Eine quadratische Gleichung ist eine beliebige Gleichung der Form

 

ax^{2}+bx+c=0 con a\neq 0

 

Sie wird durch die folgende Formel gelöst:

 

Abc-Formel/Mitternachtsformel für quadratische Gleichungen

 

\displaystyle x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac} }{2a}

 

 

Der Teil innerhalb des Radikals b^{2}-4ac ist die Diskriminante, die Informationen über die Lösung der Gleichung gibt.

 

Die Diskriminante der Mitternachtsformel hilft beim Lösen quadratischer Gleichungen

 

Die Diskriminante ermöglicht es, die Anzahl der Lösungen in jeder Gleichung herauszufinden. Du kannst drei Fälle unterscheiden:

 

1b^{2}-4ac> 0

 

Wenn die Diskriminante positiv ist, d. h. wenn b^{2}-4ac> 0 hat die quadratische Gleichung 2 mögliche Lösungen , die unterschiedliche reelle Zahlen sind.

 

2b^{2}-4ac= 0

 

Wenn die Diskriminante Null ist, d. h. wenn b^{2}-4ac= 0, hat die quadratische Gleichung eine Doppellösung .

 

3b^{2}-4ac<0

 

Wenn die Diskriminante negativ ist, d. h. wenn  b^{2}-4ac<0, hat die quadratische Gleichung keine Lösungen innerhalb der reellen Zahlen.

 

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Eigenschaften der Lösungen der quadratischen Gleichung

 

Die Summe der Lösungen einer quadratischen Gleichung ist gleich:

 

\displaystyle x_1 + x_2 = \frac{-b}{a}

 

Das Produkt der Lösungen einer quadratischen Gleichung ist gleich:

 

\displaystyle x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}

 

Die quadratische Gleichung aus ihren Lösungen

Wenn du die Wurzeln einer Gleichung kennst, kannst du sie wie folgt schreiben:

 

x^{2} - Sx + P= 0

 

Es gilt:

S= x_1 + x_2
P= x_1 \cdot x_2

 

Beispiel:

Stelle eine quadratische Gleichung auf, deren Lösungen: 3 und -2 sind.

S= 3 + (-2) = 1
P= 3 \cdot (-2) = -6

Die Gleichung lautet:

x^{2} - x - 6 = 0

 

Faktorisierung eines quadratischen Trinoms

Gegeben ist eine vollständige quadratische Gleichung:

ax^{2}+bx+c=0

Sie lässt sich wie folgt in Faktoren aufschlüsseln:

 

a \cdot(x - x_1) \cdot  (x - x_2)=0

Beispiel

 

x^{2}-5x+6=0

 

(x - 2) \cdot  (x - 3)=0

Beispiele für gelöste quadratische Gleichungen

 

 

1 x^{2}-5x+6=0

 

Für diesen Fall ist folgendes zu beachten:

 

a=1, \ b=-5, \ c=6

 

 

Verwende die abc-Formel/Mitternachtsformel

 

Anwendung der Mitternachtsformel zum Lösen quadratischer Gleichungen

 

 

2 2x^{2}-7x+3=0

 

Für diesen Fall ist folgendes zu beachten:

 

a=2, \ b=-7, \ c=3

 

Verwende die abc-Formel/Mitternachtsformel

 

Mit der Mitternachtsformel quadratische Gleichungen lösen

 

 

 

3 -x^{2}+7x-10=0

 

Wenn a < 0, multiplizierst du die beiden Glieder mit  (−1).

 

(-1) \cdot (-x^{2}+7x-10)=(-1) \cdot 0

x^{2}-7x+10=0

 

Du stellst fest, dass:

a=1, \ b=-7, \ c=10

 

Verwende die abc-Formel/Mitternachtsformel

 

Aufgaben zu quadratischen Gleichungen mit der abc-Formel

 

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Anna