Aufgaben zu linearen Gleichungen

 

1Löse folgende Gleichung:

4(x - 10) = -6(2 - x) - 6x

1Auflösen der Klammern auf beiden Seiten der Gleichung durch Ausmultiplizieren

 

\begin{array}{rcl} 4(x - 10) & = & -6(2 - x) - 6x \\\\ 4x - 40 & = & -12 + 6x - 6x \end{array}

 

2Wir fassen Terme durch Addition und Subtraktion auf beiden Seiten der Gleichung zusammen

 

\begin{array}{rcl} 4x - 40 & = & -12 + 6x - 6x \\\\ 4x - 40 & = & -12 \end{array}

 

3Um x zu bestimmen, addieren wir beide Seiten der Gleichung zunächst mit 40 und vereinfachen sie

 

\begin{array}{rcl} 4x - 40 & = & -12 \\\\ 4x - 40 + 40 & = & -12 + 40 \\\\ 4x & = & 28 \end{array}

 

4 Um den Wert für x zu erhalten, multiplizieren wir jetzt beide Seiten der Gleichung mit \cfrac{1}{4} und vereinfachen sie

 

\begin{array}{rcl} 4x & = & 28 \\\\ 4x \left ( \cfrac{1}{4} \right ) & = & 28 \left ( \cfrac{1}{4} \right ) \\\\ x & = & 7 \end{array}

 

Somit ist die Lösung der Gleichung x = 7

 

2Löse folgende Gleichung:

2(x + 1) - 3(x - 2) = x + 6

1Ausmultiplizieren

 

\begin{array}{rcl} 2(x + 1) - 3(x - 2) & = & x + 6 \\\\ 2x + 2 -3x + 6 & = & x + 6 \end{array}

 

2Wir fassen Terme durch Addition und Subtraktion auf beiden Seiten der Gleichung zusammen

 

\begin{array}{rcl} 2x + 2 -3x + 6 & = & x + 6 \\\\ -x + 8 & = & x + 6 \end{array}

 

3Um x zu bestimmen, substrahieren wir zunächst x und 8 auf beiden Seiten der Gleichung und vereinfachen sie

 

\begin{array}{rcl} -x + 8 & = & x + 6 \\\\ -x + 8 - x - 8 & = & x + 6 - x - 8 \\\\ -2x & = & -2 \end{array}

 

4Um x zu bestimmen, multiplizieren wir jetzt beide Seiten der Gleichung mit -\cfrac{1}{2} und vereinfachen sie

 

\begin{array}{rcl} -2x & = & -2 \\\\ -2x \left ( -\cfrac{1}{2} \right ) & = & -2 \left ( -\cfrac{1}{2} \right ) \\\\ x & = & 1 \end{array}

 

Somit ist die Lösung der Gleichung x = 1

 

3Löse folgende Gleichung:

\cfrac{x - 1}{4} - \cfrac{x - 5}{36} = \cfrac{x + 5}{9}

1Wir berechnen das kgV(4, 36, 9)

 

\begin{array}{rcl} kgV(4, 36, 9) & = & kgV(2^2, 2^2 \cdot 3^2, 3^2) \\\\ & = & 2^2 \cdot 3^2 \\\\ & = & 36 \end{array}

 

2Wir multiplizieren beide Seiten der Gleichung mit dem kgV(4, 36, 9)

 

\begin{array}{rcl} \left( \cfrac{x - 1}{4} - \cfrac{x - 5}{36} \right)(36) & = & \left( \cfrac{x + 5}{9} \right) (36) \\\\ 9(x - 1) - (x - 5) & = & 4(x + 5) \\\\ 9x - 9 - x + 5 & = & 4x + 20 \end{array}

 

3Wir fassen Terme durch Addition und Subtraktion auf beiden Seiten der Gleichung zusammen

 

\begin{array}{rcl} 9x - 9 - x + 5 & = & 4x + 20 \\\\ 8x - 4 & = & 4x + 20 \end{array}

 

4Um x zu bestimmen, subtrahieren wir zunächst 4x und addieren 4 auf beiden Seiten der Gleichung und vereinfachen sie

 

\begin{array}{rcl} 8x - 4 & = & 4x + 20 \\\\ 8x - 4 - 4x + 4 & = & 4x + 20 - 4x + 4 \\\\ 4x & = & 24 \end{array}

 

5Um x zu bestimmen, multiplizieren wir jetzt beide Seiten der Gleichung mit \cfrac{1}{4} und vereinfachen sie

 

\begin{array}{rcl} 4x & = & 24 \\\\ 4x \left ( \cfrac{1}{4} \right ) & = & 24 \left ( \cfrac{1}{4} \right ) \\\\ x & = & 6 \end{array}

 

Somit ist die Lösung der Gleichung x = 6

 

 

4Löse folgende Gleichung:

6 \left( \cfrac{x + 1}{8} - \cfrac{2x - 3}{16} \right) = 3 \left( \cfrac{3x}{4} - \cfrac{1}{4} \right) - \cfrac{3}{8}(3x - 2)

1Brüche durch Ausmultiplizieren vereinfachen

 

\begin{array}{rcl} 6 \left( \cfrac{x + 1}{8} - \cfrac{2x - 3}{16} \right) & = & 3 \left( \cfrac{3x}{4} - \cfrac{1}{4} \right) - \cfrac{3}{8}(3x - 2) \\\\ \cfrac{6}{8}(x + 1) - \cfrac{6}{16}(2x - 3) & = & \cfrac{9x}{4} - \cfrac{3}{4} - \cfrac{3}{8}(3x - 2) \\\\ \cfrac{3}{4}(x + 1) - \cfrac{3}{8}(2x - 3) & = & \cfrac{9x}{4} - \cfrac{3}{4} - \cfrac{3}{8}(3x - 2) \end{array}

 

2Wir berechnen das kgV(4, 8) der Nenner

 

\begin{array}{rcl} kgV(4, 8) & = & kgV(2^2, 2^3) \\\\ & = & 2^3 \\\\ & = & 8 \end{array}

 

3Wir multiplizieren beide Seiten der Gleichung mit dem kgV(4, 8)

 

\begin{array}{rcl} \left( \cfrac{3}{4}(x + 1) - \cfrac{3}{8}(2x - 3) \right)(8) & = & \left( \cfrac{9x}{4} - \cfrac{3}{4} - \cfrac{3}{8}(3x - 2) \right) (8) \\\\ 6(x + 1) - 3(2x - 3) & = & 2(9x) - 2(3) - 3(3x - 2) \\\\ 6x + 6 - 6x + 9 & = & 18x - 6 - 9x + 6 \end{array}

 

4Wir addieren und subtrahieren auf beiden Seiten der Gleichung

 

\begin{array}{rcl} 6x + 6 - 6x + 9 & = & 18x - 6 - 9x + 6 \\\\ 15 & = & 9x \end{array}

 

5Um x zu bestimmen, multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung mit \cfrac{1}{9} und vereinfachen sie

 

\begin{array}{rcl} 15 & = & 9x \\\\ 15 \left ( \cfrac{1}{9} \right ) & = & 9x \left ( \cfrac{1}{9} \right ) \\\\ \cfrac{5}{3} & = & x \end{array}

 

Somit ist die Lösung der Gleichung x = \cfrac{5}{3}

 

5Löse folgende Gleichung:

\cfrac{4}{x - 3} = \cfrac{5}{x - 2}

1Wir multiplizieren beide Seiten der Gleichung mit x - 3 y x - 2 und vereinfachen sie

 

\begin{array}{rcl} \cfrac{4}{x - 3} (x - 3) (x - 2) & = & \cfrac{5}{x - 2} (x - 3) (x - 2) \\\\ 4(x - 2)  & = & 5 (x - 3) \end{array}

 

2Ausmultiplizieren

 

\begin{array}{rcl} 4(x - 2)  & = & 5 (x - 3) \\\\ 4x - 8 & = & 5x - 15 \end{array}

 

3Wir subtrahieren 4x und addieren 15 auf beiden Seiten der Gleichung

 

\begin{array}{rcl} 4x - 8 & = & 5x - 15 \\\\ 4x - 8 - 4x + 15 & = & 5x - 15 - 4x + 15 \\\\ 7 & = & x \end{array}

 

Somit ist die Lösung der Gleichung x = 7

 

6Löse folgende Gleichung:

2 - \left[ -2(x + 1) - \cfrac{x - 3}{2} \right] = \cfrac{2x}{3} - \cfrac{5x - 3}{12} + 3x

1Wir lösen die eckigen Klammern auf

 

\begin{array}{rcl} 2 - \left[ -2(x + 1) - \cfrac{x - 3}{2} \right] & = & \cfrac{2x}{3} - \cfrac{5x - 3}{12} + 3x \\\\ 2 + 2(x + 1) + \cfrac{x - 3}{2} & = & \cfrac{2x}{3} - \cfrac{5x - 3}{12} + 3x \end{array}

 

2Wir berechnen das kgV(2, 3 , 12) der Nenner

 

\begin{array}{rcl} kgV(2, 3 , 12)  & = & kgV(2, 3 , 2^2 \cdot 3) \\\\ & = & 2^2 \cdot 3 \\\\ & = & 12 \end{array}

 

3Wir multiplizieren beide Seiten der Gleichung mit dem kgV(2, 3, 12)

 

\begin{array}{rcl} \left( 2 + 2(x + 1) + \cfrac{x - 3}{2} \right) (12) & = & \left( \cfrac{2x}{3} - \cfrac{5x - 3}{12} + 3x \right) (12) \\\\ 24 + 24(x + 1) + 6(x - 3) & = & 8x - (5x - 3) + 36x \\\\ 24 + 24x + 24 + 6x - 18 & = & 8x - 5x + 3 + 36x \end{array}

 

4Wir addieren und subtrahieren

 

\begin{array}{rcl} 24 + 24x + 24 + 6x - 18 & = & 8x - 5x + 3 + 36x \\\\ 30x + 30 & = & 39x + 3 \end{array}

 

5Wir subtrahieren 30x und 3 auf beiden Seiten der Gleichung

 

\begin{array}{rcl} 30x + 30 & = & 39x + 3 \\\\ 30x + 30 - 30x - 3 & = & 39x + 3 - 30x - 3 \\\\ 27 & = & 9x \end{array}

 

6Wir multiplizieren beide Seiten der Gleichung mit \cfrac{1}{9}

 

\begin{array}{rcl} 27 \left( \cfrac{1}{9} \right) & = & 9x \left( \cfrac{1}{9} \right) \\\\ 3 & = & x \end{array}

 

Somit ist die Lösung der Gleichung x = 3

 

7Löse folgende Gleichung:

7x^2 +21x - 28 = 0

1Um die Wurzeln der Gleichung zweiten Grades zu bestimmen, wenden wir die Formel an

 

\begin{array}{rcl} x & = & \cfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\\\ & = & \cfrac{-(21) \pm \sqrt{(21)^2 - 4(7)(-28)}}{2(7)} \\\\ & = & \cfrac{-21 \pm \sqrt{1225}}{14} \\\\ & = & \cfrac{-21 \pm 35}{14} \end{array}

 

Somit ergibt sich

 

x_1 = \cfrac{-21 + 35}{14} = 1

 

x_2 = \cfrac{-21 - 35}{14} = -4

 

2Durch die Wurzelrechnung erhalten wir x = 1 und x = -4 als Lösungen für die Gleichung

 

8Löse folgende Gleichung:

-x^2 + 4x - 7 = 0

1Um die Wurzeln der Gleichung zweiten Grades zu bestimmen, wenden wir die Formel an

 

\begin{array}{rcl} x & = & \cfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\\\ & = & \cfrac{-(4) \pm \sqrt{(4)^2 - 4(-1)(-7)}}{2(-1)} \\\\ & = & \cfrac{-4 \pm \sqrt{-12}}{14} \end{array}

 

Da es nicht möglich ist, die Wurzel einer negativen Zahl zu bestimmen, kommen wir zu dem Schluss, dass die Gleichung keine Lösung hat

 

9Löse folgende Gleichung:

12x^2 - 3x = 0

1Um die Wurzeln der Gleichung zweiten Grades zu bestimmen, wenden wir die Formel an

 

\begin{array}{rcl} x & = & \cfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\\\ & = & \cfrac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(12)(0)}}{2(12)} \\\\ & = & \cfrac{3 \pm \sqrt{9}}{24} \\\\ & = & \cfrac{3 \pm 3}{24} \end{array}

 

Somit ergibt sich

 

x_1 = \cfrac{3 + 3}{24} = \cfrac{1}{4}

 

x_2 = \cfrac{3 - 3}{24} = 0

 

2Durch die Wurzelrechnung erhalten wir x = 0 und x = \cfrac{1}{4} als Lösungen für die Gleichung

 

10Löse folgende Gleichung:

4x^2 - 16 = 0

1Um die Wurzeln der Gleichung zweiten Grades zu bestimmen, wenden wir die Formel an

 

\begin{array}{rcl} x & = & \cfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\\\ & = & \cfrac{-(0) \pm \sqrt{(0)^2 - 4(4)(-16)}}{2(4)} \\\\ & = & \cfrac{0 \pm \sqrt{256}}{8} \\\\ & = & \cfrac{\pm 16}{8} \end{array}

 

Somit ergibt sich

 

x_1 = \cfrac{0 + 16}{8} = 2

 

x_2 = \cfrac{0 - 16}{8} = -2

 

2Durch die Wurzelrechnung erhalten wir x = -2 und x = 2 als Lösungen für die Gleichung

 

Anwendungsaufgaben

 

11Ein Vater ist 35 Jahre alt, sein Sohn 5. In wie vielen Jahren ist der Vater genau dreimal so alt wie sein Sohn?

1Der Vater ist 35 Jahre alt, sein Sohn 5.  x steht für die Jahre, die vergehen müssen, bis die gegebene Bedingung erfüllt wird

 

2Die Bedingung drücken wir in Form einer Gleichung aus

 

\begin{array}{rcl} 35 + x & = & 3 (5 + x) \end{array}

 

3Ausmultiplizieren

 

\begin{array}{rcl} 35 + x & = & 3 (5 + x) \\\\ 35 + x & = & 15 + 3x \end{array}

 

4Wir subtrahieren 3x und 35 auf beiden Seiten der Gleichung

 

\begin{array}{rcl} 35 + x - 3x - 35 & = & 15 + 3x - 3x - 35 \\\\ -2x & = & -20 \end{array}

 

5Um x zu bestimmen, multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung mit -\cfrac{1}{2} und vereinfachen sie

 

\begin{array}{rcl} -2x \left( -\cfrac{1}{2} \right) & = & -20 \left( -\cfrac{1}{2} \right) \\\\ x & = & 10 \end{array}

 

6In 10 Jahren ist der Vater genau dreimal so alt wie sein Sohn.

 

 

12Wenn man vom doppelten Wert einer Zahl die Hälfte subtrahiert, ist das Ergebnis 54. Was ist die gesuchte Zahl?

1Da wir die gesuchte Zahl nicht kennen, benennen wir sie mit x

 

2Die Bedingung drücken wir in Form einer Gleichung aus

\begin{array}{rcl} 2x - \cfrac{x}{2} & = & 54 \end{array}

 

3Ausmultiplizieren auf beiden Seiten der Gleichung

 

\begin{array}{rcl} \left( 2x - \cfrac{x}{2} \right) (2) & = & 54 (2) \\\\  4x - x & = & 108 \\\\ 3x & = & 108 \end{array}

 

4Wir multiplizieren beide Seiten der Gleichung mit \cfrac{1}{3}

 

\begin{array}{rcl} 3x \left( \cfrac{1}{3} \right) & = & 108 \left( \cfrac{1}{3} \right) \\\\ x & = & 36 \end{array}

 

5Die gesuchte Zahl ist x = 36

 

13Ein Rechteck ist doppelt so breit wie hoch. Was sind die Maße des Rechtecks, wenn sein Umfang 30 cm beträgt?

1Die Höhe des Rechtecks stellen wir mit x dar. Daraus ergibt sich eine Breite von 2x

 

2Für den Umfang stellen wir eine Gleichung auf

 

\begin{array}{rcl} 2(x) + 2(2x) & = & 30 \end{array}

 

3Ausmultiplizieren und addieren

 

\begin{array}{rcl} 2(x) + 2(2x) & = & 30 \\\\ 2x + 4x & = & 30 \\\\ 6x & = & 30 \end{array}

 

4Wir multiplizieren beide Seiten der Gleichung mit \cfrac{1}{6}

 

\begin{array}{rcl} 6x \left( \cfrac{1}{6} \right) & = & 30 \left( \cfrac{1}{6} \right) \\\\ x & = & 5 \end{array}

 

5Für die Höhe gilt x = 5 \, cm und für die Breite gilt 2x = 10 \, cm

 

14Auf einer Feier sind doppelt so viele Frauen wie Männer und dreimal so viele Kinder wie Männer und Frauen zusammen. Wie viele Männer, Frauen und Kinder sind auf der Feier anwesend, wenn insgesamt 96 Personen teilnehmen?

1Die Anzahl der Männer stellen wir mit x dar, daraus ergibt sich die Anzahl der Frauen mit 2x und die Anzahl der Kinder mit 3(x + 2x)

 

2Die Bedingung drücken wir in Form einer Gleichung aus

 

\begin{array}{rcl} x + 2x + 3(x + 2x) & = & 96 \end{array}

 

3Ausmultiplizieren und addieren

 

\begin{array}{rcl} x + 2x + 3(x + 2x) & = & 96 \\\\ x + 2x + 3x + 6x & = & 96 \\\\ 12x & = & 96 \end{array}

 

4Wir multiplizieren beide Seiten der Gleichung mit \cfrac{1}{12}

 

\begin{array}{rcl} 12x \left( \cfrac{1}{12} \right) & = & 96 \left( \cfrac{1}{12} \right) \\\\ x & = & 8 \end{array}

 

5Die Anzahl der Männer beträgt x = 8, die Anzahl der Frauen 2x = 16 und die der Kinder 3(x + 2x) = 72

 

15Von einem Ölkannister wurden \cfrac{7}{8} verbraucht. 38 \, l wurden wieder aufgefüllt und der Kannister ist nun zu \cfrac{3}{5} voll. Berechne das Fassungsvermögen des Kannisters.

1Das Fassungsvermögen benennen wir mit x und da \cfrac{7}{8} seinen Fassungsvermögens verbraucht wurden, bleibt

 

\begin{array}{rcl} x - \cfrac{7x}{8} & = & \cfrac{x}{8} \end{array}

 

2 38 \, l werden wieder aufgefüllt und wir stellen die zweite Bedingung in Form einer Gleichung dar

 

\begin{array}{rcl} \cfrac{x}{8} + 38 & = & \cfrac{3x}{5} \end{array}

 

3Wir multiplizieren beide Seiten der Gleichung mit dem kgV(8, 5) = 40

 

\begin{array}{rcl} \left( \cfrac{x}{8} + 38 \right) (40) & = & \cfrac{3x}{5} (40) \\\\  5x + 1520 & = & 24x \end{array}

 

4Wir subtrahieren 24x und 1520 auf beiden Seiten der Gleichung

 

\begin{array}{rcl} 5x + 1520 - 24x - 1520 & = & 24x - 24x - 1520 \\\\ -19x & = & -1520 \end{array}

 

5Wir multiplizieren beide Seiten der Gleichung mit -\cfrac{1}{19}

 

\begin{array}{rcl} -19x \left( -\cfrac{1}{19} \right) & = & -1520 \left( -\cfrac{1}{19} \right) \\\\ x & = & 80 \end{array}

 

6Der Kannister hat ein Fassungsvermögen von x = 80 \, l

 

16Auf einem Bauernhof leben Schweine und Puten. Insgesamt gibt es 35 Köpfe und 116 Beine. Wie viele Schweine und Puten gibt es dort?

1Die Anzahl der Köpfe der Schweine benennen wir mit x und da es insgesamt 35 Köpfe gibt, ergibt sich somit für die Anzahl der Köpfe der Puten 35 - x

 

2Nun legen wir die Bedingung für die Anzahl der Beine fest. Dabei ist zu beachten, dass Schweine 4 Beine haben, Puten 2.

 

\begin{array}{rcl} 4x + 2(35 - x) & = & 116 \end{array}

 

3Wir multiplizieren und addieren

 

\begin{array}{rcl} 4x + 2(35 - x) & = & 116 \\\\ 4x + 70 - 2x & = & 116 \\\\ 2x + 70 & = & 116 \end{array}

 

4Wir subtrahieren 70 auf beiden Seiten der Gleichung

 

\begin{array}{rcl} 2x + 70 & = & 116 \\\\ 2x + 70 - 70 & = & 116 - 70 \\\\ 2x & = & 46 \end{array}

 

5Wir multiplizieren beide Seiten der Gleichung mit \cfrac{1}{2}

 

\begin{array}{rcl} 2x \left( \cfrac{1}{2} \right) & = & 46 \left( \cfrac{1}{2} \right) \\\\ x & = & 23 \end{array}

 

6Die Anzahl der Schweine beträgt x = 23 und die Anzahl der Puten beträgt 35 - 23 = 12.

 

17Luis macht eine Reise mit dem Auto, das dabei 20 \, l Benzin verbraucht. Die Strecke legt er in zwei Abschnitten zurück: Beim ersten verbraucht das Auto  \cfrac{2}{3} des Benzins, das noch im Tank war. Beim zweiten Abschnitt verbaucht das Auto die Hälfte des noch übrig gebliebenen Benzins. Wie viele Liter Benzin waren im Tank und wie viele Liter Benzin werden auf jedem Abschnitt der Strecke verbraucht?

1Die Anzahl der Liter Benzin im Tank benennen wir mit x

 

2Für den ersten Streckenabschnitt legen wir fest \cfrac{2x}{3}

 

3Für den zweiten Streckenabschnitt legen wir fest

 

\begin{array}{rcl} \cfrac{1}{2} \left( x - \cfrac{2x}{3} \right) & = & \cfrac{1}{2}  \left( \cfrac{x}{3} \right) \\\\   & = & \cfrac{x}{6}  \end{array}

 

4Um die Menge an Benzin, das im Tank war, zu bestimmen, addieren wir den Verbrauch beider Streckenabschnitte. Dieser liegt ingesamt bei  20 \, l

 

\begin{array}{rcl} \cfrac{2x}{3} + \cfrac{x}{6} & = & 20  \end{array}

 

5Wir multiplizieren beide Seiten der Gleichung mit 6

 

\begin{array}{rcl} \left( \cfrac{2x}{3} + \cfrac{x}{6} \right)(6) & = & 20 (6) \\\\ 4x + x & = & 120 \\\\ 5x & = & 120 \end{array}

 

6Wir multiplizieren beide Seiten der Gleichung mit \cfrac{1}{5}

 

\begin{array}{rcl} 5x \left( \cfrac{1}{5} \right) & = & 120 \left( \cfrac{1}{5} \right)  \\\\ x & = & 24 \end{array}

 

Somit ergibt sich, dass 24 \, l im Tank waren

 

Auf dem ersten Abschnitt verbraucht das Auto \cfrac{2x}{3} = \cfrac{2(24)}{3} = 16 \, l, auf dem zweiten Abschnitt \cfrac{x}{6} = \cfrac{24}{6} = 4 \, l

 

18Anna geht in einen Buchladen und kauft mit einem Drittel ihres Geldes ein Buch und einen Comic mit den übrigen zwei Dritteln ihres Geldes. Anna bleiben dann noch 12€. Wie viel Geld hatte Anna am Anfang?

1Den Gesamtbetrag benennen wir mit x

 

2Für das Buch legen wir fest

 

\cfrac{x}{3}

 

3Für den Comic legen wir fest

 

\begin{array}{rcl} \cfrac{2}{3} \left( x - \cfrac{x}{3} \right) & = & \cfrac{2}{3} \left( \cfrac{2x}{3} \right) \\\\ & = & \cfrac{4x}{9} \end{array}

 

4Um Annas Anfangsbetrag zu berechnen, addieren wir die Ausgaben für das Buch und den Comic mit dem Betrag, der ihr noch übrig bleibt.

 

\begin{array}{rcl} \cfrac{x}{3} + \cfrac{4x}{9} + 12 & = & x \end{array}

 

5Wir multiplizieren beide Seiten der Gleichung mit 9 und fassen zusammen

 

\begin{array}{rcl} \left( \cfrac{x}{3} + \cfrac{4x}{9} + 12 \right)(9) & = & x (9) \\\\ 3x + 4x + 108 & = & 9x \\\\ 7x + 108 & = & 9x \end{array}

 

6Wir subtrahieren 108 und 9x auf beiden Seiten der Gleichung

 

\begin{array}{rcl} 7x + 108 - 9x - 108 & = & 9x - 9x - 108 \\\\ -2x & = & -108 \end{array}

 

7Wir multiplizieren beide Seiten der Gleichung mit -\cfrac{1}{2}

 

\begin{array}{rcl} -2x \left( -\cfrac{1}{2} \right) & = & -108 \left( -\cfrac{1}{2} \right) \\\\ x & = & 54 \end{array}

 

Somit hatte Anna am Anfang 54

 

19Ein LKW verlässt eine Stadt mit 40 km/h. Eine Stunde später verlässt ein PKW mit 60 km/h diese Stadt und fährt in die selbe Richtung wie der LKW. An welchem Zeitpunkt holt der PKW den LKW ein?

1Die Zeit, die der LKW benötigt, benennen wir mit t. Die Zeit für das Auto benennen wir mit t - 1

 

2Beide Fahrzeuge legen die selbe Strecke zurück, deshalb gilt

 

40 t = 60 (t - 1)

 

3Ausmultiplizieren

 

\begin{array}{rcl} 40 t & = & 60(t - 1) \\\\ 40 t& = & 60 t - 60 \end{array}

 

4Wir subtrahieren 60t auf beiden Seiten der Gleichung

 

\begin{array}{rcl} 40 t - 60 t& = & 60 t - 60 - 60t \\\\  -20 t & = & -60 \end{array}

 

5Wir multiplizieren beide Seiten der Gleichung mit -\cfrac{1}{20}

 

\begin{array}{rcl} -20t \left( -\cfrac{1}{20} \right) & = & -60 \left( -\cfrac{1}{20} \right) \\\\ t & = & 3 \end{array}

 

Somit dauert es für den LKW  3 \, h , bis ihn das Auto einholt. Für das Auto dauert es 2 \, h, bis es den LKW einholt.

 

20Eine Zahl besteht aus zwei aufeinanderfolgenden Ziffern. Die größere Ziffer ist den Zehnern zuzuordnen, die kleinere Ziffer den Einern. Die Zahl entspricht der Summe der Ziffern, multipliziert mit sechs. Wie lautet die Zahl?

1Die Ziffer aus den Einern benennen wir mit x. Da es sich um zwei aufeinanderfolgende Ziffern handelt, entspricht die Ziffer aus den Zehnern x + 1

 

2 Wenn wir eine Zahl haben, die aus zwei Ziffern besteht, zum Beispiel 65, können wir diese wie folgt zerlegen:

 

65 = 60 \cdot 10 + 5

 

3Unsere Zahl aus zwei Ziffern entspricht (x + 1) \cdot 10 + x, womit sich ergibt

 

\begin{array}{rcl} (x + 1) \cdot 10 + x & = & 6(x + 1 + x) \\\\ 11x + 10 & = & 12x + 6 \end{array}

 

4Wir subtrahieren 12 x und 10 auf beiden Seiten der Gleichung

 

\begin{array}{rcl} 11x + 10 - 12x - 10 & = & 12x + 6  - 12x - 10 \\\\ -x & = & -4 \end{array}

 

5Wir multiplizieren beide Seiten der Gleichung mit -1 und erhalten x = 4

 

6Somit ist die gesuchte Zahl

 

\begin{array}{rcl}(x + 1) \cdot 10 + x & = & (4 + 1) \cdot 10 + 4 \\\\  & = & 54 \end{array}

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Eva