Substitutionsverfahren für Gleichungssysteme

 

Das Substitutionsverfahren besteht, wie der Name schon sagt, darin, den in einer der Gleichungen erhaltenen Wert einer Variablen zu entfernen und in der anderen Gleichung zu substituieren.

HINWEIS

Wenn ein System mehr Unbekannte (Variablen) als Anzahl der Gleichungenhat, dann hat das System unendlich viele Lösungen, das heißt, jede Variable kann verschiedene Werte annehmen, so dass immer die Gleichung erfüllt ist. Die Anzahl der Werte, die jede Variable annehmen kann, ist unendlich. Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung:   x+y=4  Man stellt fest, dass dies eine Gleichung mit zwei Variablen ist. Man kann schnell einige der Werte herausfinden:

x=1 \hspace{.3cm} y=3 ; \hspace{1cm} x=0 \hspace{.3cm}y=4 ; \hspace{1cm} x=-10 \hspace{.3cm} y=14 ;

x=2 \hspace{.3cm}y=2 ; \hspace{1cm}x=3\hspace{.3cm} y=1 ;

Beachte, dass es eine unendliche Anzahl von Werten gibt, die du x und y zuweisen kannst, um sie zu Lösungen zu machen.

Wenn das System die gleiche Anzahl von Gleichungen und Unbekannten hat, dann hat das System im Allgemeinen nur eine Lösung.

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Beispiel für die Vorgehensweise mit einem 2x2-Gleichungsystem

\begin{cases}x+y=4 \\ x+2y=6 \end{cases}

 

 x+y=4 wird "Gleichung I" genannt und
x+2y=6 wird "Gleichung II“ genannt

Entferne eine der beiden Variablen in einer der beiden Gleichungen (du solltest immer diejenige suchen, die weniger algebraische Arbeit erfordert), in diesem Fall eliminierst du x in Gleichung I

 x+y=4  \ \ \ \rightarrow \ \ \ x=4-y

Dies wird als "Wert von x in Bezug auf y" bezeichnet

Setze den berechneten Wert in die andere Gleichung ein, in diesem Fall setzt du also den Wert von x in Gleichung II ein

x+2y=6 \ \ \ \rightarrow \ \ \  (4-y)+2y=6

Wie du feststellen kannst, gibt es in der Gleichung jetzt nur noch die Variable y. Diese Gleichung kann vereinfacht und verrechnet werden, um den Wert von y zu erhalten.

(4-y)+2y=6 \ \ \ \rightarrow \ \ \   4+y=6 \rightarrow y=6-4 \rightarrow y=2

Sobald du den Wert einer der Variablen hast, in diesem Fall y, kannst du ihn in eine der 2 Gleichungen einsetzen, um den Wert der anderen Variablen zu finden, in diesem Fall x.

x+(2)=4 \ \ \ \rightarrow \ \ \  x=4-2 \ \ \ \rightarrow \ \ \  x=2

x+2(2)=6 \ \ \ \rightarrow \ \ \  x+4=6 \ \ \ \rightarrow \ \ \  x=6-4 \ \ \ \rightarrow \ \ \ x=2

Du kannst auch die andere Gleichung verwenden, da sie dir direkt den Wert von x liefert

x=4-y \ \ \ \rightarrow \ \ \  x=4-2 \ \ \ \rightarrow \ \ \ x=2

Und so erhältst du den Wert deiner Variablen in einem Gleichungssystem und stellst fest, dass es eine EINZIGE Lösung gibt.

 

Schritte zum Lösen eines linearen 3x3-Gleichungssystems

 

1 Wähle eine Variable und eliminiere sie in einer der Gleichungen.

Im Allgemeinen wird die Variable mit dem kleinsten Koeffizienten gewählt, und zwar aus der einfachsten Gleichung, um algebraische Arbeit zu ersparen.

2 Substituiere die beiden anderen Gleichungen.
Nun können diese Variablen in die anderen beiden Gleichungen eingesetzt werden. Die beiden neuen Gleichungen, die sich aus diesem Schritt ergeben, bilden ein 2x2-Gleichungssystem.

3 Löse das 2x2-Gleichungssystem.
Hierfür wiederholst du den Vorgang:

  • Wähle eine der 2 Variablen aus und eliminiere sie in einer der Gleichungen.
  • Setze nun die Variable in die andere Gleichung ein (diejenige, die man im 2x2-Gleichungssystem nicht verwendet hat).
  • Aus dem vorherigen Schritt erhältst du eine lineare Gleichung mit einer Variablen, und wenn du diese eliminierst, erhältst du ihren Wert.
  • Ersetze den erhaltenen Wert in diesem 2x2-Gleichungssystem und berechne den Wert einer anderen Variablen.

4 Erhalte den Wert der fehlenden Variablen
Wie bei Schritt 3 erhältst du den Wert von zwei der drei Variablen. Um die fehlende dritte Variable zu erhalten, verwendest du Schritt 1 und ersetzt sie durch die Unbekannten, die du bereits gelöst hast.

 

Übungen zu 3x3 Gleichungssystemen

 

 

1\begin{cases}3x+2y+z=1 \\ 5x+3y+4z=2\\ x+y-z=1\end{cases}

 

\begin{cases}3x+2y+z=1 \\ 5x+3y+4z=2\\ x+y-z=1\end{cases}

Um das Substitutionsverfahren anzuwenden, musst du eine Gleichung und eine Variable auswählen, die du eliminieren möchtest. Wähle nun die dritte Gleichung, da sie diejenige mit dem kleinsten Koeffizienten in der Variablen ist x

x+y-z=1 \hspace{2cm} x=1-y+z

Setze das Ergebnis dann in die anderen 2 Gleichungen ein

  • 3x+2y+z=1

3(1-y+z)+2y+z=1

3-3y+3z+2y+z=1

-y+4z=-2

  • 5x+3y+4z=2

5(1-y+z)+3y+4z=2

5-5y+5z+3y+4z=2

-2y+9z=-3

Daraus ergibt sich ein neues 2x2-Gleichungssystem

\begin{cases}-y+4z=-2 \\ -2y+9z=-3 \end{cases}

Nun musst du wieder das Substitutionsverfahren anwenden, d. h. eine Gleichung und eine Variable zum Eliminieren wählen. Am einfachsten ist in diesem Fall die erste Gleichung mit der Variablen y.

-y+4z=-2 \hspace{2cm} y=4z+2

Setze das Ergebnis dann in die andere Gleichung ein

-2y+9z=-3

 -2(4z+2)+9z=-3

 -8z-4+9z=-3

 z=1

Da du bereits z=1 kennst, verwendest du die zuletzt berechnete Gleichung, um y zu finden

y=4z+2 \hspace{1cm} y= 4\cdot 1+ 2 \hspace{1cm} y=4+2 \hspace{1cm} y=6

Setze zuletzt die beiden berechneten Variablen in die erste Gleichung ein, in diesem Fall x

x=1-y+z \hspace{1cm} x=1-6+1 \hspace{1cm} x=-4

 

 

2\begin{cases}5x-3y-z=1 \\ x+4y-6z=-1 \\ 2x+3y+4z=9 \end{cases}

 

\begin{cases}5x-3y-z=1 \\ x+4y-6z=-1 \\ 2x+3y+4z=9 \end{cases}

Um das Substitutionsverfahren anzuwenden, musst du eine Gleichung und eine Variable auswählen, die du eliminieren möchtest. Wähle nun die zweite Gleichung, da sie diejenige mit dem kleinsten Koeffizienten in der Variablen ist x

x+4y-6z=-1 \hspace{2cm} x=-1+6z-4y

Setze das Ergebnis dann in die anderen 2 Gleichungen ein

  • 5x-3y-z=1

5(-1+6z-4y)-3y-z=1

-5+30z-20y-3y-z=1

-23y+29z=6

  • 2x+3y+4z=9

 2(-1+6z-4y)+3y+4z=9

-2+12z-8y+3y+4z=9

-5y+16z=11

Daraus ergibt sich ein neues 2x2-Gleichungssystem

\begin{cases}-23y+29z=6 \\ -5y+16z=11 \end{cases}

Wende nun wieder das Substitutionsverfahren an, d. h. wähle eine Gleichung und eine Variable zum Eliminieren aus. Am einfachsten ist in diesem Fall die zweite Gleichung mit der Variablen  y.

-5y+16z=11 \hspace{1cm} 16z-11=5y \hspace{1cm} y=(16z-11)/5

Setze das Ergebnis dann in die andere Gleichung ein. Um den Nenner loszuwerden, musst die gesamte Gleichung mit 5 multiplizieren

-23[(16z-11)/5]+29z=6

 -23(16z-11)+145z=30

-368z+253+145z=30

 -223z=-223

 z=1

Da du bereits  z=1 kennst, nutzt du die zuletzt verwendete Gleichung

y=(16z-11)/5 \hspace{1cm} y=(16\cdot 1-11)/5 \hspace{1cm} y=(16-11)/5 \hspace{1cm} y=1

Setze zuletzt die beiden berechneten Variablen in die erste Gleichung ein, in diesem Fall x

x=-1+6z-4y \hspace{1cm} x=-1+6\cdot 1-4\cdot 1 \hspace{1cm} x=-1+6-4 \hspace{1cm} x=1

 

 

3 \begin{cases} 2x-y+2z=6 \\ 3x+2y-z=4 \\ 4x+3y-3z=1 \end{cases}

 

\begin{cases} 2x-y+2z=6 \\ 3x+2y-z=4 \\ 4x+3y-3z=1 \end{cases}

Um das Substitutionsverfahren anzuwenden, musst du eine Gleichung und eine Variable auswählen, die du eliminieren möchtest. Wähle nun die erste Gleichung, also diejenige mit dem kleinsten Koeffizienten in der Variablen y

2x-y+2z=6 \hspace{2cm} y=2x+2z-6

Setze das Ergebnis dann in die anderen 2 Gleichungen ein

  • 3x+2y-z=4

3x+2(2x+2z-6)-z=4

3x+4x+4z-12-z=4

7x+3z=16

  • 4x+3y-3z=1

4x+3(2x+2z-6)-3z=1

4x+6x+6z-18-3z=1

10x+3z=19

Daraus ergibt sich ein neues 2x2-Gleichungssystem

\begin{cases}7x+3z=16 \\ 10x+3z=19 \end{cases}

Wende nun wieder das Substitutionsverfahren an, d. h. wähle eine Gleichung und eine Variable zum Eliminieren aus. Am einfachsten ist in diesem Fall die erste Gleichung mit der Variablen  z.

7x+3z=16 \hspace{2cm} z=(16-7x)/3

Setze das Ergebnis dann in die andere Gleichung ein

10x+3z=19

 10x+3[(16-7x)/3]=19

 10x+(16-7x)=19

 10x+16-7x=19

 10x-7x=19-16

 3x=3

 x=1

Da du bereits  x=1 kennst, verwendest du die zuletzt verwendete Gleichung um  z finden

z=(16-7x)/3 \hspace{1cm} z=(16-7\cdot 1)/3 \hspace{1cm} z=9/3 \hspace{1cm} z=3

Setze zuletzt die beiden berechneten Variablen in die erste Gleichung ein, in diesem Fall y

y=2x+2z-6 \hspace{1cm} y=2\cdot 1+2\cdot 3-6 \hspace{1cm} y=2

 

Allgemeine Probleme, die mit Gleichungssystemen gelöst werden

 

1 Ein Supermarktkunde hat für 24\ l Milch, 6\ kg Schinken und 12\ l Olivenöl insgesamt 156€ bezahlt. Berechne den Preis der einzelnen Artikel. Du weißt, dass  1\ l Öl dreimal so viel wie 1\ l Milch kostet
und dass 1\ kg Schinken das Gleiche kostet wie 4\ l Öl plus 4\ l Milch.

 

Du stellst die Variablen mathematisch dar

Milch:  x

Schinken:  y

Olivenöl:  z

Jeder Satz der Aufgabenstellung ergibt eine Gleichung, die das folgende lineare Gleichungssystem bildet

\begin{cases}24x+6y+12z=156  \\ z=3x \\ y=4z+4x \end{cases}

In diesem Fall haben zwei der Gleichungen bereits eliminierte Variablen (Gleichung 2 und 3). Setze nun den Wert von z aus der zweiten Gleichung in die dritte Gleichung ein.

y=4z+4x \hspace{2cm} y=4\cdot 3x +4x \hspace{2cm} y=16x

Setze anschließend den Wert von y und von z in die erste Gleichung ein

24x+6y+12z=156

24x+6\cdot 16x+12\cdot 3x =156

24x+96x+36x =156

156x =156

x =1

Verwende die Ergebnisse von y und von z um ihren Wert zu erhalten

z=3x \hspace{2cm} z=3\cdot 1 \hspace{2cm} z=3

y=16x \hspace{2cm} y=16\cdot 1 \hspace{2cm} y=16

Du erhälst:

x=1 \hspace{2cm} y=16 \hspace{2cm} x=3

Das heißt, die Preise betragen

Milch: 1 €

Schinken: 16 €

Olivenöl: 3 €

 

 

2 Eine Videothek ist auf drei Arten von Filmen spezialisiert:

  • Kinderfilme
  • Amerikanische Western
  • Terrorfilme

Es ist bekannt, dass:

60\% der Kinderfilme plus 50\% der Western 30\% der Gesamtzahl der Filme ausmachen.

20\% der Kinderfilme plus 60\% der Western plus 60\% der Terrorfilme machen die Hälfte der Gesamtzahl der Filme aus.

Es gibt 100 mehr Western als Kinderfilme.

Ermittle die Anzahl der Filme von jedem Typ.

 

Jedem Element der Aufgabe wird eine Variable zugewiesen.

Kinderfilme:  x

Amerikanische Western:  y

Terrorfilme:   z

Aus dem Wortlaut der Aufgabenstellung erhältst du das 3x3-Gleichungssystem

\displaystyle \begin{cases}\frac{60}{100}x+\frac{50}{100}y=\frac{30}{100}(x+y+z)  \\ \frac{20}{100}x+\frac{60}{100}y+\frac{60}{100}z=\frac{1}{2}(x+y+z) \\ y=x+100 \end{cases}

Erstelle die erste Gleichung und vereinfache sie

\displaystyle \frac{60x}{100} + \frac{50y}{100} -\frac{30x}{100} - \frac{30y}{100}-\frac{30z}{100} = 0

Multipliziere die gesamte Gleichung mit 100, um den einfachen Nenner loszuwerden und um die erhaltene Gleichung zu vereinfachen:

60x+ 50y-30x - 30y - 30z = 0

60x - 30x + 50y - 30y - 30z = 0

30x + 20y - 30z = 0

Du teilst durch 10 und erhältst:

3x + 2y - 3z = 0

Nimm die zweite Gleichung und verfolge die gleichen Schritte:

\displaystyle \frac{20x}{100} + \frac{60y}{100} + \frac{60z}{100}=\frac{x}{2} + \frac{y}{2}+\frac{z}{2}

Um den gleichen gemeinsamen Nenner zu haben, multiplizierst du die Brüche auf der rechten Seite mit \displaystyle \frac{50}{50} und erhälst:

\displaystyle \frac{20x}{100} + \frac{60y}{100} + \frac{60z}{100}=\frac{50x}{100} + \frac{50y}{100}+\frac{50z}{100}

Lass den Nenner weg und vereinfache:

\displaystyle 20x + 60y + 60z  - 50x - 50y - 50z=0

\displaystyle -30x + 10y + 10z  =0

Teile die Gleichung durch 10 und erhalte:

\displaystyle -3x + y + z  =0

Unter Verwendung der vereinfachten Versionen der ersten und zweiten Gleichung erstellst du dann das folgende Gleichungssystem:

\displaystyle \begin{cases}3x + 2y - 3z = 0 \\ -3x + y + z  =0 \\ y=x+100 \end{cases}

Da du bereits eine Variable in einer der Gleichungen eliminiert hast, verwendest du sie, um den Wert von  y in den beiden Ausgangsgleichungen zu ersetzen und die letzte erhaltene mit 3 zu multiplizieren.

  • 3x + 2y - 3z = 0

3x + 2(x+100) - 3z = 0

3x + 2x+ 200 - 3z = 0

5x-3z=-200

  • -3x + y + z  =0

-3x + (x+100) + z  =0

-3x + x+100 + z  =0

-2x+z=-100

Daraus ergibt sich ein neues 2x2-Gleichungssystem

\begin{cases}5x-3z=-200 \\ -2x+z=-100 \end{cases}

Nun musst du wieder das Substitutionsverfahren anwenden, d. h. eine Gleichung und eine Variable zum Eliminieren wählen. Am einfachsten ist in diesem Fall die zweite Gleichung mit der Variablen z.

-2x+z=-100 \hspace{2cm} z=2x-100

Das Ergebnis fügst du dann in die andere Gleichung ein

5x-3z=-200

 5x-3(2x-100)=-200

 5x-6x+300=-200

 200+300=-5x+6x

 500=x

Da du bereits  x=500 kennst, verwendest du die zuletzt verwendete Gleichung um  z zu finden

z=2x-100 \hspace{1cm} z=2\cdot 500-100 \hspace{1cm} z=1000-100 \hspace{1cm} z=900

Verwende jetzt die erste Gleichung für die Variable, die noch fehlt, in diesem Fall y

y=x+100 \hspace{1cm} y=500+100 \hspace{1cm} y=600

Abschließend stellst du folgendes fest. Es gibt:

500 Kinderfilme

600 Westernfilme

900 Terrorfilme

 

 

3 Die Seiten eines Dreiecks messen  26, 28 und 34 \text{cm}.

Mit dem Mittelpunkt in jedem Scheitelpunkt werden drei Kreise gezeichnet, die sich jeweils zu zweit berühren.
Berechne die Längen der Radien der Kreise.

 

Aufgabe zu Gleichungssystemen mit drei Unbeaknnten und Anwendung des Substitutionsverfahrens

Aus der Skizze der Abbildung und der Verwendung einer Variablen für jeden Radius der 3 Kreise ergibt sich das Gleichungssystem

\begin{cases}x+y=26  \\ x+z=34 \\ y+z=28 \end{cases}

Um das Substitutionsverfahren anzuwenden, musst du eine Gleichung und eine Variable auswählen, die du eliminieren möchtest. In diesem Fall eliminierst du am besten die Variable  x aus der ersten Gleichung

x+y=26 \hspace{2cm} x=26-y

Setze das Ergebnis dann in die anderen 2 Gleichungen ein

  •  x+z=34

 (26-y)+z=34

-y+z=34-26

-y+z=8

  • y+z=28

In diesem Fall hat die Gleichung keine Variable x, also lässt du sie einfach stehen.

Daraus ergibt sich ein neues 2x2-Gleichungssystem

\begin{cases}-y+z=8 \\ y+z=28 \end{cases}

Nun musst du wieder das Substitutionsverfahren anwenden, d. h. eine Gleichung und eine Variable zum Eliminieren wählen. Am einfachsten ist in diesem Fall die zweite Gleichung mit der Variablen z.

y+z=28 \hspace{2cm} z=28-y

Füge das Ergebnis dann in die andere Gleichung ein

-y+z=8

 -y+(28-y)=8

 -y+28-y=8

 28-8=2y

 20=2y

 10=y

Da du bereits  y=10 kennst, nutzt du die zuletzt verwendete Gleichung um  z zu finden

z=28-y \hspace{1cm} z=28-10 \hspace{1cm} z=18

Verwende nun die erste Gleichung für die Variable, die noch fehlt, in diesem Fall x

x=26-y \hspace{1cm} x=26-10 \hspace{1cm} x=16

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Anna