Biquadratische Gleichungen sind Gleichungen vierten Grades, die keine ungeraden Exponenten enthalten:

{ax^{4}+bx^{2}+c=0}

 

Lösen von biquadratischen Gleichungen

 

{x^{2}=t,}

 

{x^{4}=t^{2}}

 

Um biquadratische Gleichungen zu lösen, nimmst du die Variablenänderung (Substitution) mit {t} vor:

 

{at^{2}+bt+c=0}

 

Für jeden positiven Wert von {t} gibt es zwei Werte von {x}:

 

{x= \pm \sqrt{t}}

 

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Beispiele

 

1{x^{4}-13x^{2}+36=0}

 

Nimm die Änderung der Variablen (Substitution) {x^{2}=t, \ \ \ x^{4}=t^{2}} vor und du erhältst:

 

{t^{2}-13t+36=0}

 

Löse nun die obige Gleichung und du erhältst:

 

{t^{2}-13t+36=(t-9)(t-4)=0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ t=9, \; t=4 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x=\pm 3, \; x=\pm 2}

 

Diese biquadratische Gleichung hat also vier reelle Lösungen:

 

2{x^{4}+5x^{2}-36=0}

 

Nimm die Änderung der Variablen {x^{2}=t, \ \ \ x^{4}=t^{2}} vor und du erhältst:

 

{t^{2}+5t-36=0}

 

Löse nun die obige Gleichung (Resubstitution) und du erhältst

 

{t^{2}+5t-36=(t+9)(t-4)=0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ t=-9, \; t=4 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x=\pm 3i, \; x=\pm 2}

 

Diese biquadratische Gleichung hat zwei reelle und zwei komplexe Lösungen.

 

3{x^{4}+13x^{2}+36=0}

 

Nimm die Änderung der Variablen (Substitution) {x^{2}=t, \ \ \ x^{4}=t^{2}} vor und du erhältst

 

{t^{2}+13t+36=0}

 

Löse nun die obige Gleichung (Resubstitution) und du erhältst

 

{t^{2}-13t+36=(t+9)(t+4)=0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ t=-9, \; t=-4 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x=\pm 3i, \; x=\pm 2i}

 

Diese biquadratische Gleichung hat keine reellen Lösungen, sie hat vier komplexe Lösungen.

 

Andere Gleichungen mit Variablenänderung

 

Das gleiche Verfahren kann verwendet werden, um Gleichungen folgender Form zu lösen:

 

{ax^{2k}+bx^{k}+c=0}

 

Führe mit {k=3,4,5, \dots, } die Variablenänderung (Substitution) durch:

 

{x^{k}=t,}

 

{x^{2k}=t^{2}}

 

Beispiel:

 

Löse die Gleichung

 

{x^{6}-7x^{3}+6=0}

 

Nimm die Änderung der Variablen (Substitution) {x^{3}=t, \ \ \ x^{6}=t^{2}} vor und du erhältst

 

{t^{2}-7t+6=0}

 

Löse nun die obige Gleichung (Resubstitution) und du erhältst:

 

{t^{2}-7t+6=(t-6)(t-1)=0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ t=6, \; t=1 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x=\sqrt[3]{6}, \; x=1}

 

Diese biquadratische Gleichung hat zwei reelle Lösungen.

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Anna