Zur Erinnerung: Biquadratische Gleichungen haben folgende Form:

 

ax^4 + bx^2 + c = 0

 

con a\neq 0.

 

Diese Gleichungen werden mit Hilfe der Variablenänderung t = x^2, gelöst, der die Gleichung in eine quadratische Gleichung umwandelt.

 

Biquadratische Gleichungen

 

 

1x^4 - 10x^2 + 9 = 0

 

Die Gleichung lautet:

 

x^4 - 10x^2 + 9 = 0

 

Nimm zuerst die Variablenänderung vor

 

x^2 = t, \qquad x^4 = t^2

t^2 - 10t + 9 = 0

 

Löse nun die erhaltene quadratische Gleichung mit Hilfe der allgemeinen Formel

 

\displaystyle t = \frac{10 \pm \sqrt{10^2 - 4\cdot 9} }{2} = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 36} }{2} = \frac{10 \pm \sqrt{64} }{2} = \frac{10 \pm 8}{2}

 

Das heißt,

 

\displaystyle t_1 = \frac{18}{2} = 9 \qquad t_2 = \frac{2}{2} = 1

 

Mache dann die Variablenänderung rückgängig, um die Lösungen der biquadratischen Gleichung zu finden::

 

\displaystyle x^2 = 9 \qquad \to \qquad x = \pm \sqrt{9} = \pm 3

\displaystyle x^2 = 1 \qquad \to \qquad x = \pm \sqrt{1} = \pm 1

 

Daher hat diese biquadratische Gleichung die folgenden vier reellen Lösungen:

 

x_1 = 3, \quad x_2 = -3, \quad x_3 = 1, \quad x_4 = -1

 

 

2x^4 - 13x^2 + 36 = 0

 

Du hast die folgende Gleichung:

 

x^4 - 13x^2 + 36 = 0

 

Nimm zuerst die Variablenänderung vor::

x^2 = t

t^2 - 13t + 36 = 0

Löse die erhaltene quadratische Gleichung:

\displaystyle \frac{13 \pm \sqrt{169 - 144} }{2} = \frac{13 \pm 5}{2}

 

Das heißt,

 

\displaystyle t_1 = \frac{18}{2} = 9 \qquad t_2 = \frac{8}{2} = 4

 

Mache nun due die Variablenänderung rückgängig, um die Lösungen der biquadratischen Gleichung zu finden:

 

x^2 = 9 \qquad \to \qquad x = \pm \sqrt{9} = \pm 3

x^2 = 4 \qquad \to \qquad x = \pm 2

 

Die biquadratische Gleichung hat also vier reelle Lösungen:

 

x_1 = 3, \quad x_2 = -3, \quad x_3 = 2, \quad x_4 = -2

 

3x^4 - 61x^2 +900 = 0

 

In diesem Fall lautet die Gleichung:

 

x^4 - 61x^2 +900 = 0

 

Nimm zunächst die Variablenänderung vor:

 

x^2 = t

t^2 - 61t + 900 = 0

 

Löse dann die erhaltene quadratische Gleichung:

 

\displaystyle t = \frac{61 \pm \sqrt{3721 - 3600}}{2} = \frac{61 \pm 11}{2}

 

Also so:

 

\displaystyle t_1 = \frac{72}{2} = 36 \qquad t_2 = \frac{50}{2} = 25

 

Mache auch hier die Variablenänderung rückgängig:

 

x^2 = 36 \qquad \to \qquad x = \pm 6

x^2 = 25 \qquad \to \qquad x = \pm 5

 

Somit hat diese biquadratsche Gleichung die folgenden vier reellen Lösungen

 

x_1 = 6, \quad x_2 = -6, \quad x_3 = 5, \quad x_4 = -5

 

4x^4 - 25x^2 + 144 = 0

 

In diesem Fall lautet die Gleichung:

 

x^4 - 25x^2 + 144 = 0

 

Ändere die Variable:

 

x^2 = t

t^2 - 25t + 144 = 0

 

Löse die erhaltene quadratische Gleichung:

 

\displaystyle t = \frac{25 \pm \sqrt{625 - 576} }{2} = \frac{25 \pm 7}{2}

 

Somit

 

\displaystyle t_1 = \frac{32}{2} = 16 \qquad t_2 = \frac{18}{2} = 9

 

Mache die Variablenänderung rückgängig:

 

x^2 = 16 \qquad \to \qquad x = \pm 4

x^2 = 9 \qquad \to \qquad x = \pm 3

 

Diese biquadratische Gleichung hat vier reelle Lösungen:

 

x_1 = 4, \quad x_2 = -4, \quad x_3 = 3, \quad x_4 = -3

 

5x^4 - 16x^2 -225 = 0

 

Die Gleichung lautet:

 

x^4 - 16x^2 -225 = 0

 

Ändere auch hier die Variable:

 

x^2 = t

t^2 - 16t -225 = 0

 

Löse die erhaltene quadratische Gleichung:

 

\displaystyle \frac{16 \pm \sqrt{256 +900} }{2} = \frac{16 \pm 34}{2}

 

Deshalb,

 

\displaystyle t_1 = \frac{50}{2} = 25 \qquad t_2 = \frac{-18}{2} = -9

 

Mache die Variablenänderung rückgängig::

 

x^2 = 25 \qquad \to \qquad x = \pm \sqrt{25} = \pm 5

x^2 = -9 \qquad \to \qquad x = \pm \sqrt{-9} \notin \mathbb{R}

 

In diesem Fall hat die biquadratische Gleichung nur zwei reelle Lösungen:

 

x_1 = 5, \quad x_2 = -5, \quad x_3, x_4 \notin \mathbb{R}

 

 

Wie biquadratische Gleichungen wird eine Gleichung der Form

 

ax^6 + bx^3 + c = 0

 

mit a \neq 0 als triquadratische Gleichung bezeichnet. Diese Art von Gleichung wird mit Hilfe der Variablenänderung t = x^3 gelöst.

 

 

6x^6 - 7x^3 + 6 = 0

 

Die Gleichung lautet:

 

x^6 - 7x^3 + 6 = 0

 

Ändere die Variable:

 

x^3 = t

t^2 - 7t + 6 = 0

 

Löse die erhaltene quadratische Gleichung:

 

\displaystyle t = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 24} }{2} = \frac{7 \pm 5}{2}

 

Das heißt,

 

\displaystyle t_1 = \frac{12}{2} = 6 \qquad t_2 = \frac{2}{2} = 1

 

Mache die Variablenänderung rückgängig, um die Lösungen der Gleichung zu finden:

 

x^3 = 6 \qquad \to \qquad x_1 = \sqrt[3]{6}, \quad x_2, x_3 \notin \mathbb{R}

x^3 = 1 \qquad \to \qquad x_4 = \sqrt[3]{1} = 1, \quad x_5, x_6 \notin \mathbb{R}

 

In diesem Fall hat die triquadratische Gleichung nur zwei reelle Lösungen:

 

x_1 = \sqrt[3]{6}, \quad x_4 = 1, \quad x_2, x_3, x_5, x_6 \notin \mathbb{R}

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Anna