1Löse die folgenden Gleichungen:

     \begin{align*} 1.\ &7x^2 +21x - 28=0\\ 2. \ &x^2 -4x +4=0\\ 3.\ &12x^2-3x=0\\ 4.\ & 4x^2-16 =0 \end{align*}

1  7x^2 +21x - 28=0

 

Sie kann mit der abc-Formel oder der Faktorisierungsmethode gelöst werden. Wende die Faktorisierungsmethode an:

 

 0=7(x^2+3x-4)=7(x+4)(x-1);

 x_1=-4\qquad x_2=1

 

2 x^2 -4x +4=0

 

Wende die Faktorisierungsmethode an:

 

 0=x^2-4x+4=(x-2)(x-2)=(x-2)^2;

 x_1=x_2=2

 

3 12x^2-3x=0

 

Wende die Faktorisierungsmethode an:

 

 0=3x(4x-1)

     \begin{align*} 3x&=0\quad &4x-1=0; \\ x_1 &= 0 &x_2=\dfrac{1}{4} \end{align*}

 

4 4x^2-16 =0

 

Wende die Faktorisierungsmethode an:

 

 0=4(x^2-4)=4(x-2)(x+2)

 

     \begin{align*} x-2&=0\quad &x+2=0; \\ x_1 &= 2 &x_2=-2 \end{align*}

 

2Löse die folgenden Gleichungen:

     \begin{align*} 1.\ &x^4 +12x^3-64x^2=0\\ 2. \ & \dfrac{3}{x}=1+\dfrac{x-13}{6}\\ \end{align*}

1  x^4 +12x^3-64x^2=0

 

Wende die Faktorisierungsmethode an:

 

 0=x^2(x^2+12x-64)=x^2(x-4)(x+16);

 x_1=x_2=0 \qquad x_3=4 \qquad x_4=-16

 

2 \dfrac{3}{x}=1+\dfrac{x-13}{6}

 

Vereinfache den Bruch auf der rechten Seite der Gleichung mit einem gemeinsamen Nenner und fasse dann die ganze Gleichung zusammen. Wende anschließend die Faktorisierungsmethode an:

 

 \frac{3}{x}=\dfrac{x-7}{6} \Longrightarrow 18=x^2-7x

 0=x^2-7x-18=(x-9)(x+2);

 

 x_1=79\qquad x_2=-2

 

3Löse die folgenden Gleichungen:

     \begin{align*} 1.\ &x^4-61x^2+900=0\\ 2. \ & x^4-25x^2+144=0 \end{align*}

1 x^4-61x^2+900=0

 

Du kannst die Faktorisierungsmethode anwenden, zum Beispiel:

 

     \begin{align*} 0&=(x^2)^2-61(x^2)+900=(x^2-36)(x^2-25)\\ &=(x+6)(x-6)(x+5)(x-5); \end{align*}

 

 x_1=6 \quad x_2=-6 \quad x_3=5 \quad x_4=5

 

2 x^4-25x^2+144=0

 

Wende die Faktorisierungsmethode an:

 

     \begin{align*} 0&=(x^2)^2-25(x^2)+144=(x^2-16)(x^2-9)\\ &=(x-4)(x+4)(x-3)(x+3); \end{align*}

 

 x_1=4 \quad x_2=-4 \quad x_3=3 \quad x_4=-3

4Löse die folgenden Gleichungen:

     \begin{align*} 1.\ &\sqrt{5x+4} -1=2x\\ 2. \ & 3\sqrt{x-1}+11=2x\\ \end{align*}

1 \sqrt{5x+4} -1=2x

 

Löse zuerst die Wurzel der Gleichung auf. Quadriere also beide Seiten der Gleichung und multipliziere die Klammer aus und löse die Gleichung.

 

 \sqrt{5x+4}=2x+1 \Longrightarrow 5x+4=(2x+1)^2

     \begin{align*} 0&=4x^2 +4x+1-5x-4 =4x^2-x-3 \\ &= 4\left(x^2-\dfrac{1}{4}-\dfrac{3}{4} \right)\\ &=4\left(x-1\right)\left( x+\dfrac{3}{4}\right); \end{align*}

 

 x_1=1 \qquad x_2=-\dfrac{3}{4}

 

2  3\sqrt{x-1}+11=2x

 

Löse die Wurzel der Gleichung wird auf. Quadriere dann die beiden Seiten der Gleichung, fasse zusammen und löse mit der abc-Formel.

 

 3\sqrt{x-1}=2x-11 \Longrightarrow 9(x-1)=(2x-11)^2

 

     \begin{align*} 0&=4x^2 -44x+121 -9x+9 =4x^2-53x+130 \end{align*}

 

     \begin{align*} x_{1,2}&=\dfrac{53\pm \sqrt{(-53)^2-4(4)(130)}}{2(4)}=\dfrac{53\pm \sqrt{2809-2080}}{8}\\ &=\dfrac{53\pm \sqrt{729}}{8} = \dfrac{53\pm 27}{8}; \end{align*}

 

 \begin{matrix} \ \ \ \ \ \ x_{1}=\dfrac{53+ 27}{8} \qquad &\ \ \ \ \ x_2=\dfrac{53 - 27}{8}\\ x_1=\dfrac{80}{8} \qquad &\ \ x_2=\dfrac{26}{8}\ \ \ \\ x_1=10 \qquad &x_2=\dfrac{13}{4} \end{matrix}

 

5Finde die Wurzeln von:

     \begin{align*} 1.\ &2x^3-7x^2+8x-3=0\\ 2. \ & x^3-x^2-4=0\\ 3. \ &6x^3+7x^2-9x+2=0 \end{align*}

1 2x^3-7x^2+8x-3=0

 

Verwende die synthetische Division, weil die Gleichung dritten Grades ist. Die Teiler von  -3 sind also  1, -1, 3, +3:

 

 \begin{tabular}{c | c c c c } \ & 2 & -7 & 8 & -3\\ 1 & \ & 2 & -5 & 3\\ \hline \ & 2 & -5 & 3 & 0\\ 1 & \ & 2& -3 &\\ \hline \multicolumn{2}{ r}{2} & -3& 0 \end{tabular}

 

Dann ist die Faktorisierung  (x-1)^2(2x-3)=0 . Daher:

 

 x_1=x_2=1 \qquad x_2=\dfrac{3}{2}

 

2 x^3-x^2-4=0

 

Verwende die synthetische Division, weil die Gleichung dritten Grades ist. Die Teiler von  -4 sind also  1, -1, 2, -2, 4, -4:

 

 \begin{tabular}{c | c c c c } \ & 1 & -1 & 0 & -4\\ 2 & \ & 2 & 2 & \\ \hline \multicolumn{2}{ r}{1} & 1 & 2 & 0\\ \end{tabular}

 

Dann lautet die Faktorisierung  (x-2)(x^2+x+2)=0 . Bei der Berechnung der Diskriminante des quadratischen Trinoms kannst Du feststellen, dass es keine Wurzeln hat, weil das Ergebnis negativ ist. Daher gibt es nur eine Lösung.

 

 1^2-4(2)(2)=1-16=-15<0 \quad \Longrightarrow \quad x=2

 

3 6x^3+7x^2-9x+2=0

 

Verwende die synthetische Division, weil die Gleichung dritten Grades ist. Die Teiler von  2 sind also  1, -1, 2, -2:

 

 \begin{tabular}{c | c c c c } \ & 6 & 7 & -9 & 2\\ -2 & \ & -12 & 10 & -2\\ \hline \multicolumn{2}{ r}{6} & -5 & 1 & 0\\ \end{tabular}

 

Dann lautet die Faktorisierung  (x+2)(6x^2-5x+1)=0 . Löse die quadratische Gleichung mit der abc-Formel:

 

     \begin{align*} x_{2, 3}&=\dfrac{5\pm \sqrt{(5)^2-4(6)(1)}}{2(6)}=\dfrac{5\pm \sqrt{25-24}}{12}\\ &=\dfrac{5\pm 1}{12} \end{align*}

 

 \begin{matrix} x_1=-2&\ \ \ \ \ \ x_{2}=\dfrac{6}{12} \qquad &\ \ \ x_3=\dfrac{4}{12}\\ &\ \ \ x_2=\dfrac{1}{2} \qquad &x_3=\dfrac{1}{3} \end{matrix}

 

6Löse die folgenden Gleichungssysteme: 

     \begin{align*} 1.& \left\{\begin{matrix} 5x-3y-z=1&\\ x+4y-6z=-1& \\ 2x+3y+4z=9& \end{matrix}\right.\\ \ \\ 2.& \left\{\begin{matrix} x+y=7& \\ x\times y=12& \end{matrix}\right.\\ \ \\ 3.& \left\{\begin{matrix} x^2+y^2=169& \\ x+y=17& \end{matrix}\right.\\ \ \\ 4. & \left\{\begin{matrix} y^2-2y+1=x & \\ \sqrt{x}+y=5 & \end{matrix}\right. \end{align*}

1 \left\{\begin{matrix} 5x-3y-z=1&\\ x+4y-6z=-1& \\ 2x+3y+4z=9& \end{matrix}\right.

 

Konstruiere die zum System gehörende Koeffizientenmatrix reduziere die Spalten und Zeilen.

 

 \left ( \begin{array}{ccc|c} 5 & -3 &-1 &1\\ 1 & 4 & -6 &-1\\ 2 & 3 & 4 & 9 \end{array} \right ) \begin{array}{c} \xrightarrow[\textup{F}_3- 2\textup{F}_2]{\textup{F}_1 - 5\textup{F}_2} \end{array} \left ( \begin{array}{ccc|c} 0 & -23& 29 &6\\ 1 & 4& -6 &-1\\ 0 & -5 &16 & 11 \end{array} \right )\\ \ \\ \ \\ \begin{array}{c} \xrightarrow[]{23\textup{F}_3 - 5\textup{F}_1} \end{array} \left ( \begin{array}{ccc|c} 0 & -23& 29 &6\\ 1 & 4& -6 &-1\\ 0 & 0 & 223 & 223 \end{array} \right )

 

Es ergibt sich:  z=1. Übertrage die letzte Matrix in das zugehörige Gleichungssystem, so hast du dann  x=1, y=1:

 

     \begin{align*} y&=\dfrac{6-29}{-23}=\dfrac{-23}{-23}=1\\ x &= -1+6-4=1 \end{align*}

 

2 \left\{\begin{matrix} x+y=7& \\ x\times y=12& \end{matrix}\right.

 

Entferne eine Unbekannte aus der ersten Gleichung und setze das Resultat in die zweite Gleichung ein. Anschließend löst du die quadratische Gleichung.

 

 y=7-x \quad \Longrightarrow \quad 12=x(7-x)=7x-x^2

 0=x^2-7x+12=(x-4)(x-3);

 

 x_1=4\qquad x_2=3 \Longrightarrow y_1=3 \qquad y_2=4

 

3 \left\{\begin{matrix} x^2+y^2=169& \\ x+y=17& \end{matrix}\right.

 

Entferne eine Unbekannte aus der ersten Gleichung und setze das Resultat wird in die zweite Gleichung ein. Löse anschließend die quadratische Gleichung.

 

 y=17-x \quad \Longrightarrow \quad 169=x^2 +(17-x)^2=x^2+x^2 -34x+289

 0=2x^2-34x+120=2(x^2-17+60)=2(x-12)(x-5);

 

 x_1=12\qquad x_2=5 \quad \Longrightarrow\quad y_1=5 \qquad y_2=12

 

4 \left\{\begin{matrix} y^2-2y+1=x & \\ \sqrt{x}+y=5 & \end{matrix}\right.

 

Setze das Ergebnis für x in die zweite Gleichung ein. Quadriere dann beide Teile der Gleichung und löse sie.

 

 \sqrt{y^2-2y+1}+y=5\quad \Longrightarrow\quad \left ( \sqrt{y^2-2y+1} \right )^2=(5-y)^2

 y^2-2y+1=y^2-10y+25\quad \Longrightarrow\quad 8y=24;

 

 y=6 \qquad x=4

 

7Bestimme den Wert von  k, damit die Lösungen der Gleichung  x^2-kx+36=0 den gleichen Wert haben.

Berechne die Diskriminante und setze sie auf Null. Somit ergibt sich eine Doppelwurzel.

 (-k)^2-4(1)(36)=0\ \Longrightarrow\ k^2=144

 

Die möglichen Werte für den Koeffizienten des linearen Terms sind  k_1=12, k_2=-12.

 

8Gesucht ist der Wert von zwei Zahlen, deren Summe fünf ist, und deren Produkt  -84. ist

 0=x^2-5x-84=(x-12)(x+7)\ \Longrightarrow\ x_1=12; x_2=-7

 

Die Zahlenpaare sind 12 y -7.

9Bestimme das Alter von Peter: Du weißt, dass er in 11 Jahren die Hälfte des Quadrats des Alters sein wird, das er vor  13 Jahren hatte.

Wenn  x für das aktuelle Alter steht, war er vor  13 Jahren  x-13 Jahre alt und in   11 Jahren wird er  x+11 sein:

 x+11=\dfrac{(x-13)^2}{2} \ \Longrightarrow \ 2x+22=x^2-26x+169

 

 0=x^2-28x+147=(x-21)(x+7)

 

Daher ist Peter  21 Jahre alt.

 

10Zur Umzäunung eines rechteckigen Grundstücks von  750\ \textup{m}^2 wurde ein Sichtschutznetz von  110\ \textup{m} verwendet. Berechne die Abmessungen des Grundstücks.

Dividiere das verwendete Sichtschutznetz durch zwei, so erhältst du den Halbperimeter des Grundstücks:  55\ \textup{m} . Daher kann das Problem mit den Formeln im Bild modelliert werden:

Aufgabe zu quadratischen Gleichungen

 

 750=x(55-x)=-x^2+55x

 \Longrightarrow\ 0=x^2-55x+750=(x-25)(x-30)

 

Das Grundstück hat Abmessungen von  30\ \textup{m} und  25\ \textup{m} .

 

11Die drei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks sind proportional zu den Zahlen  3, 4,5. Das Dreieck hat einen Flächeninhalt von  24\ \textup{m}^2 . Berechne die Länge jeder Seite des Dreiecks.

Die Seitenmaße des Dreiecks erhält man durch Multiplikation der Seiten des rechtwinkligen Dreiecks im Bild mit dem Faktor  x. Aus der Formel zur Berechnung der Fläche kann dieser Faktor bekannt sein.

Aufgabe zu einer quadratischen Gleichung

 

 24=\dfrac{3x\times 4x}{2}=6x^2\ \Longrightarrow\ x^2=4

 x=\pm 2\ \Longrightarrow \ x=2\ \textup{m}

 

Die Seiten des Dreiecks sind  6\ \textup{m}, 8\ \textup{m} y  210\ \textup{m} .

 

12Ein rechteckiger Garten mit  50\ \textup{m} Länge und  34\ \textup{m} Breite wird von einem Sandweg mit gleichmäßiger Breite umgeben. Berechnen Sie die Breite dieses Sandwegs, wenn er eine Fläche von  540\ \textup{m}^2 hat.

Wenn du eine Breite  x des Sandwegs berücksichtigst, hast du ein größeres Rechteck mit den Abmessungen  50+2x por  34+2x, wie in der Abbildung gezeigt. Nun wird die Fläche des Sandwegs mathematisch ausgedrückt.

Textaufgabe zu quadratischen Gleichungen

 

 750=x(55-x)=-x^2+55x

 \Longrightarrow\ 0=x^2-55x+750=(x-25)(x-30)

 

Daher ist der Weg  3\ \textup{m} lang.

 

13Berechne die Abmessungen eines Rechtecks, dessen Diagonale  75\ \textup{m} misst, wobei Dir bekannt ist, dass es einem anderen Rechteck von  36\ \textup{m} auf  48\ \textup{m} ähnelt.

Da das Rechteck von  36\ \textup{m} auf  48\ \textup{m} dem Rechteck von  3\ \textup{m} auf  4\ \textup{m} ähnelt, wird auch das Rechteck, dessen Diagonale  75\ \textup{m} misst, ähnlich sein. Es wird also angenommen, dass seine Seiten um den Faktor x proportional sind, wie im Bild gezeigt. Der Satz des Pythagoras wird angewendet und der Wert der Unbekannten wird gefunden.

Quadratische Gleichungen lösen mit Textaufgaben

 

 24=\dfrac{3x\times 4x}{2}=6x^2\ \Longrightarrow\ x^2=4

 x=\pm 2\ \Longrightarrow \ x=2\ \textup{m}

 

Daher ist das Rechteck  60\ \textup{m} lang und  45\ \textup{m} breit.

 

14Gesucht wird eine ganze Zahl, deren Summe mit dem Kehrwert  \dfrac{26}{5} ergibt.

 \dfrac{26}{5}=x+\dfrac{1}{x}=\dfrac{x^2+1}{x}\ \Longrightarrow\ 26x=5x^2+5

 0=5x^2-26x+5

 

     \begin{align*} x_{1,2}&=\dfrac{26\pm\sqrt{(-26)^2-4(5)(5)}}{2(5)}\\ &=\dfrac{26\pm\sqrt{676-100}}{10}\\ &=\dfrac{26\pm\sqrt{576}}{10}\\ &=\dfrac{26\pm24}{10} \end{align*}

 

Die gesuchte Zahl ist fünf, weil die zweite Wurzel einen Bruch ergibt.

 

15Berechne zwei natürliche Zahlen, deren Differenz zwei und die Summe ihrer Quadratzahlen  580. ist.

Da die Differenz dieser Zahlen zwei ist, steht x für eine Zahl und  x+2 für die zweite Zahl.

     \begin{align*} x^2+(x+2)^2&=580\\ x^2+x^2+4x+4&=580\\ 2x^2+4x-576&=0\\ 2(x^2+2x-288)&=0\\ 2(x+18)(x-16)&=0 \end{align*}

 

Die gesuchten Zahlen sind 16 und 18.

 

16Zwei Schläuche A und B füllen zusammen ein Schwimmbecken in zwei Stunden. A benötigt allein drei Stunden weniger als B. Berechnen Sie, wie viele Stunden jeder von ihnen braucht, um das Schwimmbecken zu füllen.

Wenn Schlauch A x Stunden braucht, um den Pool zu füllen, braucht Schlauch B  x+3 Stunden, um den Pool zu füllen. Somit wird jede Stunde A  \dfrac{1}{x} Teil des Schwimmbeckens füllen und B  \dfrac{1}{x+3} partes. Teile. Da beide Schläuche gemeinsam das Schwimmbecken vollständig füllen, gilt:

     \begin{align*} 1&=\dfrac{1}{x}+ \dfrac{1}{x}+ \dfrac{1}{x+3}+ \dfrac{1}{x+3}\\ &= \dfrac{2}{x}+ \dfrac{2}{x+3}\\ &= \dfrac{2x+2x+6}{x(x+3)} \end{align*}

 

 x^2+3x=4x+6\ \Longrightarrow\ \ 0=x^2-x-6=(x-3)(x+2)

 

Schlauch A braucht 3 Stunden, um das Schwimmbecken zu füllen, und Schlauch B braucht 6 Stunden.

 

17Gesucht sind zwei Zahlen, deren Produkt vier und die Summe ihrer Quadratzahlen siebzehn ist.

Stelle das Gleichungssystem mit zwei Unbekannten auf und löse es.

 \left\{\begin{matrix} \ x\times y = 4 \\ x^2+y^2 = 17 \end{matrix}\right. \ \Longrightarrow \ y=\dfrac{4}{x}

 

 x^2+\left (\dfrac{4}{x} \right )^2=17\ \Longrightarrow\ x^4+16=17x^2

     \begin{align*} 0&=(x^2)^2-17(x^2)+16\\ &=(x^2-16)(x^2-1) \\ &=(x+4)(x-4)(x+1)(x-1) \end{align*}

 

Die möglichen Zahlenpaare sind 4, 1 und -4, -1 .

 

18Finde einen Bruch, der  \dfrac{5}{7} entspricht und dessen Quadratzahlen  1184 ergeben.

Stelle das Gleichungssystem mit zwei Unbekannten auf und löse es.

 \left\{\begin{matrix} \ \ \ \dfrac{x}{y} = \dfrac{5}{7} \\ x^2+y^2 = 1184 \end{matrix}\right. \ \Longrightarrow \ x=\dfrac{5}{7}y

 

 \left (\dfrac{5}{7}y \right )^2+y^2=1184\ \Longrightarrow\ 25y^2+49y^2=58016

     \begin{align*} 74y^2&=58016\\ &y^2=784 \\ y &=\pm\sqrt{784}=\pm 28 \end{align*}

 

 x=\dfrac{5}{7}(\pm 28)=\pm 20

 

Der Bruch, der die Anforderung erfüllt, ist \dfrac{20}{28} , da in \dfrac{-20}{-28} die negativen Vorzeichen aufgehoben werden und der erste Bruch erhalten wird.

 

19Ein Supermarktkunde hat insgesamt 156 \ \euro für 24 L Milch, 6 kg Schinken und 12 L Olivenöl bezahlt. Berechne den Preis der einzelnen Artikel. Du weißt, dass ein Liter Öl dreimal so viel kostet wie ein Liter Milch und dass ein Kilogramm Schinken dasselbe kostet wie der Kauf von 4 L Öl plus 4 L Milch.

Die Kosten für Milch, Schinken und Olivenöl sind jeweils mit x, y, z gekennzeichnet. Stelle das zugehörige Gleichungssystem auf und löse es.

 \left\{\begin{matrix} 24x+6y+12z =156 \\ \ \qquad \qquad \quad \ z=3x \\ \qquad\ 4x+4z=y \end{matrix}\right.\ \Longrightarrow\ y=16x

 

 156=24x+6(16x)+12(3x)=156x\Longrightarrow x=1

 y= 16\qquad z=3

 

Milch kostet 1 \ \Euro pro Liter, Schinken 16 \ \Euro pro Kilogramm und Olivenöl 3 \ \Euro pro Liter.

 

20Eine Videothek ist auf drei Arten von Filmen spezialisiert: Kinderfilme, amerikanische Western und Horrorfilme. Es ist bekannt, dass:

60 \% der Kinderfilme plus 50 \% der Western machen 30 \% der Gesamtzahl der Filme aus.

20 \% der Kinderfilme plus 60 \% der Western plus 60 \% der Horrorfilme machen die Hälfte der Gesamtzahl der Filme aus.

Ermittle die Anzahl der Filme jedes Typs, wobei du weißt, dass es unter  100 Filmen mehr Western als Kinderfilme gibt.

Kinderfilme, Western und Horrorfilme sind jeweils mit x, y, z gekennzeichnet. Stelle das zugehörige Gleichungssystem auf und löse es.

 \left\{\begin{matrix} \qquad\qquad\ \dfrac{60}{100}x + \dfrac{50}{100}y =\dfrac{30}{100}(x+y+z)\\ \dfrac{20}{100}x+ \dfrac{60}{100}y+ \dfrac{60}{100}z= \dfrac{1}{2}(x+y+z) \\ \ \ \ x+100=y \end{matrix} \right.\

 

Vereinfache das Gleichungssystem und erhalte

 \left\{\begin{matrix} 3x + 2y -3z=0\\ -3x+ y+ z= 0 \\ \ \ \ x+100=y \end{matrix} \right.\ \ \Longrightarrow \ \left\{\begin{matrix} 5x-3z=-200\\ -2x+ z= -100 \end{matrix} \right.\

 

 \begin{matrix} \ \ 5x-3z=-200\\ -6x+ 3z= -300\\ \hline -x\ + \ 0 \ = \ 500\ \end{matrix} \ \Longrightarrow \ x=500

     \begin{align*} y&=500+100=600\\ z&=3(500)-600=900 \end{align*}

 

Die Videothek hat 500 Kinderfilme, 600 Western und 900 Horrorfilme.

 

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Anna