Überprüfung der abc-Formel (Mitternachtsformel)

 

Um die vorgeschlagenen Aufgaben zu lösen, wird die Mitternachtsformel für quadratische Gleichungen verwendet:

 

\displaystyle x = \frac {-b \pm \sqrt {b^2 - 4ac}}{2a}

 

Sie dient zur Lösung aller quadratischen Gleichungen vom Typ:

 

\displaystyle ax^{2}+bx+c=0   donde  \displaystyle a \neq 0

 

Die Anwendung dieser Methode ist sehr einfach, da du nur die Gleichungen mit Null gleichsetzen und die Werte von a,b,c in die Mitternachtsformel einsetzen musst.

 

Beim Lösen einer quadratischen Gleichung können 3 Dinge passieren:

  • Es gibt 2 Lösungen für die Variable x, die die Gleichung erfüllen.
  • Es gibt nur eine Lösung.
  • Die Lösung gehört nicht zur Menge der Reellen Zahlen.

Übungen zu quadratischen Gleichungen

 

1 x^{2}-5x+6=0

 

x^{2}-5x+6=0

 

1 Identifiziere die Werte von a, b und c

 

a=1 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; b=-5 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; c=6

 

2 Setze die Werte in die abc-Formel ein und löse nach x auf

 

x=\cfrac{-(-5)\pm \sqrt{(-5)^{2}-(4)(1)(6)}}{(2)(1)}

 

x=\cfrac{5\pm \sqrt{25-24}}{2}

 

x=\cfrac{5\pm \sqrt{1}}{2}

 

x=\cfrac{5\pm 1}{2}

 

\begin{matrix} x_{1}=\cfrac{5+1}{2} & & x_{2}=\cfrac{5-1}{2} \\ & & \\ x_{1}=\cfrac{6}{2} & & x_{2}=\cfrac{4}{2} \\ & & \\ x_{1}= 3 & & x_{2}=2 \end{matrix}

 

3 Die Gleichung hat zwei verschiedene reelle Lösungen:

 

x_{1}= 3 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; x_{2}=2

 

 

2 2x^{2}-7x+3=0

 

2x^{2}-7x+3=0

 

1 Identifiziere die Werte von a, b und c

 

a=2 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; b=-7 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; c=3

 

2 Setze die Werte nun in die abc-Formel/Mitternachtsformel ein und löse nach x auf

 

x=\cfrac{-(-7)\pm \sqrt{(-7)^{2}-(4)(2)(3)}}{(2)(2)}

 

x=\cfrac{7\pm \sqrt{49-24}}{4}

 

x=\cfrac{7\pm \sqrt{25}}{4}

 

x=\cfrac{7\pm 5}{4}

 

\begin{matrix} x_{1}=\cfrac{7+5}{4} & & x_{2}=\cfrac{7-5}{4} \\ & & \\ x_{1}=\cfrac{12}{4} & & x_{2}=\cfrac{2}{4} \\ & & \\ x_{1}= 3 & & x_{2}=\cfrac{1}{2} \end{matrix}

 

3 Die Gleichung hat zwei verschiedene reelle Lösungen

 

x_{1}= 3 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; x_{2}=\cfrac{1}{2}

 

 

3 -x^{2}+7x-10=0

 

-x^{2}+7x-10=0

 

1 Identifiziere die Werte von a, b und c

 

a=-1 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; b=7 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; c=-10

 

2 Setze die Werte nun in die abc-Formel/Mitternachtsformel ein und löse nach x auf

 

x=\cfrac{-7\pm \sqrt{7^{2}-(4)(-1)(-10)}}{(2)(-1)}

 

x=\cfrac{-7\pm \sqrt{49-40}}{-2}

 

x=\cfrac{-7\pm \sqrt{9}}{-2}

 

x=\cfrac{-7\pm 3}{-2}

 

\begin{matrix} x_{1}=\cfrac{-7+3}{-2} & & x_{2}=\cfrac{-7-3}{-2} \\ & & \\ x_{1}=\cfrac{-4}{-2} & & x_{2}=\cfrac{-10}{-2} \\ & & \\ x_{1}= 2 & & x_{2}=5 \end{matrix}

 

3 Die Gleichung hat zwei verschiedene reelle Lösungen:

 

x_{1}= 2 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; x_{2}=5

 

 

4 x^{2}-2x+1=0

 

x^{2}-2x+1=0

 

1 Identifiziere die Werte von a, b und c

 

a=1 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; b=-2 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; c=1

 

2 Setze nun die Werte in die abc-Formel/Mitternachtsformel ein und löse nach x auf

 

x=\cfrac{-(-2)\pm \sqrt{(-2)^{2}-(4)(1)(1)}}{(2)(1)}

 

x=\cfrac{2\pm \sqrt{4-4}}{2}

 

x=\cfrac{2\pm \sqrt{0}}{2}

 

x=\cfrac{2\pm 0}{2}

 

x=\cfrac{2}{2}=1

 

3 Die Gleichung hat nur eine reelle Lösung:

 

x=1

 

 

5 x^{2}+x+1=0

 

x^{2}+x+1=0

 

1 Identifiziere die Werte von a, b und c

 

a=1 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; b=1 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; c=1

 

2 Setze die Werte nun in die abc-Formel/Mitternachtsformel ein und löse nach x auf

 

x=\cfrac{-1\pm \sqrt{1^{2}-(4)(1)(1)}}{(2)(1)}

 

x=\cfrac{-1\pm \sqrt{1-4}}{2}

 

x=\cfrac{-1\pm \sqrt{-3}}{2}

 

\cfrac{-1\pm \sqrt{-3}}{2}\notin \mathbb{R}

 

3 Die Gleichung hat keine Lösung im Bereich der reellen Zahlen.

 

 

6 x^{2}-4x+4=0

 

x^{2}-4x+4=0

 

1 Identifiziere die Werte von a, b und c

 

a=1 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; b=-4 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; c=4

 

2 Setze die Werte nun in die abc-Formel/Mitternachtsformel ein und löse nach x auf

 

x=\cfrac{-(-4)\pm \sqrt{(-4)^{2}-(4)(1)(4)}}{(2)(4)}

 

x=\cfrac{4\pm \sqrt{16-16}}{8}

 

x=\cfrac{4\pm \sqrt{0}}{2}

 

x=\cfrac{4\pm 0}{2}\notin \mathbb{R}

 

x=2

 

3 Die Gleichung hat nur eine reelle Lösung.

 

x=2

 

 

7 2x-3=1-2x+x^{2}

 

2x-3=1-2x+x^{2}

 

1 Stelle die Gleichung um, sodass sie folgende Form annimmt:  ax^{2}+bx+c=0

 

-x^{2}+4x-4=0

 

2 Identifiziere die Werte von a, b und c

 

a=-1 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; b=4 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; c=-4

 

3 Setze nun die Werte in die abc-Formel/Mitternachtsformel ein und löse nach x auf:

 

x=\cfrac{-4\pm \sqrt{4^{2}-(4)(-1)(-4)}}{(2)(-1)}

 

x=\cfrac{-4\pm \sqrt{16-16}}{-2}

 

x=\cfrac{-4\pm \sqrt{0}}{-2}

 

x=\cfrac{-4\pm 0}{-2}

 

x=2

 

3 Die Gleichung hat nur eine reelle Lösung.

 

x=2

 

 

8 x^{2}+(7-x)^{2}=25

 

x^{2}+(7-x)^{2}=25

 

1 Löse das Binomialquadrat

 

x^{2}+49-14x+x^{2}=25

 

2 Stelle die Gleichung um, sodass die folgende Form annimmt:  ax^2+bx+c=0

 

2x^{2}-14x+24=0

 

3 Du identifiziere die Werte von a, b und c

 

a=2 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; b=-14 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; c=24

 

4 Setze die Werte nun in die abc-Formel/Mitternachtsformel ein und löse nach x auf

 

x=\cfrac{-(-14)\pm \sqrt{(-14)^{2}-(4)(2)(24)}}{(2)(2)}

 

x=\cfrac{14\pm \sqrt{196-192}}{4}

 

x=\cfrac{14\pm \sqrt{4}}{4}

 

x=\cfrac{14\pm 2}{4}

 

\begin{matrix} x=\cfrac{14+2}{4} & & x=\cfrac{14-2}{4}\\ & & \\ x=\cfrac{16}{4} & & x=\cfrac{12}{4}\\ & & \\ x=4 & & x=3 \end{matrix}

 

5 Die Gleichung hat zwei reelle Lösungen.

 

x_{1}=4\; \; \; \; \; x_{2}=3

 

 

9 7x^{2}+21x-28=0

 

7x^{2}+21x-28=0

 

1 In diesem Fall kannst du beide Seiten der Gleichung durch 7 teilen, um die Gleichung zu vereinfachen

 

x^{2}+3x-4=0

 

2 Identifiziere die Werte von a, b und c

 

a=1 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; b=3 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; c=-4

 

3 Setze die Werte nun in die abc-Formel/Mitternachtsformel ein und löse nach x auf

 

x=\cfrac{-3\pm \sqrt{3^{2}-(4)(1)(-4)}}{(2)(1)}

 

x=\cfrac{-3\pm \sqrt{9+16}}{2}

 

x=\cfrac{-3\pm \sqrt{25}}{2}

 

x=\cfrac{-3\pm 5}{2}

 

\begin{matrix} x=\cfrac{-3+5}{2} & & x=\cfrac{-3-5}{2}\\ & & \\ x=\cfrac{2}{2} & & x=\cfrac{-8}{2}\\ & & \\ x=1 & & x=-4 \end{matrix}

 

4 Die Gleichung hat zwei reelle Lösungen.

 

x_{1}=1\; \; \; \; \; x_{2}=-4

 

 

10-x² + 4x - 7 = 0

 

-x² + 4x - 7 = 0

 

1 Multipliziere beide Seiten mit -1, um eine äquivalente Gleichung mit a > 0 zu erhalten

 

x² - 4x + 7 = 0

 

\displaystyle \frac{4 \pm \sqrt{16 - 28}}{2}= \frac{4 \pm \sqrt{-12}}{2}  \notin \mathbb{R}

 

2 Die Gleichung hat keine reellen Lösungen.

 

11 18=6x+x(x-13)

 

18=6x+x(x-13)

 

 1 Verwende das Distributivgesetz, um die Klammer aufzulösen, und du erhältst:

 

18=6x+x^{2}-13x

 

2 Stelle die Gleichung so um, dass auf einer Seite Null steht

 

x^{2}-7x-18=0

 

3 Identifiziere die Werte von a, b und c

 

a=1 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; b=-7 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; c=-18

 

4 Setze die Werte nun in die abc-Formel/Mitternachtsformel ein und löse nach x auf

 

x=\cfrac{-(-7)\pm \sqrt{(-7)^{2}-(4)(1)(-18)}}{(2)(1)}

 

x=\cfrac{7\pm \sqrt{49+72}}{2}

 

x=\cfrac{7\pm \sqrt{121}}{2}

 

x=\cfrac{7\pm 11}{2}

 

\begin{matrix} x_{1}=\cfrac{7+11}{2} & & x_{2}=\cfrac{7-11}{2}\\ & & \\ x_{1}=\cfrac{18}{2} & & x_{2}=\cfrac{-4}{2}\\ & & \\ x_{1}=9 & & x_{2}=-2 \end{matrix}

 

5 Die Gleichung hat zwei reelle Lösungen.

 

x_{1}=9\; \; \; \; \; x_{2}=-2

 

 

12 6x^{2}-5x+1=0

 

6x^{2}-5x+1=0

 

1 Identifiziere die Werte von a, b und c

 

a=6 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; b=-5 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; c=1

 

2 Setze nun die Werte in die abc-Formel/Mitternachtsformel ein und löse nach x auf

 

x=\cfrac{-(-5)\pm \sqrt{(-5)^{2}-(4)(6)(1)}}{(2)(6)}

 

x=\cfrac{5\pm \sqrt{25-24}}{12}

 

x=\cfrac{5\pm \sqrt{1}}{12}

 

x=\cfrac{5\pm 1}{12}

 

\begin{matrix} x_{1}=\cfrac{5+1}{12} & & x_{2}=\cfrac{5-1}{12} \\ & & \\ x_{1}=\cfrac{6}{12} & & x_{2}=\cfrac{4}{12} \\ & & \\ x_{1}= \cfrac{1}{2} & & x_{2}= \cfrac{1}{3} \end{matrix}

 

3 Die Gleichung hat zwei verschiedene reelle Lösungen:

 

x_{1}= \cfrac{1}{2} \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; x_{2}== \cfrac{1}{3}

 

 

13 x^{2}+(x+2)^{2}=580

 

x^{2}+(x+2)^{2}=580

 

1 Löse das Binomialquadrat

 

x^{2}+x^{2}+4x+4=580

 

2 Stelle die Gleichung um, sodass sie die folgende Form annimmt: ax^2+bx+c=0

 

2x^{2}+4x-576=0

 

3 Teile beide Seiten der Gleichung durch 2, um sie zu vereinfachen

 

x^{2}+2x-288=0

 

4 Identifiziere die Werte von a, b und c

 

a=1 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; b=2 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; c=-288

 

5 Setze die Werte nun in die abc-Formel/Mitternachtsformel ein und löse nach x auf

 

x=\cfrac{-2\pm \sqrt{2^{2}-(4)(1)(-288)}}{(2)(1)}

 

x=\cfrac{-2\pm \sqrt{4+1152}}{2}

 

x=\cfrac{-2\pm \sqrt{1156}}{2}

 

x=\cfrac{-2\pm 34}{2}

 

\begin{matrix} x=\cfrac{-2+34}{2} & & x=\cfrac{-2-34}{2}\\ & & \\ x=\cfrac{32}{2} & & x=\cfrac{-36}{2}\\ & & \\ x=16 & & x=-18 \end{matrix}

 

6 Die Gleichung hat zwei reelle Lösungen.

 

x_{1}=16\; \; \; \; \; x_{2}=-18

 

 

14 x^{2}-5x-84=0

 

x^{2}-5x-84=0

 

1 Identifiziere die Werte von a, b und c

 

a=1 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; b=-5 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; c=-84

 

2 Setze die Werte nun in die abc-Formel/Mitternachtsformel ein und löse nach x auf

 

x=\cfrac{-(-5)\pm \sqrt{(-5)^{2}-(4)(1)(-84)}}{(2)(1)}

 

x=\cfrac{5\pm \sqrt{25+336}}{2}

 

x=\cfrac{5\pm \sqrt{361}}{2}

 

x=\cfrac{5\pm 19}{2}

 

\begin{matrix} x_{1}=\cfrac{5+19}{2} & & x_{2}=\cfrac{5-19}{2} \\ & & \\ x_{1}=\cfrac{24}{2} & & x_{2}=\cfrac{-14}{2} \\ & & \\ x_{1}= 12 & & x_{2}=-7 \end{matrix}

 

3 Die Gleichung hat zwei verschiedene reelle Lösungen:

 

x_{1}= 12 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; x_{2}=-7

 

 

15 4x^{2}-6x+2=0

 

4x^{2}-6x+2=0

 

1 Identifiziere die Werte von a, b und c

 

a=4 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; b=-6 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; c=2

 

2 Setze nun du die Werte in die abc-Formel/Mitternachtsformel ein und löse nach x auf

 

x=\cfrac{-(-6)\pm \sqrt{(-6)^{2}-(4)(4)(2)}}{(2)(4)}

 

x=\cfrac{6\pm \sqrt{36-32}}{8}

 

x=\cfrac{6\pm \sqrt{4}}{8}

 

x=\cfrac{6\pm 2}{8}

 

\begin{matrix} x_{1}=\cfrac{6+2}{8} & & x_{2}=\cfrac{6-2}{8} \\ & & \\ x_{1}=\cfrac{8}{8} & & x_{2}=\cfrac{4}{8} \\ & & \\ x_{1}= 1 & & x_{2}=\cfrac{1}{2} \end{matrix}

 

3 Die Gleichung hat zwei verschiedene reelle Lösungen:

 

x_{1}= 1 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; x_{2}=\cfrac{1}{2}

 

 

16 x^{2}-\cfrac{7}{6}\, x+\cfrac{1}{3}=0

 

x^{2}-\cfrac{7}{6}\, x+\cfrac{1}{3}=0

 

1 Multipliziere den vorderen Teil mit 6, und den hinteren mit 2, um den Nenner (6) zu eliminieren, und du erhältst:

 

6x^{2}-7x+2=0

 

2 Identifiziere die Werte von a, b und c

 

a=6 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; b=-7 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; c=2

 

3 Setze die Werte nun in die abc-Formel/Mitternachtsformel ein und löse nach x auf

 

x=\cfrac{-(-7)\pm \sqrt{(-7)^{2}-(4)(6)(2)}}{(2)(6)}

 

x=\cfrac{7\pm \sqrt{49-48}}{12}

 

x=\cfrac{7\pm \sqrt{1}}{12}

 

x=\cfrac{7\pm 1}{12}

 

\begin{matrix} x_{1}=\cfrac{7+1}{12} & & x_{2}=\cfrac{7-1}{12}\\ & & \\ x_{1}=\cfrac{8}{12} & & x_{2}=\cfrac{6}{12}\\ & & \\ x_{1}=\cfrac{2}{3} & & x_{2}=\cfrac{1}{2} \end{matrix}

 

4 Die Gleichung hat zwei reelle Lösungen.

 

x_{1}=\cfrac{2}{3}\; \; \; \; \; x_{2}=\cfrac{1}{2}

 

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Anna