogramms mit den Seiten a und b

 

P = 2 \cdot (a + b)

 

Um den Flächeninhalt eines Parallelogramms mit der Grundfläche b und der Höhe h zu ermitteln, wendest du die Formel an, die sich aus dem Produkt von Grundseite und Höhe ergibt.

 

A = b \cdot h

 

Beispiel: Berechne den Flächeninhalt und den Umfang des Parallelogramms, dessen Seiten 4 und 4,5, cm messen und dessen Höhe 4, cm beträgt.

 

Vielecke: Beispiel für Berechnung von Fläche und Umfang eines Parallelogramms

 

Berechne den Umfang

 

P = 2 \cdot (4 + 4.5) = 17 \, cm

 

Berechne die Fläche

 

A = 4 \cdot 4 = 16 \, cm^2

 

Umfang und Fläche eines Trapez

 

Vielecke: Fläche und Umfang eines Trapez'

 

Der Umfang eines Trapezes ergibt sich aus der Addition der Längen seiner vier Seiten, d. h.

 

P = 2 \cdot a + B + b

 

Um den Flächeninhalt eines Trapezes mit der Grundseite B, der gegenüberliegenden Seite b und der Höhe h zu ermitteln, gilt die Formel, die sich aus dem halben Produkt der Höhe und der Summe der beiden Flächen ergibt

 

A = \cfrac{(B + b) \cdot h}{2}

 

Beispiel: Berechne den Flächeninhalt und den Umfang des Trapezes, dessen große und kleine Seite 10 bzw. 4, cm messen, dessen schräge Seiten 5, cm und dessen Höhe 4, cm misst.

 

Vielecke: Beispiel für Berechnung von Fläche und Umfang eines Trapezes

 

Berechne den Umfang

 

P = 2 \cdot 5 + 10 + 4 = 24 \, cm

 

Berechne die Fläche

 

A = \cfrac{(10 + 4) \cdot 4}{2} = 28 \, cm^2

 

Umfang und Fläche eines regelmäßigen Vielecks

 

Vielecke: Umfang und Fläche ienes regelmäßigen Vielecks

 

Der Umfang eines regelmäßigen Vielecks von n Seiten Länge l ist

 

P = n \cdot l

 

Um den Flächeninhalt eines regelmäßigen Vielecks mit der Seite l und dem Apothema a zu ermitteln, gilt die Formel, die sich aus dem halben Produkt von Umfang und Apothema ergibt

 

A = \cfrac{P \cdot a}{2}

 

Beispiel: Berechne die Fläche und den Umfang eines regelmäßigen Fünfecks mit der Seite 6 cm, dessen Abstand vom Mittelpunkt zu einem seiner Eckpunkte 5 cm beträgt.

 

Flächeninhalt und Umfang eines regelmäßigen Fünfecks berechnen

 

Berechne den Umfang

 

P = 5 \cdot 6 = 30 \, cm

 

Berechne den Flächeninhalt. Wende dazu den Satz des Pythagoras an und erhalte den Wert des Apothemas

 

a = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4 \, cm

 

Setze den Umfang und das Apothema in die Formel für die Fläche ein

 

A = \cfrac{30 \cdot 4}{2} = 60 \, cm^2

 

Beispiel: Berechne das Apothema und den Umfang eines regelmäßigen Sechsecks, das in einen Kreis mit dem Radius 4 cm eingeschrieben ist.

 

Berechne das Apothema und den Umfang eines regelmäßigen Sechsecks, das in einen Kreis eingeschrieben ist

 

Da es sich um ein Sechseck handelt, kannst du es in sechs gleiche gleichseitige Dreiecke unterteilen, wobei du erhältst, dass jede Seite 4 cm misst. Du berechnest den Umfang

 

P = 6 \cdot 4 = 24 \, cm

 

Berechne das Apothema. Verwende hierzu den Satz des Pythagoras und erhalte

 

a = \sqrt{4^2 - 2^2} = 3.46 \, cm

 

Umfang und Fläche eines unregelmäßigen Vielecks

 

Umfang und Flächeninhalt eines unregelmäßigen Vielecks

 

Den Umfang eines unregelmäßigen Vielecks erhältst du, indem du alle Seiten zusammenzählst

 

Unterteile, um den Flächeninhalt eines unregelmäßigen Vielecks zu ermitteln, das Vieleck in Dreiecke und addierst die Flächeninhalte der einzelnen Dreiecke.

 

A = T_1 + T_2 + T_3 + T_4

 

Beispiel: Berechne die Fläche und den Umfang des folgenden Vielecks

 

Beispiel für die BErechnung von Umfang und Fläche eines unregelmäßigen Vielecks

 

Berechne den Umfang

 

P = 13 + 11 + 12 + 5 + 11 = 52 \, cm

 

Berechne den Flächeninhalt. Berechne dazu den Flächeninhalt T_1 des Parallelogramms ABCD und den Flächeninhalt T_2 des Dreiecks DMC.

 

T_1 = 11 \cdot 12 = 132 \, cm^2

 

T_2 = \cfrac{5 \cdot 12}{2} = 30 \, cm^2

 

Der Flächeninhalt des unregelmäßigen Vielecks ist also

 

A = T_1 + T_2 = 132 + 30 = 162 \, cm^2

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Anna