1 2x^{4}+x^{3}-8x^{2}-x+6=0

 

2x^{4}+x^{3}-8x^{2}-x+6=0

 

1 Nimm die Divisoren des unabhängigen Terms: \left \{ \pm 1,\pm 2,\pm 3 \right \}.

2 Durch die Anwendung des Restsatzes weißt du, für welche Werte die Division exakt ist.

 

P(1)=2\cdot 1^{4}+1^{3}-8\cdot 1^{2}-1+6=2+1-8+6=0

 

3 Teile durch Ruffini (Synthetische Teilung).

 

\begin{matrix} & 2 & & 1 & & -8 & & -1 & & 6 & \\ 1 & & & 2 & & 3 & & -5 & & -6 & \\ \hline & 2 & & 3 & & -5 & & -6 & & 0 & \end{matrix}

 

4 Damit die Division exakt ist,  D=d\cdot c.

 

(x-1)\cdot (2x^{3}+3x^{2}-5x-6)=0

 

Eine Wurzel ist x = 1

 

5 Führe nun die gleichen Operationen mit dem zweiten Faktor durch.

6 Versuche es erneut für 1, da der erste Faktor quadriert werden konnte.

 

P(1)=2\cdot 1^{3}+3\cdot 1^{2}-5x-6\neq 0

 

7 Probiere x=-1 aus.

 

P(-1)=2\cdot (-1)^{3}+3\cdot (-1)^{2}-5\cdot (-1)-6=-2+3+5-6=0

 

\begin{matrix} & & 2 & & 3 & & -5 & & -6\\ -1 & & & & -2 & & -1 & & 6\\ \hline & & 2 & & 1 & & -6 & & 0 \end{matrix}

 

(x-1)\cdot (x+1)\cdot (2x^{2}+x-6)=0

 

Eine andere Wurzel ist x=-1

 

8 Da das dritte Polynom bereits vom zweiten Grad ist, kannst du es faktorisieren:

 

(x-1)\cdot (x+1)\cdot (x+2)\cdot (2x-3)=0

 

Die Lösungen sind: x=1,x=-1,x=-2 y x=\cfrac{3}{2}

2 x^{4}+12x^{3}-64x^{2}=0

 

x^{4}+12x^{3}-64x^{2}=0

 

1 Nimm den gemeinsamen Faktor x^{2} heraus.

 

x^{2}(x^{2}+12x-64)=0

 

2 Da du ein Produkt gleich Null hast, ist entweder der eine Faktor Null oder der andere Faktor ist Null oder beide sind Null

 

x^{2}=0\; \; \; \; \; \Rightarrow \; \; \; \; \; x_{1}=0

 

3 Faktorisiere das zweite quadratische Polynom

 

x^{2}(x-4)(x+16)=0

 

x_{1}=0\; \; \; \; \; x_{2}=4\; \; \; \; \; x_{3}=-16

3 2x^{3}-7x^{2}+8x-3=0

 

2x^{3}-7x^{2}+8x-3=0

 

1 Nim die Divisoren des unabhängigen Terms: \left \{ \pm 1,\pm 3 \right \}.

2 Durch die Anwendung des Restsatzes weißt du, für welche Werte die Division exakt ist.

 

P(1)=2\cdot 1^{3}-7\cdot 1^{2}+8\cdot 1-3=0

 

3 Dividiere durch Ruffini

 

\begin{matrix} & & 2 & & -7 & & 8 & & -3\\ 1 & & & & 2 & & -5 & & 3\\ \hline & & 2 & & -5 & & 3 & & 0 \end{matrix}

 

4 Damit es die exakte Division ist, D=d\cdot c

 

(x-1)\cdot (2x^{2}-5x+3)=0

 

5 Führe nun die gleichen Operationen mit dem zweiten Faktor durch.

 

P(1)=2\cdot 1^{2}-5\cdot 1+3=0

 

\begin{matrix} & & 2 & & -5 & & 3\\ 1 & & & & 2 & & -3\\ \hline & & 2 & & -3 & & 0 \end{matrix}

 

(x-1)^{2}\cdot (2x-3)=0

 

Die Wurzeln sind: x_{1}=\cfrac{3}{2} und x=1

4 x^{3}-x^{2}-4=0

 

x^{3}-x^{2}-4=0

 

1 Nimm die Divisoren des unabhängigen Terms: \left \{ \pm 1,\pm 2,\pm 4 \right \}

2 Durch Anwendung des Restsatzes weißt du, für welche Werte die Division exakt ist

 

P(1)=1^{3}-1^{2}-4\neq 0

 

P(-1)=(-1)^{3}-(-1)^{2}-4\neq 0

 

P(2)=2^{3}-2^{2}-4=8-4-4=0

 

3 Dividiere durch Ruffini.

 

\begin{matrix} & & 1 & & -1 & & 0 & & -4\\ 2 & & & & 2 & & 2 & & 4\\ \hline & & 1 & & 1 & & 2 & & 0 \end{matrix}

 

4 Damit es die exakte Division ist, D=d\cdot c

 

(x-2)\cdot (x^{2}+x+2)=0

 

5 Zerlege den zweiten Faktor durch Lösen der quadratischen Gleichung

 

x^{2}+x+2=0

 

x=\cfrac{-1\pm \sqrt{(-1)^{2}-4\cdot 2}}{2}=\cfrac{-1\pm \sqrt{1-8}}{2}=\cfrac{-1\pm \sqrt{7}}{2}\; \not{\epsilon }\; \mathbb{R}

 

(x-2)\cdot (x^{2}+x+2)=0

 

Da die Gleichung keine Lösung hat, gibt es nur eine Wurzel: x=2.

 

5 6x^{3}+7x^{2}-9x+2=0

 

6x^{3}+7x^{2}-9x+2=0

 

1 Nimm die Divisoren des unabhängigen Terms: \left \{ \pm 1,\pm 2 \right \}

2 Durch Anwendung des Restsatzes weißt du, für welche Werte die Division exakt ist

 

P(1) = 6 · 1³ + 7 · 1² − 9 · 1 + 2 ≠ 0P(1)=6\cdot 1^{3}+7\cdot 1^{2}-9\cdot 1+2\neq 0

 

P(−1) = 6 · (−1)³ + 7 · (−1)² − 9 · (−1) + 2 ≠ 0P(-1)=6\cdot (-1)^{3}+7\cdot (-1)^{2}-9\cdot (-1)+2\neq 0

 

P(2)=6\cdot 2^{3}+7\cdot 2^{2}-9\cdot 2+2\neq 0

 

P(-2)=6\cdot (-2)^{3}+7\cdot (-2)^{2}-9\cdot (-2)+2=-48+28+18+2=0

 

3 Dividiere durch Ruffini

 

\begin{matrix} & & 6 & & 7 & & -9 & & 2\\ -2 & & & & -12 & & 10 & & -2\\ \hline & & 6 & & -5 & & 1 & & 0 \end{matrix}

 

4 Damit es die exakte Division ist, D=d\cdot c

 

(x+2)\cdot (6x^{2}-5x+1)=0

 

5 Zerlege den zweiten Faktor durch Lösen der quadratischen Gleichung

 

6x^{2}-5x+1=0

 

x=\cfrac{5\pm \sqrt{5^{2}-4\cdot 6}}{12}=\cfrac{5\pm \sqrt{25-24}}{12}=\cfrac{5\pm \sqrt{1}}{12}=\cfrac{5\pm 1}{12}

 

x_{1}=\cfrac{6}{12}=\cfrac{1}{2}                         x_{2}=\cfrac{4}{12}=\cfrac{1}{3}

 

(x+2)\cdot (2x-1)\cdot (3x-1)=0

 

Wurzeln: x_{1}=-2, x_{2}=\cfrac{1}{2} und x_{}=\cfrac{1}{3}

 

6 x^{3}+3x^{2}-4x-12=0

 

x^{3}+3x^{2}-4x-12=0

 

1 Nimm die Divisoren des unabhängigen Terms: {±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12}

2 Durch Anwendung des Restsatzes weißt du, für welche Werte die Division exakt ist

 

P(1)=1^{3}+3\cdot 1^{2}-4\cdot 1-12\neq 0

 

P(-1)=(-1)^{3}+3\cdot (-1)^{2}-4\cdot (-1)-12\neq 0

 

P(2)=2^{3}+3\cdot 2^{2}-4\cdot 2-12=8+12-8-12=0

 

3 Dividiere durch Ruffini.

4 Damit die Division exakt ist, D=d\cdot c.

 

(x-2)(x^{2}+5x+6)=0

 

5 Zerlege den zweiten Faktor durch Lösen der quadratischen Gleichung

 

x^{2}+5x+6=0

 

x=\cfrac{-5\pm \sqrt{5^{2}-4\cdot 6}}{2}=\cfrac{-5\pm \sqrt{25-24}}{2}=\cfrac{-5\pm \sqrt{1}}{2}=\cfrac{-5\pm 1}{2}

 

x_{1}=-\cfrac{4}{2}=-2                        x_{2}=-\cfrac{6}{2}=-3

 

(x-2)\cdot (x+2)\cdot (x+3)=0

 

Die Lösungen sind: x_{1}=2, x_{2}=-2 und x_{3}=-3.

 

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Anna