Kapitel

 

Ganzzahlige Polynomgleichungen

 

Polynomgleichungen sind von der Form \displaystyle P(x)=0, wobei \displaystyle P(x) ein Polynom ist.

 

Zum Beispiel:

 

  • \displaystyle 7x^2-2x+8=0

 

  • \displaystyle x^3+2=0

 

Der Grad einer Gleichung ist der größere der Grade der Monome, die das Polynom bilden.

 

Zum Beispiel:

 

  • \displaystyle Grad(7x^2-2x+8)=2

 

  • \displaystyle Grad(x^3+2)=3

 

  • \displaystyle Grad(5)=0

 

  • \displaystyle Grad(x)=1

 

Arten von Polynomgleichungen:

 

1Lineare Gleichungen

Sie sind vom Typ \displaystyle ax+b=0 mit \displaystyle a \neq 0, oder jede andere Gleichung, in der sie beim Operieren, Vertauschen von Termen und Vereinfachen diesen Ausdruck annehmen.

 

  • \displaystyle (x+1)^2=x^2-2

 

  • \displaystyle x^2+2x+1=x^2-2

 

  • \displaystyle 2x+1=-2

 

  • \displaystyle 2x+3=0

 

2Quadratische Gleichungen

Es handelt sich um Gleichungen des Typs \displaystyle ax^2+bx+c=0, mit \displaystyle a \neq 0. Wenn \displaystyle b=0 oder \displaystyle c=0 zutrifft, werden sie als unvollständige quadratische Gleichungen bezeichnet.

 

  • \displaystyle ax^2=0

 

  • \displaystyle ax^2+c=0

 

  • \displaystyle ax^2+bx=0

 

3Gleichungen dritten Grades

 

Son ecuaciones del tipo \displaystyle ax^3+bx^2+cx+d=0, con \displaystyle a \neq 0.

 

4Gleichungen vierten Grades

 

Es handelt sich um Gleichungen des Typs \displaystyle ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0, mit \displaystyle a \neq 0.

 

5Biquadratische Gleichungen

 

Es handelt sich um Gleichungen vierten Grades, die keine Terme ungeraden Grades haben \displaystyle ax^4+bx^2+c=0, mit \displaystyle a \neq 0.

 

6Gleichungen vom Grad \displaystyle n

 

Im Allgemeinen ist die Form der Gleichungen vom Grad n folgendermaßen: \displaystyle a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots +a_2x^2+a_1x+a_0=0

 

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Los geht's

Rationale Polynomgleichungen

Rationale Polynomgleichungen haben die Form:

 

\displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)}=0

 

wobei \displaystyle P(x) und \displaystyle Q(x) Polynome sind.

 

Zum Beispiel:

 

  • \displaystyle \frac{1}{x^2-x}-\frac{1}{x-1}=0

 

  • \displaystyle \frac{7x^3-2}{x^4+2x^3-2}=0

 

Irrationale Polynomgleichungen

Irrationale Gleichungen sind solche, die mindestens ein Polynom unter dem Vorzeichen des Radikals haben.

 

Zum Beispiel:

 

  • \displaystyle \sqrt[n]{P(x)}=0

 

  • \displaystyle \frac{\sqrt[n]{P(x)}}{Q(x)}=0

 

  • \displaystyle \frac{P(x)}{\sqrt[n]{Q(x)}}=0

 

 

Nicht-polynomiale Gleichungen

 

1Exponentialgleichungen

Dies sind Gleichungen, in denen die Unbekannte z. B. im Exponenten erscheint:

 

  • \displaystyle 2^{2x-1}=4

 

  • \displaystyle \sqrt[2x-1]{3^{x-3}}=\sqrt{27}

 

  • \displaystyle 2^{x+1}+2^x+2^{x-1}=28

 

2Logarithmische Gleichungen

Dies sind Gleichungen, in denen die Unbekannte z. B. durch einen Logarithmus beeinflusst wird:

 

  • \displaystyle \log(2)+\log(11-x^2)=2\log(5-x)

 

  • \displaystyle 4\log\left (\frac{x}{5} \right )+\log\left (\frac{625}{4} \right )=2\log(x)

 

  • \displaystyle \log(x)=\frac{2-\log(x)}{\log(x)}

 


3Trigonometrische Gleichungen

Dies sind Gleichungen, in denen die Unbekannte durch eine trigonometrische Funktion beeinflusst wird. Da diese periodisch sind, gibt es z. B. in der Regel unendlich viele Lösungen:

 

  • \displaystyle \cos(2x)=1+4\sin(x)

 

  • \displaystyle \cos^2(x)-2\sin^2(x)=0

 

  • \displaystyle 2\tan(x)-3\cot(x)-1=0

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Anna

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