Aufgaben zu linearen Gleichungen
1Löse folgende Gleichung:
1Auflösen der Klammern auf beiden Seiten der Gleichung durch Ausmultiplizieren
2Wir fassen Terme durch Addition und Subtraktion auf beiden Seiten der Gleichung zusammen
3Um 
zu bestimmen, addieren wir beide Seiten der Gleichung zunächst mit 
und vereinfachen sie
4 Um den Wert für zu erhalten, multiplizieren wir jetzt beide Seiten der Gleichung mit 
und vereinfachen sie
Somit ist die Lösung der Gleichung 
2Löse folgende Gleichung:
1Ausmultiplizieren
2Wir fassen Terme durch Addition und Subtraktion auf beiden Seiten der Gleichung zusammen
3Um zu bestimmen, substrahieren wir zunächst und 
auf beiden Seiten der Gleichung und vereinfachen sie
4Um zu bestimmen, multiplizieren wir jetzt beide Seiten der Gleichung mit 
und vereinfachen sie
Somit ist die Lösung der Gleichung 
3Löse folgende Gleichung:
1Wir berechnen das 
2Wir multiplizieren beide Seiten der Gleichung mit dem
3Wir fassen Terme durch Addition und Subtraktion auf beiden Seiten der Gleichung zusammen
4Um zu bestimmen, subtrahieren wir zunächst 
und addieren 
auf beiden Seiten der Gleichung und vereinfachen sie
5Um zu bestimmen, multiplizieren wir jetzt beide Seiten der Gleichung mit und vereinfachen sie
Somit ist die Lösung der Gleichung 
4Löse folgende Gleichung:
1Brüche durch Ausmultiplizieren vereinfachen
2Wir berechnen das 
der Nenner
3Wir multiplizieren beide Seiten der Gleichung mit dem
4Wir addieren und subtrahieren auf beiden Seiten der Gleichung
5Um zu bestimmen, multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung mit 
und vereinfachen sie
Somit ist die Lösung der Gleichung 
5Löse folgende Gleichung:
1Wir multiplizieren beide Seiten der Gleichung mit 
y 
und vereinfachen sie
2Ausmultiplizieren
3Wir subtrahieren und addieren 
auf beiden Seiten der Gleichung
Somit ist die Lösung der Gleichung
6Löse folgende Gleichung:
![2 - \left[ -2(x + 1) - \cfrac{x - 3}{2} \right] = \cfrac{2x}{3} - \cfrac{5x - 3}{12} + 3x](https://www.superprof.de/lernplattform/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7618bb3264b7aa05ba915201e1831b97_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
1Wir lösen die eckigen Klammern auf
![\begin{array}{rcl} 2 - \left[ -2(x + 1) - \cfrac{x - 3}{2} \right] & = & \cfrac{2x}{3} - \cfrac{5x - 3}{12} + 3x \\\\ 2 + 2(x + 1) + \cfrac{x - 3}{2} & = & \cfrac{2x}{3} - \cfrac{5x - 3}{12} + 3x \end{array}](https://www.superprof.de/lernplattform/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a6c5f4e9ada7b4eed83d5673b95b2e55_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
2Wir berechnen das 
der Nenner
3Wir multiplizieren beide Seiten der Gleichung mit dem 
4Wir addieren und subtrahieren
5Wir subtrahieren 
und 
auf beiden Seiten der Gleichung
6Wir multiplizieren beide Seiten der Gleichung mit
Somit ist die Lösung der Gleichung 
7Löse folgende Gleichung:
1Um die Wurzeln der Gleichung zweiten Grades zu bestimmen, wenden wir die Formel an
Somit ergibt sich
2Durch die Wurzelrechnung erhalten wir und 
als Lösungen für die Gleichung
8Löse folgende Gleichung:
1Um die Wurzeln der Gleichung zweiten Grades zu bestimmen, wenden wir die Formel an
Da es nicht möglich ist, die Wurzel einer negativen Zahl zu bestimmen, kommen wir zu dem Schluss, dass die Gleichung keine Lösung hat
9Löse folgende Gleichung:
1Um die Wurzeln der Gleichung zweiten Grades zu bestimmen, wenden wir die Formel an
Somit ergibt sich
2Durch die Wurzelrechnung erhalten wir 
und 
als Lösungen für die Gleichung
10Löse folgende Gleichung:
1Um die Wurzeln der Gleichung zweiten Grades zu bestimmen, wenden wir die Formel an
Somit ergibt sich
2Durch die Wurzelrechnung erhalten wir 
und 
als Lösungen für die Gleichung
Anwendungsaufgaben
11Ein Vater ist 35 Jahre alt, sein Sohn 5. In wie vielen Jahren ist der Vater genau dreimal so alt wie sein Sohn?
1Der Vater ist 35 Jahre alt, sein Sohn 5. steht für die Jahre, die vergehen müssen, bis die gegebene Bedingung erfüllt wird
2Die Bedingung drücken wir in Form einer Gleichung aus
3Ausmultiplizieren
4Wir subtrahieren 
und 
auf beiden Seiten der Gleichung
5Um zu bestimmen, multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung mit und vereinfachen sie
6In 
Jahren ist der Vater genau dreimal so alt wie sein Sohn.
12Wenn man vom doppelten Wert einer Zahl die Hälfte subtrahiert, ist das Ergebnis 54. Was ist die gesuchte Zahl?
1Da wir die gesuchte Zahl nicht kennen, benennen wir sie mit
2Die Bedingung drücken wir in Form einer Gleichung aus
3Ausmultiplizieren auf beiden Seiten der Gleichung
4Wir multiplizieren beide Seiten der Gleichung mit 
5Die gesuchte Zahl ist 
13Ein Rechteck ist doppelt so breit wie hoch. Was sind die Maße des Rechtecks, wenn sein Umfang 30 cm beträgt?
1Die Höhe des Rechtecks stellen wir mit dar. Daraus ergibt sich eine Breite von 
2Für den Umfang stellen wir eine Gleichung auf
3Ausmultiplizieren und addieren
4Wir multiplizieren beide Seiten der Gleichung mit 
5Für die Höhe gilt 
und für die Breite gilt 
14Auf einer Feier sind doppelt so viele Frauen wie Männer und dreimal so viele Kinder wie Männer und Frauen zusammen. Wie viele Männer, Frauen und Kinder sind auf der Feier anwesend, wenn insgesamt 96 Personen teilnehmen?
1Die Anzahl der Männer stellen wir mit dar, daraus ergibt sich die Anzahl der Frauen mit und die Anzahl der Kinder mit 
2Die Bedingung drücken wir in Form einer Gleichung aus
3Ausmultiplizieren und addieren
4Wir multiplizieren beide Seiten der Gleichung mit 
5Die Anzahl der Männer beträgt 
, die Anzahl der Frauen 
und die der Kinder 
15Von einem Ölkannister wurden 
verbraucht. 
wurden wieder aufgefüllt und der Kannister ist nun zu 
voll. Berechne das Fassungsvermögen des Kannisters.
1Das Fassungsvermögen benennen wir mit und da seinen Fassungsvermögens verbraucht wurden, bleibt
2 werden wieder aufgefüllt und wir stellen die zweite Bedingung in Form einer Gleichung dar
3Wir multiplizieren beide Seiten der Gleichung mit dem 
4Wir subtrahieren 
und 
auf beiden Seiten der Gleichung
5Wir multiplizieren beide Seiten der Gleichung mit 
6Der Kannister hat ein Fassungsvermögen von 
16Auf einem Bauernhof leben Schweine und Puten. Insgesamt gibt es 35 Köpfe und 116 Beine. Wie viele Schweine und Puten gibt es dort?
1Die Anzahl der Köpfe der Schweine benennen wir mit und da es insgesamt 35 Köpfe gibt, ergibt sich somit für die Anzahl der Köpfe der Puten 
2Nun legen wir die Bedingung für die Anzahl der Beine fest. Dabei ist zu beachten, dass Schweine 4 Beine haben, Puten 2.
3Wir multiplizieren und addieren
4Wir subtrahieren 
auf beiden Seiten der Gleichung
5Wir multiplizieren beide Seiten der Gleichung mit 
6Die Anzahl der Schweine beträgt 
und die Anzahl der Puten beträgt 
.
17Luis macht eine Reise mit dem Auto, das dabei 
Benzin verbraucht. Die Strecke legt er in zwei Abschnitten zurück: Beim ersten verbraucht das Auto 
des Benzins, das noch im Tank war. Beim zweiten Abschnitt verbaucht das Auto die Hälfte des noch übrig gebliebenen Benzins. Wie viele Liter Benzin waren im Tank und wie viele Liter Benzin werden auf jedem Abschnitt der Strecke verbraucht?
1Die Anzahl der Liter Benzin im Tank benennen wir mit
2Für den ersten Streckenabschnitt legen wir fest 
3Für den zweiten Streckenabschnitt legen wir fest
4Um die Menge an Benzin, das im Tank war, zu bestimmen, addieren wir den Verbrauch beider Streckenabschnitte. Dieser liegt ingesamt bei 
5Wir multiplizieren beide Seiten der Gleichung mit 
6Wir multiplizieren beide Seiten der Gleichung mit 
Somit ergibt sich, dass 
im Tank waren
Auf dem ersten Abschnitt verbraucht das Auto 
, auf dem zweiten Abschnitt 
18Anna geht in einen Buchladen und kauft mit einem Drittel ihres Geldes ein Buch und einen Comic mit den übrigen zwei Dritteln ihres Geldes. Anna bleiben dann noch 12€. Wie viel Geld hatte Anna am Anfang?
1Den Gesamtbetrag benennen wir mit
2Für das Buch legen wir fest
3Für den Comic legen wir fest
4Um Annas Anfangsbetrag zu berechnen, addieren wir die Ausgaben für das Buch und den Comic mit dem Betrag, der ihr noch übrig bleibt.
5Wir multiplizieren beide Seiten der Gleichung mit 
und fassen zusammen
6Wir subtrahieren 
und 
auf beiden Seiten der Gleichung
7Wir multiplizieren beide Seiten der Gleichung mit
Somit hatte Anna am Anfang 
€
19Ein LKW verlässt eine Stadt mit 40 km/h. Eine Stunde später verlässt ein PKW mit 60 km/h diese Stadt und fährt in die selbe Richtung wie der LKW. An welchem Zeitpunkt holt der PKW den LKW ein?
1Die Zeit, die der LKW benötigt, benennen wir mit 
. Die Zeit für das Auto benennen wir mit 
2Beide Fahrzeuge legen die selbe Strecke zurück, deshalb gilt
3Ausmultiplizieren
4Wir subtrahieren 
auf beiden Seiten der Gleichung
5Wir multiplizieren beide Seiten der Gleichung mit 
Somit dauert es für den LKW 
, bis ihn das Auto einholt. Für das Auto dauert es 
, bis es den LKW einholt.
20Eine Zahl besteht aus zwei aufeinanderfolgenden Ziffern. Die größere Ziffer ist den Zehnern zuzuordnen, die kleinere Ziffer den Einern. Die Zahl entspricht der Summe der Ziffern, multipliziert mit sechs. Wie lautet die Zahl?
1Die Ziffer aus den Einern benennen wir mit . Da es sich um zwei aufeinanderfolgende Ziffern handelt, entspricht die Ziffer aus den Zehnern 
2 Wenn wir eine Zahl haben, die aus zwei Ziffern besteht, zum Beispiel 
, können wir diese wie folgt zerlegen:
3Unsere Zahl aus zwei Ziffern entspricht 
, womit sich ergibt
4Wir subtrahieren 
und auf beiden Seiten der Gleichung
5Wir multiplizieren beide Seiten der Gleichung mit 
und erhalten 
6Somit ist die gesuchte Zahl
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