Löse die folgenden irrationalen Gleichungen

 

1 \sqrt{2x-3}-x=-1

 

\sqrt{2x-3}-x=-1

1 Auf beiden Seiten wird quadriert:

 

(\sqrt{2x-3})^{2}=(-1+x)^{2}

 

2x-3=1-2x+x^{2}

 

2 Löse die Gleichung:

 

x^{2}-4x+4=0

 

x=\cfrac{4\pm \sqrt{16-16}}{2}=\cfrac{4}{2}=2

 

3 Überprüfe:

 

\sqrt{2\cdot 2-3}-2=-1                    1-2=-1

 

Die Lösung der Gleichung lautet x = 2

 

2 \sqrt{5x+4}-1=2x

 

\sqrt{5x+4}-1=2x

1 Die -1 wandert auf die andere Seite und anschließend wird die komplette Gleichung quadriert:

 

\sqrt{5x+4}=2x+1

 

(\sqrt{5x+4})^{2}=(2x+1)^{2}

2 Löse die Gleichung:

 

5x+4=4x^{2}+4x+1

 

4x^{2}-x-3=0

x=\cfrac{1\pm \sqrt{1+48}}{8}=\cfrac{1\pm 7}{8}

 

x_{1}=\cfrac{8}{8}=1 x_{2}=\cfrac{-6}{8}=-\cfrac{3}{4}

 

3 Überprüfe:

 

\sqrt{5\cdot 1+4}-1=2\cdot 1\; \; \; \; \; \Rightarrow \; \; \; \; \; 3-1=2\; \; \; \; \; \Rightarrow \; \; \; \; \;x=1 ist eine Lösung

 

\sqrt{5\cdot \left ( -\cfrac{3}{4} \right )+4}-1=2\cdot \left ( -\cfrac{3}{4} \right )\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; -\frac{1}{2}\neq -\cfrac{3}{2}\; \; \; \; \; \Rightarrow \; \; \; \; \; x=-\cfrac{3}{4} ist keine Lösung

 

Die Lösung ist: x = 1

3 3\sqrt{x-1}+11=2x

 

3\sqrt{x-1}+11=2x

1 Die 11 wandert auf die andere Seite und anschließend wird die komplette Gleichung quadriert:

 

3\sqrt{x-1}=2x-11

 

(3\sqrt{x-1})^{2}=(2x-11)^{2}

 

2 Löse die Gleichung:

 

9(x-1)=4x^{2}-44x+121

 

9x-9=4x^{2}-44x+121

 

4x^{2}-53x+130=0

 

x=\cfrac{53\pm \sqrt{2809-2080}}{8}=\cfrac{53\pm \sqrt{729}}{8}=\cfrac{53\pm 27}{8}

 

x_{1}=\cfrac{80}{8}=10

 

x_{2}=\cfrac{26}{8}=\cfrac{13}{4}

 

3 Überprüfe:

 

3\sqrt{10-1}+11=2\cdot 10\; \; \; \; \; \Rightarrow \; \; \; \; \; 20=20\; \; \; \; \; \Rightarrow \; \; \; \; \; x=10 ist eine Lösung.

 

3\sqrt{\cfrac{13}{4}-1}+11\neq 2\cdot \cfrac{13}{4}\; \; \; \; \; \Rightarrow \; \; \; \; \; x=\cfrac{13}{4} ist keine Lösung.

 

Die Lösung ist: x = 10

4 \sqrt{x}+\sqrt{x-4}=2

 

\sqrt{x}+\sqrt{x-4}=2

1 Zuerst wird eine Wurzel isoliert:

 

\sqrt{x}=2-\sqrt{x-4}

 

2 Auf beiden Seiten wird quadriert:

 

(\sqrt{x})^{2}=(2-\sqrt{x-4})^{2}

 

x=4-4\sqrt{x-4}+x-4

 

3 Isoliere nun die Wurzel, quadriere sie und löse die Gleichung

 

4\sqrt{x-4}=0

 

\sqrt{x-4}=0

 

\left ( \sqrt{x-4} \right )^{2}=0^{2}

 

x-4=0

 

x=4

 

4 Überprüfe:

 

\sqrt{4}+\sqrt{4-4}=2

 

2+0=2

Die Lösung der Gleichung lautet x=4.

5 \sqrt{2x-1}+\sqrt{x+4}=6

 

\sqrt{2x-1}+\sqrt{x+4}=6

1 Isoliere zuerst eine Wurzel:

 

\sqrt{2x-1}=6-\sqrt{x+4}

 

2 Quadriere auf beiden Seiten:

 

(\sqrt{2x-1})^{2}=(6-\sqrt{x+4})^{2}

 

2x-1=36-12\sqrt{x+4}+x+4

 

3 Isoliere nun du die Wurzel, quadriere sie und löse die Gleichung

 

x-41=-12\sqrt{x+4}

 

(x-41)^{2}=(-12\sqrt{x+4})^{2}

 

x^{2}-82x+1681=144x+576

 

x^{2}-226x+1105=0

 

x_{1}=5                   x_{2}=221

4 Überprüfe:

 

\sqrt{2\cdot 5-1}+\sqrt{5+4}=6\; \; \; \; \; \Rightarrow \; \; \; \; \; 3+3=6\; \; \; \; \; \Rightarrow \; \; \; \; \; x=5 ist eine Lösung.

 

\sqrt{2\cdot 221-1}+\sqrt{221+4}=6\; \; \; \; \; \Rightarrow \; \; \; \; \; 21+15\neq 6\; \; \; \; \; \Rightarrow \; \; \; \; \; x=2 ist keine Lösung.

 

Die Lösung ist: x = 5

Du brauchst Mathe-Nachhilfe?

Hat Dir der Beitrag gefallen?

1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars 5,00/5 - 1 Bewertung(en)
Loading...

Anna