1\displaystyle \frac{1}{x^2-x}-\frac{1}{x-1}=0

 

1 Berechne das kleinste gemeinsame Vielfache der NennerBringe es auf einen gemeinsamen Nenner. Berechne dazu das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner

x^2-x=x(x-1)

\text{mcm}(x^2-x,x-1)=x(x-1)

2 Gleichung ohne rationale Zahlen darstellen

Dividiere das kleinste gemeinsame Vielfache zwischen jedem Nenner und multipliziere das Ergebnis mit dem entsprechenden Zähler. Aus diesem Verfahren erhälst Du folgende Gleichung:

1-x=0 \hspace{.5cm}\Rghtarrow\hspace{.5cm} x=1

3 Prüfen der Lösung

Setze die erhaltene Lösung ein, um zu überprüfen, dass die Gleichung erfüllt ist

\displaystyle \frac{1}{1-1}-\frac{1}{1-1}=0 \hspace{1cm} \frac{1}{0}-\frac{1}{0}=0

Die Gleichung hat keine Lösung, da sich für x = 1 die Nenner aufheben.

 

2 \displaystyle \frac{1}{x-2}+\frac{1}{x+2}=\frac{1}{x^2-4}

 

1 Berechne das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner

Bringe es auf einen gemeinsamen Nenner. Berechne dazu das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner

x^2-4=(x-2)\cdot(x+2)

\text{mcm}(x-2,x+2,x^2-4)=(x-2)\cdot(x+2)

2 Gleichung ohne rationale Zahlen darstellen

Dividiere das kleinste gemeinsame Vielfache durch jeden Nenner und multipliziere das Ergebnis dann mit dem entsprechenden Zähler

\displaystyle x+2+x-2=1 \hspace{.5cm} \Rightarrow \hspace{.5cm} 2x=1 \hspace{.5cm} \Rightarrow \hspace{.5cm} x=\frac{1}{2}

3 Prüfen der Lösung

\displaystyle \frac{1}{\frac{1}{2}-2}+\frac{1}{\frac{1}{2}+2}=\frac{1}{\left( \frac{1}{2}\right )^2-4}

\displaystyle \frac{1}{-\frac{3}{2}}+\frac{1}{\frac{5}{2}}=\frac{1}{\frac{-15}{4}}\hspace{.5cm}\Rightarrow \hspace{.5cm} -\frac{2}{3}+\frac{2}{5}=-\frac{4}{15}\hspace{.5cm}\Rightarrow\hspace{.5cm}-\frac{4}{15}=-\frac{4}{15}

 

Die Lösung ist: x=\frac{1}{2}

 

3 \displaystyle \frac{3}{x}=1+\frac{x-13}{6}

 

1 Berechne das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner

Bringe es auf einen gemeinsamen Nenner. Berechne dazu das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner

\text{mcm}(x,6)=6x

2 Gleichung ohne rationale Zahlen darstellen

Teile das kleinste gemeinsame Vielfache durch jeden Nenner und multipliziert dann das Ergebnis mit dem entsprechenden Zähler

18=6x+x(x-13)

18=6x+x^2-13x

x^2-7x-18=0

Greife für die Lösungen auf die abc-Formel für quadratische Gleichungen zurück

\displaystyle x=\frac{7\pm\sqrt{49+72}}{2}=\frac{7\pm\sqrt{121}}{2}=\frac{7\pm 11}{2}

\displaystyle x_1=\frac{18}{2}=9

\displaystyle x_2=\frac{-4}{2}=-2

3 Prüfen der Lösung

\displaystyle \frac{3}{9}=1+\frac{9-13}{6} \hspace{.5cm}\Rightarrow \hspace{.5cm} \frac{3}{9}=\frac{6-4}{6}\hspace{.5cm}\Rightarrow \hspace{.5cm}\frac{3}{9}=\frac{2}{6} \hspace{.5cm}\Rightarrow \hspace{.5cm}\frac{1}{3}=\frac{1}{3}

\displaystyle \frac{3}{-2}=1+\frac{-2-13}{6} \hspace{.3cm}\Rightarrow \hspace{.3cm} \frac{3}{-2}=\frac{6-15}{6}\hspace{.3cm}\Rightarrow \hspace{.3cm}\frac{3}{-2}=\frac{-9}{6} \hspace{.3cm}\Rightarrow \hspace{.3cm}-\frac{3}{2}=-\frac{3}{2}

 

4 Gesucht wird eine ganze Zahl, deren Summe ihrem Kehrwert gleich ist \displaystyle \frac{26}{5}

 

1 Stelle die Gleichung auf

x steht für die gesuchte Zahl

Kehrwert der Zahl: \displaystyle \frac{1}{x}

Summe aus einer Zahl und ihrem Kehrwert: \displaystyle x+\frac{1}{x}=\frac{26}{5}

2 Nenner entfernen

Da es sich um eine rationale Gleichung, musst du zunächst die Nenner entfernen

\displaystyle \text{mcm}(5,x)=5x

5x^2+5=26x \hspace{1cm}5x^2-26x+5=0

3 Gleichung lösen

\displaystyle x=\frac{26\pm\sqrt{676-100}}{10}=\frac{26\pm\sqrt{576}}{10}=\frac{26\pm 24}{10}

x_1=5

\displaystyle x_2=\frac{1}{5}\not \in \mathbb{Z}

4 Ergebnis überprüfen

Die gesuchte Zahl ist 5, aber da es sich um eine rationale Gleichung handelt, musst Du dies überprüfen:

\displaystyle 5+\frac{1}{5}=\frac{26}{5}\hspace{.5cm}\Rightarrow \hspace{.5cm}\frac{25+1}{5} =\frac{26}{5}\hspace{.5cm}\Rightarrow \hspace{.5cm}\frac{26}{5}=\frac{26}{5}

\displaystyle \frac{1}{5} ist keine Lösung, da es sich nicht um eine ganze Zahl handelt

 

5 Zwei Rohre A und B füllen gemeinsam ein Schwimmbecken in zwei Stunden. A benötigt dafür drei Stunden weniger als B. Wie viele Stunden benötigt jedes einzelne Rohr dafür??

 

1 Gleichung aufstellen

Zeit, die A benötigt \hspace{.5cm}\rightarrow \hspace{.5cm} x

Zeit, die B benötigt \hspace{.5cm}\rightarrow \hspace{.5cm} x+3

Zeit, die A und B zusammen benötigen \hspace{.5cm}\rightarrow \hspace{.5cm} 2

Geschwindigkeit, mit der A auffüllt \hspace{.5cm}\rightarrow \hspace{.5cm} \frac{1}{x}[/latex]

Geschwindigkeit, mit der B auffüllt \displaystyle \hspace{.5cm}\rightarrow \hspace{.5cm} \frac{1}{x+3}

Geschwindigkeit, mit der A und B auffüllen \displaystyle \hspace{.5cm}\rightarrow \hspace{.5cm} \frac{1}{2}

Da Rohr A und Rohr B das Becken zusammen in zwei Stunden füllen, wird die Füllgeschwindigkeit der beiden addiert und man erhält:

\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{x+3}=\frac{1}{2}

2 Nenner entfernen

Da es sich um eine rationale Gleichung handelt, musst du die Nenner entfernen

\text{mcm}(2,x,x+3)=2x(x+3)

2x+6+2x=x^2+3x \hspace{1cm} x^2-x-6=0

3 Gleichung lösen

x=\frac{1\pm\sqrt{1+24}}{2}=\frac{1\pm\sqrt{25}}{2}=\frac{1\pm 5}{2}

x_1=3

x_2=-2\not \in \mathbb{N}

4 Ergebnis überprüfen

Prüfe, ob 3 eine Lösung ist:

\displaystyle \frac{1}{3}+\frac{1}{3+3}=\frac{1}{2}\hspace{.5cm}\Rightarrow \hspace{.5cm}\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{1}{2}\hspace{.5cm}\Rightarrow \hspace{.5cm}\frac{2+1}{6}=\frac{1}{2}\hspace{.5cm}\Rightarrow \hspace{.5cm}\frac{3}{6}=\frac{1}{2}
\Rightarrow \hspace{.5cm} \frac{1}{2}=\frac{1}{2}

Zeit von A 3 Stunden

Zeit von B 6 Stunden

 

6 Ein Rohr braucht zwei Stunden länger als das andere, um einen Tank zu füllen, und wenn beide zusammen auffüllen benötigen sie 1 Stunde und 20 Minuten. Wie lange wird es dauern, bis jedes einzelne Rohr den Tank aufgefüllt hat?

 

1 Gleichung aufstellen

Verschiebe die Zeit auf einen Bruchteil einer Stunde

1 Stunde und 20 Minuten = 4/3 Stunden

 

Zeit des 1. Rohres: x

Zeit des 2. Rohres: x − 2

Zeit für beide Rohre: \displaystyle \frac{4}{3}

 

Geschwindigkeit von Rohr 1: \displaystyle \frac{1}{x}

Geschwindigkeit von Rohr 2: \displaystyle \frac{1}{x-2}

Geschwindigkeit beider Rohre zusammen \displaystyle \frac{1}{\frac{4}{3}}

Da die Rohre zusammen das Becken in \displaystyle \frac{4}{3}Std. füllen, wird die Füllgeschwindigkeit jedes einzelnen Rohres addiert und man erhält::

\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{x-2}=\frac{1}{\frac{4}{3}}

Auf der anderen Seite der Gleichung kehrt man den Bruch um

\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{x-2}=\frac{4}{3}

2 Nenner entfernen

Man entfernt den Nenner, das kleinste gemeinsame Vielfache ist: 4x(x − 2)

3x^2-14x+8=0

3 Gleichung lösen

\displaystyle x=\frac{14\pm\sqrt{196-96}}{6}=\frac{14\pm 10}{6}

x_1=4

\displaystyle x_2=\frac{2}{3}

 

Benötigte Zeit des ersten Rohres: 4 Stunden

Zeit des zweiten Rohres 2 Stunden

 

Es stellt sich heraus, dass \displaystyle \frac{2}{3} keine Lösung ist, da die Zeit, die das zweite Rohr benötigt, negativ wäre.

 

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Anna