Eine lineare Gleichung ist eine Gleichung, die nach der Vereinfachung nur Unbekannte in der ersten Potenz enthält.

Warum spricht man von Vereinfachung?

Wenn du die folgende Gleichung betrachtest, wie zum Beispiel x^2 , könntest du denken, dass es eine quadratische Gleichung ist.

 

x^2 + 25x + 23 - x^2 - 2^2

 

Vereinfachend stellst du aber fest, dass:

 

x^2 + 25x + 23 - x^2 - 2^2=

25x + 23  - 4 =

25x + 19 =

 

Es handelt sich dann um eine lineare Gleichung.

 

Um das Konzept einer Gleichung besser zu verstehen, ist es wichtig, die Bedeutung der folgenden Begriffe zu kennen:

 

Eine Gleichheit ist ein Ausdruck, der aus zwei Gliedern gebildet wird, zwischen denen das Gleichheitszeichen steht. Im obigen Beispiel ist  25x  = -19 eine Gleichheit. Eine Identität ist eine Gleichheit, die für jeden Wert der Buchstaben wahr ist. Zum Beispiel, (a + b)^2= a^2 + 2ab +b^2  

Eine Gleichung ist eine Gleichheit, die für einige Werte der Buchstaben wahr ist.

 

Elemente einer Gleichung

 

Die Glieder einer Gleichung sind jeweils die Formeln, die auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens stehen.

Die Terme sind die Summanden, aus denen sich die Gleichungsteile zusammensetzen.

Glieder und Terme einer linearen Gleichung

Die Unbekannten sind die Buchstaben, die in der Gleichung vorkommen.

Die Lösungen sind die Werte, die die Buchstaben annehmen müssen, damit die Gleichheit wahr ist.

Der Grad einer Gleichung ist der größere der Grade der Monomere, die ihre Glieder bilden.

 

Zwei Gleichungen sind äquivalent, wenn sie die gleiche Lösung haben.

Wenn die beiden Seiten einer Gleichung um den gleichen Betrag addiert oder subtrahiert werden, ist die Gleichung äquivalent zu der angegebenen.

Wenn die beiden Glieder einer Gleichung mit dem gleichen Betrag multipliziert oder dividiert werden, ist die Gleichung äquivalent zu der angegebenen.

 

Schritte zum Lösen von linearen Gleichungen

 

Im Allgemeinen musst du zum Lösen einer Gleichung die folgenden Schritte befolgen:

 

1 Klammern auflösen.

2 Nenner eliminieren.

3 Die x-Terme auf einer Seite der Gleichung und die unabhängigen Terme auf der anderen Seite der Gleichung zusammenfassen.

4 Gleichartige Terme zusammenfassen.

5 Die Unbekannte auflösen

 

Anwendungen von linearen Gleichungen

 

    • Probleme beim Mischen
    • Probleme mit Uhren. Denke daran, dass der vom Minutenzeiger beschriebene Winkel oder Bogen immer 12-mal größer ist als der vom Stundenzeiger beschriebene Bogen
    • Geometrische Probleme
    • Probleme an Wasserhähnen
    • Probleme mit bewegten Objekten

 

Eine der Rechenaufgaben, die du sehr häufig findest, sind Probleme mit bewegten Objekten.

Beim Lösen dieser Art von Problemen musst du normalerweise den Weg (oder die Entfernung, die ein bestimmtes Objekt zurücklegt), die Geschwindigkeit oder die Zeit herausfinden. Die Beziehung zwischen diesen Elementen ist wie folgt:

Weg = Geschwindigkeit · Zeit

{e=v \cdot t}

 

Bewegte Objekte gehen in die entgegengesetzte Richtung

Anwendung von linearen Gleichungen mit Bewegungsaufgaben: entgegengesetzte Richtung

e_{AC}+e_{BC} = e_{AB}

 

Bewegte Objekte gehen in die gleiche Richtung

Anwendung von linearen Gleichungen mit Bewegungsaufgaben: gleiche Richtung

e_{AC}-e_{BC} = e_{AB}

 

Die bewegten Objekte starten vom gleichen Punkt und gehen in die gleiche Richtung

e_1 = e_2

 

 

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Anna