Faktorisierung

 

Faktorisieren: x^2 - 5x + 6

1Löse mit der abc-Formel von quadratischen Gleichungen

 

\begin{array}{rcl} x & = & \cfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}  \\\\  & = & \cfrac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(1)(6)}}{2(1)}  \\\\  & = & \cfrac{5 \pm \sqrt{1}}{2}  \\\\  & = & \cfrac{5 \pm 1}{2}  \end{array}

 

Die Wurzeln sind

 

x_1 = \cfrac{5 + 1}{2} = 3

 

x_2 = \cfrac{5 - 1}{2} = 2

 

2Wenn du die Wurzeln der Gleichung kennst, kannst du sie wie folgt faktorisieren:

 

(x - x_1)(x - x_2)

 

3Die gesuchte Faktorisierung ist also

 

x^2 - 5x + 6 = (x - 3)(x - 2)

 

 

 

Finde den Wert k

 

Bestimme k so, dass in der Gleichung x^2 - kx + 36 = 0 die Wurzeln gleich sind.

1Damit die beiden Wurzeln gleich sind, muss die Diskriminante b^2 - 4ac gleich Null sein. Berechne die Diskriminante

 

\begin{array}{rcl} b^2 - 4ac & = & (-k)^2 - 4(1)(36) \\\\ & = & k^2 - 144 \end{array}

 

2Setze das Ergebnis gleich Null

 

\begin{array}{rcl} k^2 - 144 & = & 0 \\\\  (k - 12)(k + 12) & = & 0 \end{array}

 

3Setze jeden Faktor auf Null und suche die Werte von k damit die Wurzeln gleich sind

 

\begin{array}{rcl} k - 12  =  0 & \Longrightarrow & k = 12 \\\\ k + 12  =  0 & \Longrightarrow & k = -12 \end{array}

 

 

Finde die gesuchten Werte

 

Die Summe von zwei Zahlen ist 5 und ihr Produkt ist -84. Finde diese beiden Zahlen.

1Wenn du die Wurzeln der Gleichung kennen würdest, könntest du die Gleichung schreiben als:

 

x^2 - Sx + P = 0

 

Dabei ist S die Summe der Wurzeln und P ist das Produkt der Wurzeln

 

2Du weißt, dass S = 5 und P = -84, also erhältst du:

 

x^2 -5x - 84

 

3Löse die quadratische Gleichung x^2 -5x - 84 = 0

 

\begin{array}{rcl} x & = & \cfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\\\ & = & \cfrac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(1)(-84)}}{2(1)} \\\\ & = & \cfrac{5 \pm \sqrt{361}}{2} \\\\ & = & \cfrac{5 \pm 19}{2} \end{array}

 

Die Wurzeln sind

 

x_1 = \cfrac{5 + 19}{2} = 12

 

x_2 = \cfrac{5 - 19}{2} = -7

 

Die gesuchten Zahlen sind also -7 y 12

 

 

Übung zur Altersberechnung

 

In 11 Jahren wird Peters Alter das halbe Quadrat des Alters sein, das er vor 13 Jahren hatte. Berechne das Alter von Peter.

1Benenne die Variablen aus der Aufgabenstellung:

 

Aktuelles Alter: x

Alter vor 13 Jahren: x - 13

Alter in 11 Jahren: x + 11

 

2Stelle die entsprechende Gleichung auf:

 

x + 11 = \cfrac{(x - 13)^2}{2}

 

3Quadriere das Binom, entferne die Nenner und du erhältst die Gleichung:

 

x^2 - 28x + 147 = 0

 

4Löse die Gleichung

\begin{array}{rcl} x & = & \cfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\\\ & = & \cfrac{-(-28) \pm \sqrt{(-28)^2 - 4(1)(147)}}{2(1)} \\\\ & = & \cfrac{28 \pm \sqrt{196}}{2} \\\\ & = & \cfrac{28 \pm 14}{2} \end{array}

 

Die Wurzeln sind

 

x_1 = \cfrac{28 + 14}{2} = 21

 

x_2 = \cfrac{28 - 14}{2} = 7

 

x = 7 ist keine gültige Lösung, denn wie alt wäre er dann vor 13 Jahren gewesen?

 

Somit beträgt das aktuelle Alter 21 Jahre

 

 

Berechnung eines Grundstücks

 

Zur Umzäunung eines rechteckigen Grundstücks von 750 \, m^2 wurde ein Zaun von 110 \, m verwendet. Berechne die Abmessungen des Grundstücks.

1Stelle das Grundstück dar

 

Aufgabe zum Lösen quadratischer Gleichungen: Grundstück berechnen

wobei

Semiperimeter 55

 

Grundfläche x

 

Höhe 55 - x

 

2Die Fläche ist gleich Grundfläche mal Höhe

 

x(55 - x) = 750

 

3Löse die Klammern auf und finde die Wurzeln

 

x^2 - 55x + 750 = 0

 

x = 25 y x = 30

 

Die Abmessungen des Grundstücks sind also:

 

Grundfläche 25 \, m und Höhe 30 \, m

 

Grundfläche 30 \, m und Höhe25 \, m

 

 

Proportionale Dreiecke

 

Die drei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks sind proportional zu den Zahlen 3, 4 y 5. Finde die Länge der einzelnen Seiten, wenn du weißt, dass der Flächeninhalt des Dreiecks 24 \, m^2 ist.

1Stelle die bereitgestellten Daten dar

 

Quadratische Gleichungen lösen: Aufgabe - rechtwinkliges Dreieck

 

Erste Seite: 3x (Grundfläche)

 

Zweite Seite: 4x (Höhe)

 

Dritte Seite: 5x

 

2Wende die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks an

 

\cfrac{3x \cdot 4x}{2} = 24

 

3Entferne die Nenner und löse die Gleichung

 

x^2 = 4 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x = \pm 2

 

-2 ist keine Lösung, da eine Seite keine negative Länge haben kann. Somit sind die Lösungen:

 

Erste Seite:  6 \, m

 

Zweite Seite: 8 \, m

 

Dritte Seite: 10 \, m

 

 

Berechne die Fläche des Gartens

 

Ein rechteckiger Garten mit 50 \, m Länge und 34 \, m Breite wird von einem Sandweg mit gleichmäßiger Breite umgeben. Berechne die Breite dieses Sandwegs, wenn er eine Fläche von 540 \, m^2 hat.

1Stelle die bereitgestellten Daten dar

 

Fläche berechnen unter Anwendung einer quadratischen Gleichung

 

x steht für die Breite der Straße

 

2540 ist gleich der Gesamtfläche minus der Fläche des Gartens

 

(50 + 2x)(34 + 2x) - 50 \cdot 34 = 540

 

3Löse die Klammern auf, berechne und vereinfache die Gleichung, indem du auf beiden Seiten durch 4 dividierst

 

\begin{array}{rcl}4x^2 + 168x - 540 & = & 0 \\\\ x^2 + 42x - 135 & = & 0 \\\\ (x - 3)(x + 45) & = & 0 \end{array}

 

Die Breite der Straße beträgt also 3 \, m.

 

-45 \, m ist keine Lösung, da die Abstände positiv sein müssen.

 

 

Ähnlichkeitskriterium in Rechtecken

 

Berechne die Abmessungen eines Rechtecks, dessen Diagonale 75 \, m, misst, wobei du weißt, dass es einem anderen Rechteck ähnelt, dessen Seiten 36 \, m und 48 \, m messen.

1Die Seiten haben die 12 gemeinsam, also erhältst du mit Hilfe der Ähnlichkeit:

 

Grundfläche 48x : 12 = 4x

Höhe 36x : 12 = 3x

 

 

Rechteck berechnen mit Ähnlichkeitskriterium und quadratischer Gleichung

 

2Wende den Satz des Pythagoras an

 

\begin{array}{rcl} (4x)^2 + (3x)^2 & = & 75^2 \\\\ 25x^2 & = & 5625 \end{array}

 

3Löse die letzte Gleichung und erhalte x = 15. Die Abmessungen des angeforderten Rechtecks sind also:

 

Grundfläche: 4 \cdot 15 = 60 \, m

Höhe: 3 \cdot 15 = 45 \, m

 

 

Berechne die gesuchte Zahl

 

Gesucht wird eine ganze Zahl, deren Summe mit dem Kehrwert \cfrac{26}{5} ergibt.

1Berücksichtige

 

Gesuchte Zahl: x

 

Kehrwert der Zahl: \cfrac{1}{x}

 

2Berechne die angegebene Summe

 

 

x + \cfrac{1}{x} = \cfrac{26}{5}

 

3Löse die rationale Gleichung

 

\begin{array}{rcl} x + \cfrac{1}{x} & = & \cfrac{26}{5}  \\\\  \cfrac{x^2 + 1}{x} & = & \cfrac{26}{5}  \\\\  5x^2 - 26x + 5 & = & 0  \\\\  (x - 5)(5x - 1) & = & 0  \end{array}

 

Die Lösungen der Gleichung sind x = 5 und x = \cfrac{1}{5}

 

Die gesuchte Zahl ist 5, da \cfrac{1}{5} keine Lösung ist, weil es keine ganze Zahl ist.

 

 

Strukturiere die quadratische Gleichung und berechne

 

Berechne zwei natürliche Zahlen, deren Differenz zwei ist und die Summe ihrer Quadratzahlen 580 ist. Wie lauten diese Zahlen?

1Du kennst:

 

Erste Zahl: x

 

Zweite Zahl: x + 2

 

Drücke die Summe der Quadratzahlen aus

x^2 + (x + 2)^2 = 580

2Erhöhe das Binom zum Quadrat, berechne und vereinfache die Gleichung, indem du auf beiden Seiten durch 2 dividierst

 

\begin{array}{rcl} x^2 + (x + 2)^2 & = & 580  \\\\  x^2 + x^2 + 4x + 4 & = & 580  \\\\  2x^2 + 4x - 576 & = & 0  \\\\   x^2 + 2x 288 & = & 0  \\\\  (x - 16)(x + 18) & = &  0  \end{array}

 

3Die Lösungen der Gleichung sind x = 16 und x = -18

 

Erste Zahl: x = 16

 

Zweite Zahl: x = -18

 

x = -18 ist keine Lösung für das Problem, da es sich nicht um eine natürliche Zahl handelt

 

 

Füllzeit eines Pools berechnen

 

Zwei Rohre A und B füllen zusammen einen Pool in zwei Stunden. A schafft es alleine in drei Stunden weniger als B. Wie viele Stunden benötigt jedes einzelne?

1Du kennst:

 

Zeit von A:  x

 

Zeit von B:  x + 3

2In einer Stunde passiert folgendes:

A = \cfrac{1}{x}

B = \cfrac{1}{x + 3}

Du weißt auch, dass die 2 Rohre zusammen in einer Stunde den halben Pool füllen

A + B = \cfrac{1}{2}

3Substituiere:

\cfrac{1}{x} + \cfrac{1}{x + 3} = \cfrac{1}{2}

 

Du hast eine rationale Gleichung und musst daher zunächst die Nenner entfernen

 

\begin{array}{rcl}  \cfrac{1}{x} + \cfrac{1}{x + 3} & = & \cfrac{1}{2}  \\\\  2x + 6 + 2x - x^2 - 3x & = & 0 \\\\  x^2 - x - 6 & = & 0  \\\\  (x - 3)(x + 2)  & = & 0  \end{array}

Die möglichen Lösungen sind also 3 und -2, wobei letzteres keine Lösung ist, da die Zeit negativ wäre.

4Prüfe, ob 3 eine Lösung ist:

Nach einer Stunde passiert folgendes:

A = \cfrac{1}{3}

B = \cfrac{1}{3+3} = \cfrac{1}{6}

Nach 2 Stunden:

\cfrac{1}{3} \cdot 2 =  \cfrac{2}{3}

\cfrac{1}{6} \cdot 2 = \cfrac{2}{6}  = \cfrac{1}{3}

Der Pool wird folglich in 2 Stunden voll sein

\cfrac{2}{3} + \cfrac{1}{3} = \cfrac{3}{3} = 1

Der Pool ist nach 2 Stunden vollständig gefüllt. Die angeforderte Zeit ist also:

Zeit von  A = 3 \, hrs

 

Zeit von  B = 6 \, hrs

 

 

Finde die vorgegebenen Werte

 

Die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks haben Maße in Zentimetern von drei aufeinanderfolgenden geraden Zahlen. Finde die Werte dieser Seiten.

1Stelle die bereitgestellten Daten dar

 

Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks berechnen unter Anwendung quadratischer Gleichungen und des Satz des Pythagoras

 

Erste Kathete: 2x

 

Zweite Kathete: 2x + 2

 

Hypotenuse: 2x + 4

 

2Wende den Satz des Pythagoras an

 

(2x)^2 + (2x + 2)^2 = (2x + 4)^2

 

3Erhöhe das Binom zum Quadrat, berechne und vereinfache die Gleichung, indem du auf beiden Seiten durch 4 dividierst

 

\begin{array}{rcl} (2x)^2 + (2x + 2)^2 & = & (2x + 4)^2 \\\\ 4x^2 - 8x -12 & = & 0 \\\\ x^2 - 2x - 3 & = & 0 \\\\ (x - 3)(x + 1) & = & 0 \end{array}

 

4Die Lösungen der Gleichung sind x= 3 und x= -1. Die gesuchten Maße entsprechen somit x= 3

 

Erste Kathete:  6 \, cm

 

Zweite Kathete: 8 \, cm

 

Hypotenuse: 10 \, cm

 

Ignoriere x = -1, da die Abstände positiv sind

 

 

 

Berechnung eines Volumens

 

Ein rechteckiges Papier ist 4 \, cm länger als es breit ist. Eine Schachtel von 840 \, cm^3 wird hergestellt, indem an jeder Ecke ein Quadrat von 6 \, cm geschnitten und die Kanten gefaltet werden. Ermittle die Abmessungen der Schachtel.

1Stelle die bereitgestellten Daten dar

 

Volumen berechnen mithilfe quadratischer Gleichungen

 

Breite: x

 

Länge: x + 4

 

Höhe: 6 \, cm

 

2Das Volumen der Schachtel, die ein rechteckiges Prisma ist, lautet Höhe\times Breite\times Breite

 

6(x - 12) \cdot (x + 4 - 12) = 840       (x − 12) · (x −8) = 140

 

3Löse die obige Gleichung

 

\begin{array}{rcl}6(x - 12) \cdot (x + 4 - 12) & = & 840 \\\\ (x - 12)(x - 8) & = & 140 \\\\ x^2 - 20x - 44 & = & 0 \\\\ (x - 22)(x + 2) & = & 0 \end{array}

Die Lösungen der Gleichung sind x = 22 und x = -2. Die gesuchten Maße lauten also:

Breite: 22 \, cm

 

Länge: 26 \, cm

 

Verwerfe die Lösung -2, weil eine Länge nicht negativ sein kann

 

 

 

Befüllen eines Tanks

 

Ein Rohr braucht zwei Stunden länger als das andere, um einen Tank zu füllen, und wenn beide zusammen auffüllen benötigen sie 1 Stunde und 20 Minuten. Wie lange wird es dauern, bis jedes einzelne Rohr den Tank aufgefüllt hat?

1Berücksichtige

 

Benötigte Zeit des ersten Rohres: x

 

Benötigte Zeit des zweiten Rohres: x - 2

2In einer Stunde passiert folgendes:

Erstes\Longrightarrow \cfrac{1}{x}

Zweites\Longrightarrow \cfrac{1}{x - 2}

Du weißt auch, dass in einer Stunde und 20 Minuten, also in \cfrac{4}{3} Stunden die 2 Rohre zusammen einen Tank füllen

3Substituiere:

\cfrac{1}{x} + \cfrac{1}{x - 2} = \cfrac{1}{\cfrac{4}{3}}

 

Du hast eine rationale Gleichung und musst daher zunächst die Nenner entfernen

 

\begin{array}{rcl} \cfrac{1}{x} + \cfrac{1}{x - 2} & = & \cfrac{1}{\cfrac{4}{3}} \\\\ 3x^2 - 14x + 8 & = & 0 \\\\ (x - 4)\left(3x - 2\right) & = & 0 \end{array}

Die möglichen Lösungen sind also 4 und \cfrac{2}{3}, wobei letzteres keine Lösung ist, da die Zeit, die das zweite Rohr benötigt, negativ wäre.

4Die verwendeten Zeiten sind also:

 

Benötigte Zeit des ersten Rohres: 4 \, hrs

 

Benötigte Zeit des zweiten Rohres: 2 \, hrs

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Anna