Irrationale Gleichungen, oder Gleichungen mit Radikalen, sind solche, die die Unbekannte unter dem Radikalzeichen haben.

\sqrt{x+7}+2=2x
 

Schritte zum Lösen irrationaler Gleichungen

1Ein Radikal wird in einem der beiden Glieder isoliert und übergibt dem anderen Glied den Rest der Terme, auch wenn diese ebenfalls Radikale haben.

2Die beiden Glieder sind quadratisch.

3Die erhaltene Gleichung wird gelöst.

4Prüfe, ob die erhaltenen Lösungen die Anfangsgleichung verifizieren. Du musst berücksichtigen, dass du beim Quadrieren einer Gleichung eine andere Gleichung erhältst, die die gleichen Lösungen wie die gegebene hat. Zudem ändert sich das Vorzeichen und zusätzlich die der Gleichung, die du erhältst, wenn man das Vorzeichen eines der Glieder der Gleichung ändert.

5Wenn die Gleichung mehrere Radikale enthält, werden die ersten beiden Phasen des Prozesses wiederholt, bis alle Radikale eliminiert sind.

1\sqrt{2x-3}-3=-1

 

1Isoliere das Radikal.
\sqrt{2x-3}-3=-1 \Rightarrow \sqrt{2x-3}=-1+3 \Rightarrow \sqrt{2x-3}=2
2Qiadriere die beiden Seiten der Gleichung.
\big(\sqrt{2x-3}\big)^2=2^2 \Rightarrow 2x-3=4
3Löse die Gleichung.
2x-3=4 \Rightarrow x=\frac{7}{2}
4Prüfe, ob die erhaltenen Lösungenen die Anfangsgleichung bestätigen. Du setzt den Wert x=\frac{7}{2} in die ursprüngliche Gleichung ein und erhältst:
\sqrt{2(\frac{7}{2})-3}-3=-1 \Rightarrow \sqrt{7-3}-3=-1 \Rightarrow \sqrt{4}-3=-1
\Rightarrow 2-3=-1
Was auch stimmt, also ist die Lösung: x=\frac{7}{2}.

2\sqrt{x}=2-\sqrt{x-4}

 

1Isoliere das Radikal.
\sqrt{x}=2-\sqrt{x-4} \Rightarrow \sqrt{x-4}=2-\sqrt{x}
2Quadriere die beiden Seiten der Gleichung.
\sqrt{x-4}=2-\sqrt{x} \Rightarrow \big(\sqrt{x-4}\big)^2=\big(2-\sqrt{x}\big)^2
\Rightarrow x-4=4-4\sqrt{x}+x
3Löse die Gleichung.
x-4=4-4\sqrt{x}+x \Rightarrow 4\sqrt{x}=8 \Rightarrow \sqrt{x}=2
Du quadrierst beide Seiten der Gleichung und erhältst:
\sqrt{x}=2 \Rightarrow \big(\sqrt{x}\big)^2=(2)^2 \Rightarrow x=4
4Prüfe, ob die erhaltenen Lösungen die Anfangsgleichung bestätigen. Du setzt den Wert x=4 in die ursprüngliche Gleichung ein und erhältst:
\sqrt{(4)}=2-\sqrt{(4)-4} \Rightarrow \sqrt{4}=2
Was auch stimmt, also ist die Lösung: x=4.
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Anna