Das Gauß-Verfahren besteht darin, die Reduktionsmethode so anzuwenden, dass du in jeder Gleichung eine Unbekannte weniger hast als in der vorhergehenden Gleichung. Nimm das folgende Gleichungssystem und löse es schrittweise mit der Gaußschen Methode:

 

\left\{\begin{matrix} 3x+2y+z=1\\ 5x+3y+4z=2\\ x+y-z=1 \end{matrix}\right.

 

1 Setze als erste Gleichung diejenige mit dem Koeffizienten von x ein: 1 oder -1, wenn dies nicht möglich ist, machst du es mit y oder z, wobei sich die Reihenfolge der Unbekannten ändert.

 

 

\left\{\begin{matrix} x+y-z=1\\ 3x+2y+z=1\\ 5x+3y+4z=2 \end{matrix}\right.

 

 

2 Führe eine Reduktion mit der Gleichung 1^{a} und 2^{a} durch, um x in der Gleichung 2^{a} zu eliminieren. Dann setzt du als zweite Gleichung das Ergebnis der Berechnung ein:

 

 

{E}'_{2}={E}'_{2}-3{E}'_{1}

 

 

\begin{matrix} \;\,3x+2y+z=1\\ -3x-3y+3z=-3\\ \hline \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-y+4z=-2 \end{matrix}

 

 

3 Wiederhole das Ganze mit der Gleichung 1^{a} und 3^{a}, um x zu eliminieren.

 

 

{E}'_{3}={E}'_{3}-5{E}'_{1}

 

 

\begin{matrix} 5x+3y+4z=2\\ -5x-5y+5z=-5\\ \hline \;\;\;\;\;\;\;\;-2y+9z=-3 \end{matrix}

 

 

\left\{\begin{matrix} x+y-z=1\\ \; \; \; \; \; -y+4z=-2\\ \; \; \; \; -2y+9z=-3 \end{matrix}\right.

 

 

4 Nimm die umgeformten Gleichungen 2^{a} und 3^{a}, zur Reduktion und eliminiere den Term in y.

 

 

{E}''_{3}={E}'_{3}-2{E}'_{2}

 

 

\begin{matrix} -2y+9z=-3\\ 2y-8z=4\\ \hline \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; z=1 \end{matrix}

 

 

5 Du erhältst das äquivalente Gleichungssystem.

 

 

\left\{\begin{matrix} x+y-z=1\\ \;\;\;\;\;-y+4z=-2\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;z=1 \end{matrix}\right.

 

 

6 Finde die Lösungen.

 

z=1

 

-y+4\cdot 1=-2\; \; \; \Rightarrow \; \; \; y=6

 

x+6-1=1\; \; \; \Rightarrow \; \; \; x=-4

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Anna