Kapitel

 

In diesem Artikel erfährst du, wie du das Apothema von regelmäßigen zweidimensionalen Vielecken, sowie von Pyramiden und anderen dreidimensionalen geometrischen Figuren berechnest.

 

Erinnere dich daran, dass das Apothema eines regelmäßigen Vielecks der Abstand zwischen seinem Mittelpunkt und dem Mittelpunkt einer Seite ist.

 

Apothema eines gleichseitigen Dreiecks

 

Apothema eines gleichseitigen Dreiecks

 

Finde zuerst den Wert einer Seite des Dreiecks in Bezug auf den Radius des Kreises, der sie umschreibt. Beachte in der Abbildung, dass die Höhe gleich des Apothemas plus dem Radius ist, d. h

 

\displaystyle h = r + ap

 

Außerdem erhältst du unter Verwendung vom Satz des Pythagoras, dass

 

\displaystyle l^2 = \left(\frac{l}{2}\right)^2 + h^2 = \frac{l^2}{4} + h^2

 

dies mit Hilfe des rechtwinkligen Dreiecks, das durch die Seite, die Höhe und die Hälfte der Grundseite (die gleich der Hälfte der Seite ist) gebildet wird. Wenn du nun h^2 verrechnest, erhältst du

 

\displaystyle h^2 = \frac{3l^2}{4}

 

Durch Lösen der Wurzel

 

\displaystyle h = \frac{\sqrt{3}l}{2}

 

Wenn du h = r + ap einsetzt, erhältst du

 

\displaystyle r + ap = \frac{\sqrt{3}l}{2}

 

oder auch

 

\displaystyle ap = \frac{\sqrt{3}l}{2} - r

 

Quadriere

 

\displaystyle {ap}^2 = \frac{3l^2}{4} - \sqrt{3}lr + r^2

 

Beachte außerdem, dass du ein weiteres rechtwinkliges Dreieck hast, das durch das Apothema, den Radius und die Hälfte einer Seite gebildet wird. Aus diesem rechtwinkligen Dreieck folgt

 

\displaystyle r^2 = \left(\frac{l}{2}\right)^2 + {ap}^2 = \frac{l^2}{4} + {ap}^2

 

nach Verrechnung des Apothemas zum Quadrat ergibt sich

 

\displaystyle {ap}^2 = r^2 - \frac{l^2}{4}

 

Gleiche nun die beiden erhaltenen Ergebnisse für {ap}^2 aus und löse eine Seite auf, d. h

 

    \begin{align*} \frac{3l^2}{4} - \sqrt{3}lr + r^2 &= r^2 - \frac{l^2}{4}\\\frac{3l^2}{4} - \sqrt{3}lr &= - \frac{l^2}{4}\\\frac{3l^2}{4} + \frac{l^2}{4} &= \sqrt{3}lr\\\frac{4l^2}{4} &= \sqrt{3}lr\\l^2 &= \sqrt{3}lr\\l &= \sqrt{3}r\\\end{align*}

 

dies bedeutet auch, dass

 

\displaystyle r = \frac{l}{\sqrt{3}}

 

Rationalisiere den Nenner

 

\displaystyle r = \frac{\sqrt{3}l}{\sqrt{3}\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}l}{3}

 

Setze diesen Wert in die Gleichung ap = \frac{\sqrt{3}l}{2} - r ein, die du zuvor erhalten hast

 

    \begin{align*} ap &= \frac{\sqrt{3}l}{2} - r \\&= \frac{\sqrt{3}l}{2} - \frac{\sqrt{3}l}{3} \\&= \frac{3\sqrt{3}l}{6} - \frac{2\sqrt{3}l}{6} \\&= \frac{3\sqrt{3}l - 2\sqrt{3}l}{6} \\&= \frac{\sqrt{3}l}{6} \\\end{align*}

 

Somit ist das Apothema gleich ap = \frac{\sqrt{3}}{6}l.

 

Beachte, dass du hier sowohl den Radius als auch das Apothema in Bezug auf die Seite des Dreiecks erhalten hast. Betrachte jetzt das folgende Beispiel

 

Berechne das Apothema eines gleichseitigen Dreiecks der Seite 6 cm.

 

So berechnest Du da Apothema eines gleichseitigen Dreiecks

 

Du weißt, dass die Formel folgendermaßen lautet

\displaystyle ap = \frac{\sqrt{3}}{6}l

 

wenn du den Wert der Seite substituierst, erhältst du

 

\displaystyle ap = \frac{\sqrt{3}}{6}(6) = \sqrt{3} \approx 1.73 \; cm

 

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Los geht's

Apothema eines Quadrats

 

Apothema eines Quadrats

 

Das Apothema eines Quadrats ist gleich der Hälfte der Seite, also:

 

\displaystyle a = \frac{l}{2}

 

Betrachte das folgende Beispiel

 

Berechne das Apothema eines Quadrats mit 6 cm Seitenlänge.

 

So berechnest Du das Apothema eines Quadrats

 

Du weißt, dass die Formel folgendermaßen lautet

\displaystyle a = \frac{l}{2}

 

wenn du den Wert der Seite substituierst, erhältst du

 

\displaystyle a = \frac{l}{2} = \frac{6}{2} = 3 \; cm

 

Apothema eines Fünfecks

 

Apothema eines Fünfecks

 

Erinnere dich zunächst daran, dass der zentrale Winkel eines Fünfecks im Bogenmaß \frac{2\pi}{5} beschrieben wird. Daher ist der Winkel zwischen dem Scheitelpunkt und dem Radius die Hälfte, also \frac{2\pi}{5}. Der Sinus dieses Winkels ist die Gegenkathete der Hypotenuse, also

 

\displaystyle \sin{\frac{\pi}{5}} = \frac{\frac{l}{2}}{r} = \frac{l}{2r}

 

nach Abzug von r ergibt sich, dass

 

\displaystyle r = \frac{l}{2\sin{\frac{\pi}{5}}}

 

dann kannst du den Radius direkt von einer Seite erhalten, da du den Sinus direkt mit dem Taschenrechner berechnen kannst.

 

Mit Hilfe des Satzes von Pythagoras ergibt sich folgendes:

 

\displaystyle r^2 = \left(\frac{l}{2}\right)^2 + {a}^2

 

durch Auflösen des Apothemas und Ziehen der Wurzel

 

\displaystyle a = \sqrt{ r^2 - \left(\frac{l}{2}\right)^2}

 

diese Formel kann direkt verwendet werden, wenn du bereits den Wert des Radius und einer Seite hast. Wenn du nur den Wert einer Seite hast, dann ersetzt du den Wert des Radius in Bezug auf die Seite

 

    \begin{align*} a &= \sqrt{ r^2 - \left(\frac{l}{2}\right)^2}\\&= \sqrt{\left(\frac{l}{2\sin{\frac{\pi}{5}}}\right)^2 - \left(\frac{l}{2}\right)^2}\\&= \sqrt{\frac{l^2}{4\sin^2{\frac{\pi}{5}}} - \frac{l^2}{4}}\\&= \sqrt{\frac{l^2}{4\sin^2{\frac{\pi}{5}}} - \frac{l^2\sin^2{\frac{\pi}{5}}}{4\sin^2{\frac{\pi}{5}}}}\\&= \sqrt{ \frac{1 - \sin^2{\frac{\pi}{5}}}{4\sin^2{\frac{\pi}{5}}}l^2}\\&= \frac{l\sqrt{1 - \sin^2{\frac{\pi}{5}}}}{2\sin{\frac{\pi}{5}}}\end{align*}

 

Beachte, dass hier das Apothema nur von der Seite abhängt - du musst aber mehr Operationen durchführen. Daher ist es bequemer, die Seite und den Radius zu haben.

 

Betrachte das folgende Beispiel

 

Berechne das Apothema eines Fünfecks mit 6 cm Seitenlänge und 5 cm Radius.

 

So berechnest Du das Apothema eines Fünfecks

 

Du weißt, dass die Formel folgendermaßen lautet:

\displaystyle a = \sqrt{ r^2 - \left(\frac{l}{2}\right)^2}

 

wenn du den Wert der Seite und des Radius einsetzt, erhältst du

 

    \begin{align*} a &= \sqrt{ r^2 - \left(\frac{l}{2}\right)^2}\\&= \sqrt{ 5^2 - \left(\frac{6}{2}\right)^2}\\&= \sqrt{ 5^2 - 3^2}\\&= \sqrt{ 25 - 9}\\&= \sqrt{ 16}\\&= 4 \; cm\end{align*}

 

Apothema eines Sechsecks

 

Apothema eines Sechsecks

 

Erinnere dich zunächst daran, dass der zentrale Winkel eines Fünfecks im Bogenmaß \frac{2}{6} = \3} beschrieben wird. Daher ist der Winkel zwischen dem Apothema und dem Radius halb so groß, also \frac{6}. Der Sinus dieses Winkels ist die Gegenkathete der Hypotenuse, also

 

\displaystyle \sin{\frac{\pi}{6}} = \frac{\frac{l}{2}}{r} = \frac{l}{2r}

 

Du musst aber auch

 

\displaystyle \sin{\frac{\pi}{6}} = \frac{1}{2}

 

woraus folgt, dass

 

    \begin{align*} \frac{l}{2r} &= \frac{1}{2}\\\frac{l}{2} &= \frac{r}{2}\\l &= r\end{align*}

 

dann weißt du, dass in einem Sechseck der Radius das Gleiche misst wie eine Seite.

 

Mit Hilfe vom Satz des Pythagoras ergibt sich, dass

 

\displaystyle l^2 = \left(\frac{l}{2}\right)^2 + {a}^2 = \frac{l^2}{4} + {a}^2

 

oder auch

 

\displaystyle {a}^2 = l^2 - \frac{l^2}{4} = \frac{3l^2}{4}

 

Durch Ziehen der Wurzel

 

\displaystyle a = \frac{\sqrt{3}}{2}l

 

Betrachte das folgende Beispiel

 

Berechne das Apothema eines Fünfecks mit 4 cm Seitenlänge.

 

So berechnest Du das Apothema eines Sechsecks

 

Du weißt, dass deine Formel folgendermaßen lautet:

\displaystyle a = \frac{\sqrt{3}}{2}l

 

wenn du den Wert der Seite und des Radius einsetzt, erhältst du

 

    \begin{align*} a &= \frac{\sqrt{3}}{2}l\\&= \frac{\sqrt{3}}{2}(4)\\&= 2\sqrt{3}\\&\approx 3.46 \; cm\end{align*}

 

Apothema einer Pyramide

 

Das seitliche Apothema einer regelmäßigen Pyramide ist die Höhe einer beliebigen ihrer Seitenflächen.

 

Apothema eines Pyramide berechnen

 

Berechne das seitliche Apothema der Pyramide (Ap), wenn du die Höhe (h) und das Apothema der Grundseite (ap) kennst und wende den Satz des Pythagoras im schraffierten Dreieck an. Daher ist das Quadrat des seitlichen Apothemas gegeben durch

 

\displaystyle {Ap}^2 ={ap}^2 + h^2

 

oder, das seitliche Apothema ist gegeben durch

 

\displaystyle Ap = \sqrt{{ap}^2 + h^2}

 

Apothema eines Pyramidenstamms

 

Ein regelmäßiger Pyramidenstamm wird durch zwei Grundflächen gebildet, die ähnliche regelmäßige Vielecke sind, und mehrere Seitenflächen, die gleichschenklige Trapeze sind. Die Apothemata sind die Höhen dieser Trapeze.

 

Apothema eines Pyramidenstamms

 

Du berechnest das seitliche Apothema des Pyramidenstamms (Ap) bei Kenntnis der Höhe (h), das Apothema der Grundfläche ({ap}_2) und das Apothema der Nebenfläche ({ap}_1) unter Anwendung vom Satz des Pythagoras im schattierten Dreieck im Bild.

 

Beachte, dass in diesem Dreieck eine der Katheten die Höhe ist, während die andere die Differenz aus dem Apothema der Grundfläche minus dem Apothema der Nebenfläche ist. Daher wäre das Quadrat des seitlichen Apothemas

 

\displaystyle {Ap}^2 = ({ap}_2 - {ap}_1)^2 + h^2

 

oder, das seitliche Apothema wäre

 

\displaystyle Ap = \sqrt{({ap}_2 - {ap}_1)^2 + h^2}

 

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Anna

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