Nichtlineare Gleichungssysteme: Aufgaben

 

1\displaystyle \left\{ \begin{matrix}  x^2 + y^2 & = 25\\  x + y & = 7\;\;  \end{matrix} \right.

Du hast das folgende nichtlineare Gleichungssystem:

 

\displaystyle \left\{ \begin{matrix} x^2 + y^2 & = 25\\ x + y & = 7\;\; \end{matrix} \right.

 

Löse das System durch Substitution. Löse zunächst eine Unbekannte von einer der Gleichungen, vorzugsweise der linearen Gleichung.

 

\displaystyle y = 7 - x

 

Setze dann den Wert der Unbekannten in die andere Gleichung ein:

 

\displaystyle x^2 + (7 - x)^2 = 25

 

Löse nun die resultierende Gleichung:

 

\displaystyle x^2 + 49 - 14x + x^2 = 25 \qquad \to \qquad 2x^2 - 14x + 24 = 0

 

Wenn du dann durch 2 teilst, erhältst du die folgende quadratische Gleichung:

 

\displaystyle x^2 - 7x + 12 = 0

 

Die Lösung dieser Gleichung ergibt sich aus der abc-Formel

 

\displaystyle x = \frac{7 \pm \sqrt{49  - 48} }{2} = \frac{7 \pm 1}{2}

 

Die Lösungen der quadratischen Gleichung sind also:

 

\displaystyle x_1 = 4, \quad x_2 = 3

 

Jeder der erhaltenen Werte wird in die andere Gleichung eingesetzt. Auf diese Weise erhältst du die entsprechenden Werte der anderen Unbekannten.

 

    \begin{align*} x_1 = 4 \qquad \to & \qquad y_1 = 7 - 4  = 3\\ x_2 = 3 \qquad \to & \qquad y_2 = 7 - 3  = 4 \end{align*}

 

Die Lösungen für das Gleichungssystem sind daher:

 

\displaystyle \left\{\begin{matrix} x_1 = 4\\ y_1 = 3 \end{matrix} \right. \qquad \left\{ \begin{matrix} x_2 = 3\\ y_2 = 4 \end{matrix} \right.

 

 

2\displaystyle \left\{ \begin{matrix}  x + y & = 7\;\;\\  x \cdot y & = 12  \end{matrix} \right.

Das Gleichungssystem lautet:

 

\displaystyle \left\{ \begin{matrix} x + y & = 7\;\;\\ x \cdot y & = 12 \end{matrix} \right.

 

Löse auch hier das Gleichungssystem durch Substitution. Entferne zuerst das y aus der ersten Gleichung:

 

y = 7 - x

 

Setze dann den Wert von y in die zweite Gleichung ein:

 

x\cdot (7 - x) = 12 \qquad \to \qquad 7x - x^2 = 12

 

Also:

 

x^2 - 7x + 12 = 0

 

Löse nun die resultierende Gleichung mit Hilfe der abc-Formel:

 

\displaystyle x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 48} }{2} = \frac{7 \pm 1}{2}

 

Die Lösungen der quadratischen Gleichung sind also:

 

\displaystyle x_1 = 4, \quad x_2 = 3

 

Setze schließlich die beiden Werte in die andere Gleichung ein. So erhältst du die entsprechenden Werte der anderen Unbekannten:

    \begin{align*} x_1 = 4 \qquad \to & \qquad y_1 = 7 - 4 = 3\\ x_2 = 3 \qquad \to & \qquad y_2 = 7 - 3 = 4 \end{align*}

 

Die Lösungen für das nichtlineare System sind also:

 

\displaystyle \left\{\begin{matrix} x_1 = 4\\ y_1 = 3 \end{matrix} \right. \qquad \left\{ \begin{matrix} x_2 = 3\\ y_2 = 4 \end{matrix} \right.

 

3\displaystyle \left\{ \begin{matrix}x^2 + y^2 & = 169\\  x + y & = 17\;\;  \end{matrix} \right.

In diesem Fall ist das Gleichungssystem gegeben durch:

 

\displaystyle \left\{ \begin{matrix} x^2 + y^2 & = 169\\ x + y & = 17\;\; \end{matrix} \right.

 

Auch hier wird das System durch Substitution gelöst. Entferne zuerst das x aus der zweiten Gleichung:

 

x = 17 - y

 

Setze den Wert von x in die erste Gleichung ein:

 

(17 - y)^2 + y^2 = 169 \qquad \to \qquad 289 - 34y + y^2 + y^2 = 169

 

Fasse nun gleiche Terme zusammen und dividiere dann durch 2:

 

2y^2 - 34y + 120 = 0 \qquad \to \qquad y^2 - 17y + 60 = 0

 

Löse die resultierende Gleichung,

 

\displaystyle y = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 240} }{2} = \frac{17 \pm 7}{2}

 

Die quadratische Gleichung hat also folgende Lösungen:

 

\displaystyle y_1 = 12, \quad y_2 = 5

 

Setze die beiden Werte in die andere Gleichung ein. Auf diese Weise erhältst du die Werte der anderen Unbekannten,

 

    \begin{align*} y_1 = 12 \qquad \to & \qquad x_1 = 17 - 12  = 5\\ y_2 = 5 \qquad \to & \qquad x_2 = 17 - 5  = 12 \end{align*}

 

Daher lauten die Lösungen:

 

\displaystyle \left\{\begin{matrix} x_1 = 5\\ y_1 = 12 \end{matrix} \right. \qquad \left\{ \begin{matrix} x_2 = 12\\ y_2 = 5 \end{matrix} \right.

 

 

4\displaystyle \left\{ \begin{matrix}y^2 - 2y + 1 & = x\\  \sqrt{x} + y & = 5  \end{matrix} \right.

Du hast folgendes System:

 

\displaystyle \left\{ \begin{matrix} y^2 - 2y + 1 & = x\\ \sqrt{x} + y & = 5 \end{matrix} \right.

 

Löse das System wieder durch Substitution. Das x wurde bereits in der ersten Gleichung entfernt, also setzt du den Wert von x in die zweite Gleichung ein.

 

\displaystyle \sqrt{y^2 - 2y + 1} + y = 5 \qquad \to \qquad \sqrt{y^2 - 2y + 1} = 5 - y

 

Da es sich um eine radikale Gleichung handelt, quadrierst du beide Seiten der Gleichung (beachte, dass du zunächst die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung außer Acht lässt):

\displaystyle \left(\sqrt{y^2 - 2y + 1}\right)^2 = \left(5 - y\right)^2

 

Dann ergibt sich:

 

\displaystyle y^2 - 2y + 1 = 25 - 10y + y^2 \qquad \to \qquad 8y = 24

 

Also ist y igual a 3. Prüfe die Lösung der radikalen Gleichung

 

\displaystyle \sqrt{9 - 6 + 1} + 3 = 5 \qquad \to \qquad \sqrt{4} + 3 = 5

 

Daraus ergibt sich 5=5, weshalb y igual a 3 eine Lösung der radikalen Gleichung ist. Setze den erhaltenen Wert in die andere Gleichung ein und du erhältst den Wert der anderen Unbekannten:

 

\displaystyle x = 3^2 - 2\cdot 3 + 1 = 4

 

Die Lösung lautet also:

\displaystyle \left\{\begin{matrix} x = 4\\ y = 3 \end{matrix} \right.

 

5\displaystyle \left\{ \begin{matrix}\displaystyle\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} & = 13\\  & \\  \displaystyle\frac{1}{x} - \frac{1}{y} & = 1\;\;  \end{matrix} \right.

Das Gleichungssystem sieht folgendermaßen aus:

 

\displaystyle \left\{ \begin{matrix} \displaystyle\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} & = 13\\ & \\ \displaystyle\frac{1}{x} - \frac{1}{y} & = 1\;\; \end{matrix} \right.

 

Um das Gleichungssystem zu lösen, werden zunächst zwei Variablenänderungen vorgenommen:

 

\displaystyle \frac{1}{x} = u, \qquad \frac{1}{y} = v

 

Ersetze durch Substitution die Variablen im System,

\displaystyle \left\{ \begin{matrix} u^2 + v^2 & = 13\\ u - v & = 1\;\; \end{matrix} \right.

 

Jetzt hast du ein Gleichungssystem, das einfacher zu lösen ist. Dieses neue Gleichungssystem wird ebenfalls durch Substitution gelöst. Entferne das u aus der zweiten Gleichung, was u = 1 + v ergibt. Wenn du dies in die erste Gleichung einsetzt, erhältst du:

 

\displaystyle (1 + v)^2 + v^2 = 13 \qquad \to \qquad 1 + 2v + v^2 + v^2 = 13

 

Wenn du diese Gleichung durch 2 teilst und Null setzt, erhältst du:

 

\displaystyle v^2 + v - 6 = 0

 

Löse die resultierende Gleichung mit Hilfe der abc-Formel:

 

\displaystyle v = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 24} }{2} = \frac{-1 \pm 5}{2}

 

Daraus ergibt sich:

 

\displaystyle v_1 = 2 \qquad \to \qquad u_1 = 3

\displaystyle v_2 = -3 \qquad \to \qquad u_2 = -2

 

Mache die Änderung durch Resubstitution rückgängig und jeder der erhaltenen Werte wird in die andere Gleichung eingesetzt. Dadurch erhältst du die entsprechenden Werte der anderen Unbekannten

 

\displaystyle \frac{1}{x_1} = 3 \quad \to \quad x_1 = \frac{1}{3}; \qquad \frac{1}{x_2} = -2 \quad \to \quad x_2 = -\frac{1}{2}

\displaystyle \frac{1}{y_1} = 2 \quad \to \quad y_1 = \frac{1}{2}; \qquad  \frac{1}{y_2} = -3 \quad \to \quad y_2 = -\frac{1}{3}

 

Die Lösungen sind also:

 

\displaystyle \left\{\begin{matrix} x_1 = 1/3\\ y_1 = 1/2 \end{matrix} \right. \qquad \left\{ \begin{matrix} x_2 = -1/2\\ y_2 = -1/3 \end{matrix} \right.

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Nichtlineare Gleichungssysteme: Anwendungsbeispiele

 

6 Das Produkt zweier Zahlen ist 4, und die Summe ihrer Quadratzahlen ist 17. Wie lauten diese Zahlen?

Das Produkt von zwei Zahlen ist 4, und die Summe ihrer Quadratzahlen ist 17. Wie lauten diese Zahlen?

 

Um dieses Problem zu lösen, musst du es zunächst algebraisch darstellen. "Das Produkt zweier Zahlen ist 4" kann algebraisch folgendermaßen ausgedrückt werden: x\cdot y = 4. Ähnlich wird "die Summe ihrer Quadratzahlen ist 17" algebraisch ausgedrückt als: x^2 + y^2 = 17. Daher erhältst du das folgende nichtlineare Gleichungssystem:

 

\displaystyle \left\{ \begin{matrix} x \cdot y & = 4\;\;\\ x^2 + y^2 & = 17 \end{matrix} \right.

 

Löse es durch Substitution. Entferne zuerst das x aus der ersten Gleichung,

 

\displaystyle x = \frac{4}{y}

 

Setze nun den Wert von y in die zweite Gleichung ein

 

\displaystyle \left( \frac{4}{y} \right)^2 + y^2 = 17 \qquad \to \qquad \frac{16}{y^2} + y^2 = 17

 

Das heißt,

 

\displaystyle 16 + y^4 = 17y^2 \qquad \to \qquad y^4 - 17y^2 + 16 = 0

 

Du erhältst also eine biquadratische Gleichung, die du lösen musst. Hierfür verwendest du die Variablenänderung t = y^2. Durch Substitution dieser Variablenänderung erhältst du,

 

t^2 - 17t + 16 = 0

 

Löse diese Gleichung mit der abc-Formel:

 

\displaystyle t = \frac{17 \pm \sqrt{17^2 - 64} }{2} = \frac{17 \pm \sqrt{225} }{2} = \frac{17 \pm 15}{2}

 

Die Lösungen der biquadratischen Gleichung sind also:

 

\displaystyle t_1 = 16, \quad t_2 = 1

 

Dies impliziert, dass

 

\displaystyle t_1 = y^2 = 16 \qquad \to \qquad y = \pm 4

\displaystyle t_2 = y^2 = 1 \qquad \to \qquad y = \pm 1

Das heißt, du hast 4 mögliche Werte für y. Setze diese Werte in die erste Gleichung ein, dann erhältst du,

 

    \begin{align*} y_1 = 4 \qquad \to & \qquad x_1 = 1\\ y_2 = -4 \qquad \to & \qquad x_2 = -1\\ y_3 = 1 \qquad \to & \qquad x_3 = 4\\ y_4 = -1 \qquad \to & \qquad x_4 = -4 \end{align*}

 

Die 4 Lösungen für das Problem sind also:

 

\displaystyle \left\{\begin{matrix} x_1 = 1\\ y_1 = 4 \end{matrix} \right. \qquad \left\{ \begin{matrix} x_2 = -1\\ y_2 = -4 \end{matrix} \right. \qquad \left\{ \begin{matrix} x_3 = 4\\ y_3 = 1 \end{matrix} \right. \qquad \left\{ \begin{matrix} x_4 = -4\\ y_4 = -1 \end{matrix} \right.

 

7 Gesucht ist ein Bruch, der cinco séptimos entspricht und dessen quadrierte Terme sich zu 1184 addieren

Gesucht ist ein Bruch, der cinco séptimos entspricht und dessen quadrierte Terme sich zu 1184 addieren.

 

Um dieses Problem algebraisch auszudrücken, wird der äquivalente Bruch x als Zähler und y als Nenner ernannt. Somit wird das Problem mit dem folgenden nichtlinearen Gleichungssystem gelöst:

 

\displaystyle \left\{ \begin{matrix} \displaystyle\frac{x}{y} & =\displaystyle \frac{5}{7}\quad\\ & \\ x^2 + y^2 & = 1184 \end{matrix} \right.

 

Das Gleichungssystem wird durch Substitution gelöst. Entferne zunächst das  x aus der ersten Gleichung:

 

\displaystyle x = \tfrac{5}{7}y

 

Setze nun den Wert von y in die zweite Gleichung ein

 

\displaystyle \left( \tfrac{5}{7}y \right)^2 + y^2 = 1184 \qquad \to \qquad \tfrac{25}{49}y^2 + y^2 = 1184

 

So ergibt sich:

 

\displaystyle 25y^2 + 49y^2 = 58016 \qquad \to \qquad 74y^2 =58016

 

Das bedeutet folgendes:

 

\displaystyle y^2 = \frac{58016}{74} = 784

 

Löse nun diese quadratische Gleichung

 

\displaystyle y^2 = 784 \qquad \to \qquad y = \pm 28

 

Setze dann jeden der erhaltenen Werte in die andere Gleichung ein:

 

    \begin{align*} y_1 = 28 \qquad \to & \qquad x_1 = 20\\ y_2 = -28 \qquad \to & \qquad x_2 = -20 \end{align*}

 

Daher sind die Entsprechungen des Bruches cinco séptimos:

 

\displaystyle \frac{20}{28} \qquad \text{y} \qquad \frac{-20}{-28}

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Anna