Befüllen eines Tanks ohne Abfluss

 

Der erste Wasserhahn benötigt t_1 Stunden, um einen Tank zu befüllen. Somit befüllt der erste Wasserhahn in einer Stunde \cfrac{1}{t_1} des Tanks.

 

Der zweite Wasserhahn benötigt t_2 Stunden, um den Tank zu befüllen. Somit befüllt der zweite Wasserhahn in einer Stunde \cfrac{1}{t_2} des Tanks.

 

Wenn x die benötigte Gesamtzeit zum Befüllen des Tanks ist, befüllen die Wasserhähne zusammen in einer Stunde:

 

\cfrac{1}{t_1} + \cfrac{1}{t_2} = \cfrac{1}{x}

 

 

1 Ein Wasserhahn benötigt zum Befüllen eines Tanks drei Stunden. Ein anderer Wasserhahn benötigt dazu vier Stunden. Wie lange dauert es, bis beide Wasserhähne zusammen den Tank befüllt haben?

1 Der erste Wasserhahn benötigt 3 Stunden, um einen Tank zu befüllen. Somit befüllt der Wasserhahn in einer Stunde \cfrac{1}{3} des Tanks

 

2 Der zweite Wasserhahn benötigt 4 Stunden, um einen Tank zu befüllen. Somit befüllt der Wasserhahn in einer Stunde \cfrac{1}{4} des Tanks

 

3 Wenn x die benötigte Gesamtzeit zum Befüllen des Tanks ist, befüllen die Wasserhähne zusammen in einer Stunde:

 

\cfrac{1}{3} + \cfrac{1}{4} = \cfrac{1}{x}

 

4 Wir lösen die rationale Gleichung

 

\begin{array}{rcl} \cfrac{1}{3} + \cfrac{1}{4} & = & \cfrac{1}{x} \\\\ \cfrac{7}{12} & = & \cfrac{1}{x} \\\\ x & = & \cfrac{12}{7} \end{array}

 

Folglich benötigen beide Wasserhähne zusammen \cfrac{12}{7} Stunden, um den Tank zu befüllen.

 

 

2 Ein Wasserhahn benötigt zum Befüllen eines Tanks zwei Stunden. Der andere Wasserhahn benötigt dazu drei Stunden. Wie lange dauert es, bis beide Wasserhähne zusammen den Tank befüllt haben?

1 Der erste Wasserhahn benötigt 2 Stunden, um einen Tank zu befüllen. Somit befüllt der Wasserhahn in einer Stunde \cfrac{1}{2} des Tanks

 

2 Der zweite Wasserhahn benötigt 3 Stunden, um einen Tank zu befüllen. Somit befüllt der zweite Wasserhahn in einer Stunde \cfrac{1}{3} des Tanks

 

3 Wenn x die benötigte Gesamtzeit zum Befüllen des Tanks ist, befüllen die Wasserhähne zusammen in einer Stunde:

 

\cfrac{1}{2} + \cfrac{1}{3} = \cfrac{1}{x}

 

4 Wir lösen die rationale Gleichung

 

\begin{array}{rcl} \cfrac{1}{2} + \cfrac{1}{3} & = & \cfrac{1}{x} \\\\ \cfrac{5}{6} & = & \cfrac{1}{x} \\\\ x & = & \cfrac{6}{5} \end{array}

 

Folglich benötigen beide Wasserhähne zusammen \cfrac{6}{5} Stunden, um den Tank zu befüllen. Also eine Stunde und 12 Minuten.

 

 

3 Um den Tank alleine zu befüllen, benötigt der zweite Wasserhahn dreimal so viel Zeit wie der erste Wasserhahn. Wenn beide Wasserhähne zusammen in einer Stunde das vierfache Fassungvermögen des Tanks befüllen können, wie lange benötigt jeder Wasserhahn zum Befüllen des Tanks?

1 Der erste Wasserhahn benötigt zum Befüllen des Tanks t_1 Stunden. Somit befüllt der erste Wasserhahn in einer Stunde \cfrac{1}{t_1} des Tanks

 

2 Der zweite Wasserhahn benötigt zum Befüllen des Tanks t_2 Stunden. Somit befüllt der zweite Wasserhahn in einer Stunde \cfrac{1}{t_2} des Tanks

 

3 Wenn beide Wasserhähne zusammen in einer Stunde das vierfache Fassungsvermögen des Tanks befüllen, gilt somit

 

\cfrac{1}{t_1} + \cfrac{1}{t_2} = 4

 

4 Da der zweite Wasserhahn dreimal so viel Zeit wie der erste Wasserhahn benötigt, gilt

 

t_2 = 3 t_1

 

Es ergibt sich

 

\begin{array}{rcl} \cfrac{1}{t_1} + \cfrac{1}{3t_1} & = & 4 \\\\ \cfrac{4}{3t_1} & = & 4 \\\\ t_1 & = & \cfrac{1}{3} \end{array}

 

Somit benötigt der erste Wasserhahn \cfrac{1}{3} Stunden oder 20 Minuten, um den Tank zu befüllen. Der zweite Wasserhahn benötigt 1 Stunde.

 

 

4 Ein Wasserhahn benötigt zwei Stunden, um einen Tank zu befüllen. Der zweite Wasserhahn benötigt dafür drei Stunden und der dritte Wasserhahn sechs Stunden. Wie lange dauert es, bis alle drei Wasserhähne zusammen den Tank befüllt haben?

1 Der erste Wasserhahn benötigt 2 Stunden, um den Tank zu befüllen. Somit befüllt der erste Wasserhahn in einer Stunde \cfrac{1}{2} des Tanks

 

2 Der zweite Wasserhahn benötigt 3 Stunden, um den Tank zu befüllen. Somit befüllt der zweite Wasserhahn in einer Stunde   \cfrac{1}{3} des Tanks

 

3 Der dritte Wasserhahn benötigt 6 Stunden, um den Tank zu befüllen. Somit befüllt der dritte Wasserhahn in einer Stunde \cfrac{1}{6} des Tanks

 

4 Wenn x die benötigte Gesamtzeit zum Befüllen des Tanks ist, befüllen die drei Wasserhähne zusammen in einer Stunde:

 

\cfrac{1}{2} + \cfrac{1}{3} + \cfrac{1}{6} = \cfrac{1}{x}

 

5 Wir lösen die rationale Gleichung

 

\begin{array}{rcl} \cfrac{1}{2} + \cfrac{1}{3} + \cfrac{1}{6} & = & \cfrac{1}{x} \\\\ \cfrac{6}{6} & = & \cfrac{1}{x} \\\\ x & = & 1 \end{array}

 

Somit dauert es 1 Stunde, bis die drei Wasserhähne zusammen den Tank befüllt haben.

 

 

Befüllen eines Tanks mit Abfluss

 

Ein Wasserhahn benötigt t_1 Stunden, um einen Tank zu befüllen. Somit befüllt der Wasserhahn in einer Stunde \cfrac{1}{t_1} des Tanks.

 

Ein zweiter Wasserhahn benötigt t_2 Stunden, um einen Tank zu befüllen. Somit befüllt der zweite Wasserhahn in einer Stunde \cfrac{1}{t_2} des Tanks.

 

Der Tank hat einen Abfluss. Durch diesen dauert es t_3 Stunden, bis der Tank vollständig entleert ist. Somit werden durch den Abfluss in einer Stunde \cfrac{1}{t_3} des Tanks entleert.

 

Wenn x die benötigte Gesamtzeit zum Befüllen des Tanks ist, wird der Tank in einer Stunde wie folgt befüllt:

 

\cfrac{1}{t_1} + \cfrac{1}{t_2} - \cfrac{1}{t_3} = \cfrac{1}{x}

 

 

1 Ein Wasserhahn benötigt drei Stunden, um einen Tank zu befüllen. Ein zweiter Wasserhahn benötigt dafür vier Stunden. Der Tank hat einen Abfluss. Durch diesen dauert es sechs Stunden, bis der Tank vollständig entleert ist. Wie lange dauert es, bis die beiden Wasserhähne zusammen den Tank befüllt haben, wenn der Abfluss dabei geöffnet ist?

1 Der erste Wasserhahn benötigt 3 Stunden, um einen Tank zu befüllen. Somit befüllt der erste Wasserhahn in einer Stunde \cfrac{1}{3} des Tanks

 

2 Der zweite Wasserhahn benötigt 4 Stunden, um den Tank zu befüllen. Somit befüllt der zweite Wasserhahn in einer Stunde \cfrac{1}{4} des Tanks

 

3 Durch den Abfluss dauert es 6 Stunden, um den Tank zu entleeren. Somit werden in einer Stunde \cfrac{1}{6} des Tanks entleert

 

4 Wenn x die benötigte Gesamtzeit zum Befüllen des Tanks ist, wird der Tank in einer Stunde wie folgt befüllt:

 

\cfrac{1}{3} + \cfrac{1}{4} - \cfrac{1}{6} = \cfrac{1}{x}

 

5 Wir lösen die rationale Gleichung

 

\begin{array}{rcl} \cfrac{1}{3} + \cfrac{1}{4} - \cfrac{1}{6} & = & \cfrac{1}{x} \\\\ \cfrac{5}{12} & = & \cfrac{1}{x} \\\\ x & = & \cfrac{12}{5} \end{array}

 

Somit dauert es \cfrac{12}{5} Stunden, bis die beiden Wasserhähne zusammen den Tank bei geöffnetem Abfluss befüllt haben.

 

 

2 Ein Wasserhahn benötigt zum Befüllen eines Tanks zwei Stunden. Ein zweiter Wasserhahn benötigt dafür drei Stunden. Der Tank hat einen Abfluss. Durch diesen dauert es zehn Stunden, bis der Tank vollständig entleert ist. Wie lange dauert es, bis beide Wasserhähne zusammen den Tank bei geöffnetem Abfluss befüllt haben?

1 Der erste Wasserhahn benötigt 2 Stunden, um den Tank zu befüllen. Somit befüllt der erste Wasserhahn in einer Stunde \cfrac{1}{2} des Tanks

 

2 Der zweite Wasserhahn benötigt 3 Stunden, um den Tank zu befüllen. Somit befüllt der zweite Wasserhahn in einer Stunde \cfrac{1}{3} des Tanks

 

3 Durch den Abfluss dauert es 10 Stunden, um den Tank zu entleeren. Somit werden in einer Stunde \cfrac{1}{10} des Tanks entleert

 

4 Wenn x die benötigte Gesamtzeit zum Befüllen des Tanks ist, wird der Tank in einer Stunde wie folgt befüllt:

 

\cfrac{1}{2} + \cfrac{1}{3} - \cfrac{1}{10} = \cfrac{1}{x}

 

5 Wir lösen die rationale Gleichung

 

\begin{array}{rcl} \cfrac{1}{2} + \cfrac{1}{3} - \cfrac{1}{10} & = & \cfrac{1}{x} \\\\ \cfrac{11}{15} & = & \cfrac{1}{x} \\\\ x & = & \cfrac{15}{11} \end{array}

 

Somit dauert es \cfrac{15}{11} Stunden, bis die beiden Wasserhähne zusammen den Tank bei geöffnetem Abluss befüllt haben. Dies entspricht etwa 1 Stunde und 21 Minuten.

 

 

3 Ein Wasserhahn benötigt zwei Stunden, um einen Tank zu befüllen. Ein zweiter Wasserhahn benötigt dafür fünf Stunden. Der Tank hat zwei Abflüsse. Durch den ersten Abfluss dauert es zehn Stunden und eine Sekunde, bis der Tank entleert ist. Durch den zweiten Abfluss dauert es zwanzig Stunden. Wie lange dauert es, bis beide Wasserhähne zusammen den Tank befüllt haben, wenn beide Abflüsse geöffnet sind?

1 Der erste Wasserhahn benötigt 2 Stunden, um den Tank zu befüllen. Somit befüllt der erste Wasserhahn in einer Stunde \cfrac{1}{2} des Tanks

 

2 Der zweite Wasserhahn benötigt 5 Stunden, um den Tank zu befüllen. Somit befüllt der zweite Wasserhahn in einer Stunde \cfrac{1}{5} des Tanks

 

3 Durch den ersten Abfluss dauert es 10 Stunden, bis der Tank entleert ist. Somit werden durch den ersten Abfluss in einer Stunde \cfrac{1}{10} des Tanks entleert

 

4 Durch den zweiten Abfluss dauert es 20 Stunden, bis der Tank entleert ist. Somit werden durch den zweiten Abfluss in einer Stunde \cfrac{1}{20} des Tanks entleert

 

5 Wenn x die benötigte Gesamtzeit zum Befüllen des Tanks ist, wird der Tank in einer Stunde wie folgt befüllt:

 

\cfrac{1}{2} + \cfrac{1}{5} - \cfrac{1}{10} - \cfrac{1}{20} = \cfrac{1}{x}

 

6 Wir lösen die rationale Gleichung

 

\begin{array}{rcl} \cfrac{1}{2} + \cfrac{1}{5} - \cfrac{1}{10} - \cfrac{1}{20} & = & \cfrac{1}{x} \\\\ \cfrac{11}{20} & = & \cfrac{1}{x} \\\\ x & = & \cfrac{20}{11} \end{array}

 

Somit dauert es \cfrac{20}{11} Stunden, bis die beiden Wasserhähne zusammen den Tank befüllt haben, wenn beide Abflüsse geöffnet sind. Dies entspricht etwa 1 Stunde und 49 Minuten.

 

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Eva