Aufgaben & Lösungen zu linearen Gleichungen

Ein Vater ist 35 Jahre alt und sein Sohn ist 5 Jahre alt. Nach wie vielen Jahren wird das Alter des Vaters dreimal so hoch sein wie das Alter des Sohnes?

Alter des Kindes in x Jahren: 5 + x

Alter des Vaters in x Jahren: 35 + x

Das Alter des Vaters entspricht dem Dreifachen des Alters des Kindes in x Jahren

35 + x = 3 · (5 + x )

Löse die Klammern auf

35 + x = 15 + 3x

Fasse gleiche Terme zusammen und dividiere durch 2

20 = 2 · x             x = 10

Nach 10 Jahren.

Subtrahiert man eine Zahl zweimal durch die Hälfte, erhält man 54. Wie lautet die Zahl? Gesuchte Zahl: x Das Doppelte der Zahl: 2x Die Hälfte der Zahl: x/2 Wenn du die Hälfte von der doppelten Zahl subtrahierst, erhältst du 54

Entferne den Nenner, fasse Terme zusammen und eliminiere

Die Grundfläche eines Rechtecks ist doppelt so groß wie seine Höhe. Was sind seine Abmessungen, wenn der Umfang 30 cm beträgt? Höhe: x Grundfläche: 2x Der Umfang eines Rechtecks ist die Summe aus der doppelten Höhe (x) plus der doppelten Grundfläche (2x)

2 · x + 2 · 2x = 30

Addiere und eliminiere

2x + 4x = 30      6x = 30      x = 5

Höhe 5 cm

Grundfläche  10 cm

In einer Versammlung gibt es doppelt so viele Frauen wie Männer und dreimal so viele Kinder wie Männer und Frauen zusammen. Wie viele Männer, Frauen und Kinder sind anwesend, wenn die Versammlung aus 96 Personen besteht? Männer: x Frauen: 2x

Kinder: 3 · (x + 2x) = 3 · 3x = 9x

Insgesamt gibt es 96 Personen

x + 2x + 9x = 96

Addiere und eliminiere

12x = 96           x = 8

Männer:  8

Frauen: 2 · 8 = 16

Kinder: 9 · 8 = 72

7/8 eines Ölkanisters wurde verbraucht. Man füllt 38 Liter nach und der Kanister ist nun zu 3/5 gefüllt. Berechne das Fassungsvermögen des Kanisters. x steht für das Fassungsvermögen des Kanisters und da du bereits 7/8 seines Fassungsvermögens verbraucht hast, bleibt folgendes übrig:

Wenn du 38 L nachfüllst, werden 3/5 der Kapazität des Fasses gefüllt

Entferne die Nenner, das kleinste gemeinsame Vielfache ist (8, 5) = 40

Fasse gleiche Terme zusammen

Ein Bauernhof hat Schweine und Truthähne, insgesamt sind es 35 Köpfe und 116 Beine. Wie viele Schweine und Truthähne gibt es? Schweine: x Truthähne: 35 - x Die Gesamtzahl der Beine wird viermal die Anzahl der Schweine plus zweimal die Anzahl der Truthähne sein.

4x + 2 · (35 − x) = 116

Löse die Klammern auf

4x + 70 − 2x = 116

Fasse gleiche Terme zusammen und eliminiere

2x = 46          x = 23

Schweine:  23

Truthähne: 35 − 23 = 12

In einer Buchhandlung kauft Anna mit einem Drittel ihres Geldes ein Buch und mit zwei Dritteln des Restgeldes einen Comic. Als sie die Buchhandlung verließ, hatte sie 12 €. Wie viel Geld hatte Anna vor dem Einkauf? Gesamt: x

Buch:

Comic:  

Das Geld für das Buch, plus das Geld für das Comic, plus das übriggebliebene Geld entspricht dem Gesamtgeld

Eliminiere die Nenner

Fasse gleiche Terme zusammen

Die beiden Ziffern einer Zahl sind aufeinanderfolgend. Die Größere ist der Zehner und die Kleinere ist der Einser. Die Zahl ist gleich dem Sechsfachen der Summe der Ziffern. Wie lautet die Zahl? Einser: x Zehner: x + 1 Wenn du eine zweistellige Zahl hast, zum Beispiel 65, kannst du sie wie folgt zerlegen: 6 · 10 + 5.

Die zweistellige Nummer ist: (x +1) · 10 + x

Da diese Zahl sechsmal größer ist als die Summe ihrer Ziffern: x + x + 1 = 2x + 1, erhälst du:

(x +1) · 10 + x = 6 (2x + 1)

Löse die Klammern auf

10x + 10 + x = 12 x + 6

Fasse gleiche Terme zusammen

10 x + x − 12x = 6 − 10

Addiere und multipliziere mit -1

−x = −4       x = 4

Einser: 4 Zehner: 4 + 1 = 5 Gesuchte Zahl: 54

Drei Viertel des Alters von Johannes Vater ist in 15 Jahren das gleiche wie das aktuelle Alter von Johannes. Vor vier Jahren war das Alter des Vaters doppelt so hoch wie das des Sohnes. Finde das Alter von beiden.

	Johannes	Vater von Johannes
Vor 4 Jahren	x	2x
Heute	x + 4	2x + 4

Löse die Klammern auf

Eliminiere die Nenner

Entferne erneut die Klammern

Fasse gleiche Terme zusammen

Addiere und eliminiere

Das Alter von Johannes: 32 + 4 = 36.

Das Alter des Vaters: 2 · 32 + 4 = 68.

  Bei gemeinsamer Arbeit benötigen zwei Angestellte 14 Stunden, um eine Aufgabe zu erledigen. Wie lange brauchen sie dafür getrennt, wenn einer doppelt so schnell ist wie der andere?

	Schnell	Langsam
Zeit	x	2x
Arbeitszeit	1/x	1/2x

Berechne das kleinste gemeinsame Vielfache, um die Nenner eliminieren zu können

Schnell: 21 Stunden

Langsam: 42 Stunden

  Finde den Wert der drei Winkel eines Dreiecks, wenn du weißt, dass B um 40° größer ist als C und dass A um 40° größer ist als B.

C:  x

B:  x + 40

A:  x + 40 + 40 = x+ 80

Die Summe der Winkel eines Dreiecks ist gleich 180º

x + x + 40 + x+ 80 = 180

Fasse gleiche Terme zusammen

 x + x + x = 180 − 40 − 80

Addiere und eliminiere

 3x = 60;    x= 20

C = 20º         B = 20º + 40º = 60º            A = 60º + 40º = 100º