Das Gauß-Verfahren (auch: Gaußsches Eliminationsverfahren) ist ein Additionsverfahren, bei dem mehrere Variablen eliminiert werden, sodass ein LGS in Stufenform (Dreiecksform) entsteht. Dabei bleibt die erste Gleichung unverändert stehen. Alle darauffolgenden Gleichungen enthalten jeweils eine Variable weniger als die vorhergehende.
Im Folgenden lösen wir ein LGS mit drei Gleichungen und drei Variablen Schritt für Schritt nach dem Gauß-Verfahren.
1 Als erste Gleichung nehmen wir die, deren Koeffizient von 
oder 
beträgt. Sollte das nicht gehen, nehmen wir die mit 
oder 
und tauschen die Reihenfolge der Variablen aus.
2 Wir führen das Reduktionsverfahren mit der 
und 
Gleichung durch, um den Term mit aus der Gleichung zu entfernen. Als zweite Gleichung schreiben wir das Ergebnis aus der Reduktion auf:
3 Dasselbe machen wir mit der und 
Gleichung, um den Term mit zu entfernen.
4 Nun nehmen wir die 
und 
Gleichung in umgewandelter Form und vereinfachen sie, um so den Term mit zu entfernen.
5 Wir erhalten ein LGS in Stufenform.
6 Als Lösungen erhalten wir:
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