Überblick über die a-b-c-Formel

 

Um vorgegebene Aufgaben zu lösen, wird die a-b-c-Formel für Gleichungen zweiten Grades verwendet:

 

\displaystyle x = \frac {-b \pm \sqrt {b^2 - 4ac}}{2a}

 

Diese Formel wird verwendet, um eine Gleichung zweiten Grades vom folgenden Typ zu lösen

 

\displaystyle ax^{2}+bx+c=0  wobei  \displaystyle a \neq 0

 

Die Anwendung dieser Methode ist sehr einfach, da wir die Gleichungen nur null setzen müssen und die Werte für a, b, c in die a-b-c-Formel einsetzen müssen.

 

Beim Lösen einer Gleichung zweiten Grades können 3 Dinge auftreten:

  • Es gibt 2 Werte für die Variable x, die die Gleichung erfüllen.
  • Es gibt eine einzige Lösung.
  • Die Lösung gehört nicht zum System der reellen Zahlen.

Übungsaufgaben zu quadratischen Gleichungen

 

1 x^{2}-5x+6=0

 

x^{2}-5x+6=0

 

1 Wir ermitteln die Werte für a, b und c

 

a=1 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; b=-5 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; c=6

 

2 Wir setzen in die a-b-c-Formel ein und lösen

 

x=\cfrac{-(-5)\pm \sqrt{(-5)^{2}-(4)(1)(6)}}{(2)(1)}

 

x=\cfrac{5\pm \sqrt{25-24}}{2}

 

x=\cfrac{5\pm \sqrt{1}}{2}

 

x=\cfrac{5\pm 1}{2}

 

\begin{matrix} x_{1}=\cfrac{5+1}{2} & & x_{2}=\cfrac{5-1}{2} \\ & & \\ x_{1}=\cfrac{6}{2} & & x_{2}=\cfrac{4}{2} \\ & & \\ x_{1}= 3 & & x_{2}=2 \end{matrix}

 

3 Die Gleichung hat zwei verschiedene reelle Lösungen

 

x_{1}= 3 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; x_{2}=2

 

 

2 2x^{2}-7x+3=0

 

2x^{2}-7x+3=0

 

1 Wir ermitteln die Werte für a, b und c

 

a=2 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; b=-7 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; c=3

 

2 Wir setzen in die a-b-c-Formel ein und lösen

 

x=\cfrac{-(-7)\pm \sqrt{(-7)^{2}-(4)(2)(3)}}{(2)(2)}

 

x=\cfrac{7\pm \sqrt{49-24}}{4}

 

x=\cfrac{7\pm \sqrt{25}}{4}

 

x=\cfrac{7\pm 5}{4}

 

\begin{matrix} x_{1}=\cfrac{7+5}{4} & & x_{2}=\cfrac{7-5}{4} \\ & & \\ x_{1}=\cfrac{12}{4} & & x_{2}=\cfrac{2}{4} \\ & & \\ x_{1}= 3 & & x_{2}=\cfrac{1}{2} \end{matrix}

 

3 Die Gleichung hat zwei verschiedene reelle Lösungen

 

x_{1}= 3 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; x_{2}=\cfrac{1}{2}

 

 

3 -x^{2}+7x-10=0

 

-x^{2}+7x-10=0

 

1 Wir ermitteln die Werte für a, b und c

 

a=-1 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; b=7 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; c=-10

 

2 Wir setzen in die a-b-c-Formel ein und lösen

 

x=\cfrac{-7\pm \sqrt{7^{2}-(4)(-1)(-10)}}{(2)(-1)}

 

x=\cfrac{-7\pm \sqrt{49-40}}{-2}

 

x=\cfrac{-7\pm \sqrt{9}}{-2}

 

x=\cfrac{-7\pm 3}{-2}

 

\begin{matrix} x_{1}=\cfrac{-7+3}{-2} & & x_{2}=\cfrac{-7-3}{-2} \\ & & \\ x_{1}=\cfrac{-4}{-2} & & x_{2}=\cfrac{-10}{-2} \\ & & \\ x_{1}= 2 & & x_{2}=5 \end{matrix}

 

3 Die Gleichung hat zwei verschiedene reelle Lösungen

 

x_{1}= 2 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; x_{2}=5

 

 

4 x^{2}-2x+1=0

 

x^{2}-2x+1=0

 

1 Wir ermitteln die Werte für a, b und c

 

a=1 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; b=-2 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; c=1

 

2 Wir setzen in die a-b-c-Formel ein und lösen

 

x=\cfrac{-(-2)\pm \sqrt{(-2)^{2}-(4)(1)(1)}}{(2)(1)}

 

x=\cfrac{2\pm \sqrt{4-4}}{2}

 

x=\cfrac{2\pm \sqrt{0}}{2}

 

x=\cfrac{2\pm 0}{2}

 

x=\cfrac{2}{2}=1

 

3 Die Gleichung hat nur eine reelle Lösung

 

x=1

 

 

5 x^{2}+x+1=0

 

x^{2}+x+1=0

 

1 Wir ermitteln die Werte für a, b und c

 

a=1 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; b=1 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; c=1

 

2 Wir setzen in die a-b-c-Formel ein und lösen

 

x=\cfrac{-1\pm \sqrt{1^{2}-(4)(1)(1)}}{(2)(1)}

 

x=\cfrac{-1\pm \sqrt{1-4}}{2}

 

x=\cfrac{-1\pm \sqrt{-3}}{2}

 

\cfrac{-1\pm \sqrt{-3}}{2}\notin \mathbb{R}

 

3 Die Gleichung hat keine reelle Zahl als Lösung.

 

 

6 x^{2}-4x+4=0

 

x^{2}-4x+4=0

 

1 Wir ermitteln die Werte für a, b und c

 

a=1 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; b=-4 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; c=4

 

2 Wir setzen in die a-b-c-Formel ein und lösen

 

x=\cfrac{-(-4)\pm \sqrt{(-4)^{2}-(4)(1)(4)}}{(2)(1)}

 

x=\cfrac{4\pm \sqrt{16-16}}{2}

 

x=\cfrac{4\pm \sqrt{0}}{2}

 

x=\cfrac{4\pm 0}{2}\in \mathbb{R}

 

x=2

 

3 Die Gleichung hat nur eine reelle Lösung.

 

x=2

 

 

7 2x-3=1-2x+x^{2}

 

2x-3=1-2x+x^{2}

 

1 Wir bringen alle Terme auf eine Seite der Gleichung, um folgende Form zu erhalten ax^{2}+bx+c=0

 

-x^{2}+4x-4=0

 

2 Wir ermitteln die Werte für a, b und c

 

a=-1 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; b=4 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; c=-4

 

3 Wir setzen in die a-b-c-Formel ein und lösen

 

x=\cfrac{-4\pm \sqrt{4^{2}-(4)(-1)(-4)}}{(2)(-1)}

 

x=\cfrac{-4\pm \sqrt{16-16}}{-2}

 

x=\cfrac{-4\pm \sqrt{0}}{-2}

 

x=\cfrac{-4\pm 0}{-2}

 

x=2

 

3 Die Gleichung hat nur eine reelle Lösung.

 

x=2

 

 

8 x^{2}+(7-x)^{2}=25

 

x^{2}+(7-x)^{2}=25

 

1 Wir lösen das Binom zum Quadrat

 

x^{2}+49-14x+x^{2}=25

 

2 Wir bringen alle Terme auf eine Seite und ordnen sie, um die Gleichung in folgender Form darzustellen ax^2+bx+c=0

 

2x^{2}-14x+24=0

 

3 Wir ermitteln die Werte für a, b und c

 

a=2 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; b=-14 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; c=24

 

4 Wir setzen in die a-b-c-Formel ein und lösen

 

x=\cfrac{-(-14)\pm \sqrt{(-14)^{2}-(4)(2)(24)}}{(2)(2)}

 

x=\cfrac{14\pm \sqrt{196-192}}{4}

 

x=\cfrac{14\pm \sqrt{4}}{4}

 

x=\cfrac{14\pm 2}{4}

 

\begin{matrix} x=\cfrac{14+2}{4} & & x=\cfrac{14-2}{4}\\ & & \\ x=\cfrac{16}{4} & & x=\cfrac{12}{4}\\ & & \\ x=4 & & x=3 \end{matrix}

 

5 Die Gleichung hat zwei reelle Lösungen.

 

x_{1}=4\; \; \; \; \; x_{2}=3

 

 

9 7x^{2}+21x-28=0

 

7x^{2}+21x-28=0

 

1 In diesem Fall können wir beide Seiten der Gleichung zur Vereinfachung durch 7 dividieren

 

x^{2}+3x-4=0

 

2 Wir ermitteln die Werte für a, b und c

 

a=1 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; b=3 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; c=-4

 

3 Wir setzen in die a-b-c-Formel ein und lösen

 

x=\cfrac{-3\pm \sqrt{3^{2}-(4)(1)(-4)}}{(2)(1)}

 

x=\cfrac{-3\pm \sqrt{9+16}}{2}

 

x=\cfrac{-3\pm \sqrt{25}}{2}

 

x=\cfrac{-3\pm 5}{2}

 

\begin{matrix} x=\cfrac{-3+5}{2} & & x=\cfrac{-3-5}{2}\\ & & \\ x=\cfrac{2}{2} & & x=\cfrac{-8}{2}\\ & & \\ x=1 & & x=-4 \end{matrix}

 

4 Die Gleichung hat zwei reelle Lösungen.

 

x_{1}=1\; \; \; \; \; x_{2}=-4

 

 

10-x^2 + 4x - 7 = 0

 

-x^2 + 4x - 7 = 0

 

1 Wir multiplizieren beide Seiten mit -1, um eine Gleichung mit a > 0 zu erhalten

 

x ^2- 4x + 7 = 0

 

\displaystyle \frac{4 \pm \sqrt{16 - 28}}{2}= \frac{4 \pm \sqrt{-12}}{2}  \notin \mathbb{R}

 

2 Die Gleichung hat keine reellen Lösungen

 

11 18=6x+x(x-13)

 

18=6x+x(x-13)

 

1 Wir wenden das Distributivgesetz an, um die Klammer aufzulösen und erhalten:

 

18=6x+x^{2}-13x

 

2 Wir bringen alle Terme auf die linke Seite der Gleichung

 

x^{2}-7x-18=0

 

3 Wir ermitteln die Werte für a, b und c

 

a=1 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; b=-7 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; c=-18

 

4 Wir setzen in die a-b-c-Formel ein und lösen

 

x=\cfrac{-(-7)\pm \sqrt{(-7)^{2}-(4)(1)(-18)}}{(2)(1)}

 

x=\cfrac{7\pm \sqrt{49+72}}{2}

 

x=\cfrac{7\pm \sqrt{121}}{2}

 

x=\cfrac{7\pm 11}{2}

 

\begin{matrix} x_{1}=\cfrac{7+11}{2} & & x_{2}=\cfrac{7-11}{2}\\ & & \\ x_{1}=\cfrac{18}{2} & & x_{2}=\cfrac{-4}{2}\\ & & \\ x_{1}=9 & & x_{2}=-2 \end{matrix}

 

5 Die Gleichung hat zwei reelle Lösungen.

 

x_{1}=9\; \; \; \; \; x_{2}=-2

 

 

12 6x^{2}-5x+1=0

 

6x^{2}-5x+1=0

 

1 Wir ermitteln die Werte für a, b und c

 

a=6 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; b=-5 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; c=1

 

2 Wir setzen in die a-b-c-Formel ein und lösen

 

x=\cfrac{-(-5)\pm \sqrt{(-5)^{2}-(4)(6)(1)}}{(2)(6)}

 

x=\cfrac{5\pm \sqrt{25-24}}{12}

 

x=\cfrac{5\pm \sqrt{1}}{12}

 

x=\cfrac{5\pm 1}{12}

 

\begin{matrix} x_{1}=\cfrac{5+1}{12} & & x_{2}=\cfrac{5-1}{12} \\ & & \\ x_{1}=\cfrac{6}{12} & & x_{2}=\cfrac{4}{12} \\ & & \\ x_{1}= \cfrac{1}{2} & & x_{2}= \cfrac{1}{3} \end{matrix}

 

3 Die Gleichung hat zwei verschiedene reelle Lösungen

 

x_{1}= \cfrac{1}{2} \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; x_{2}== \cfrac{1}{3}

 

 

13 x^{2}+(x+2)^{2}=580

 

x^{2}+(x+2)^{2}=580

 

1 Wir lösen das Binom zum Quadrat

 

x^{2}+x^{2}+4x+4=580

 

2 Wir bringen alle Terme auf eine Seite und ordnen sie, um die Gleichung wie folgt darzustellen ax^2+bx+c=0

 

2x^{2}+4x-576=0

 

3 Wir dividieren beide Seiten zur Vereinfachung durch 2

 

x^{2}+2x-288=0

 

4 Wir ermitteln die Werte für a, b und c

 

a=1 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; b=2 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; c=-288

 

5 Wir setzen in die a-b-c-Formel ein und lösen

 

x=\cfrac{-2\pm \sqrt{2^{2}-(4)(1)(-288)}}{(2)(1)}

 

x=\cfrac{-2\pm \sqrt{4+1152}}{2}

 

x=\cfrac{-2\pm \sqrt{1156}}{2}

 

x=\cfrac{-2\pm 34}{2}

 

\begin{matrix} x=\cfrac{-2+34}{2} & & x=\cfrac{-2-34}{2}\\ & & \\ x=\cfrac{32}{2} & & x=\cfrac{-36}{2}\\ & & \\ x=16 & & x=-18 \end{matrix}

 

6 Die Gleichung hat zwei reelle Lösungen.

 

x_{1}=16\; \; \; \; \; x_{2}=-18

 

 

14 x^{2}-5x-84=0

 

x^{2}-5x-84=0

 

1 Wir ermitteln die Werte für a, b und c

 

a=1 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; b=-5 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; c=-84

 

2 Wir setzen in die a-b-c-Formel ein und lösen

 

x=\cfrac{-(-5)\pm \sqrt{(-5)^{2}-(4)(1)(-84)}}{(2)(1)}

 

x=\cfrac{5\pm \sqrt{25+336}}{2}

 

x=\cfrac{5\pm \sqrt{361}}{2}

 

x=\cfrac{5\pm 19}{2}

 

\begin{matrix} x_{1}=\cfrac{5+19}{2} & & x_{2}=\cfrac{5-19}{2} \\ & & \\ x_{1}=\cfrac{24}{2} & & x_{2}=\cfrac{-14}{2} \\ & & \\ x_{1}= 12 & & x_{2}=-7 \end{matrix}

 

3 Die Gleichung hat zwei verschiedene reelle Lösungen

 

x_{1}= 12 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; x_{2}=-7

 

 

15 4x^{2}-6x+2=0

 

4x^{2}-6x+2=0

 

1 Wir ermitteln die Werte für a, b und c

 

a=4 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; b=-6 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; c=2

 

2 Wir setzen in die a-b-c-Formel ein und lösen

 

x=\cfrac{-(-6)\pm \sqrt{(-6)^{2}-(4)(4)(2)}}{(2)(4)}

 

x=\cfrac{6\pm \sqrt{36-32}}{8}

 

x=\cfrac{6\pm \sqrt{4}}{8}

 

x=\cfrac{6\pm 2}{8}

 

\begin{matrix} x_{1}=\cfrac{6+2}{8} & & x_{2}=\cfrac{6-2}{8} \\ & & \\ x_{1}=\cfrac{8}{8} & & x_{2}=\cfrac{4}{8} \\ & & \\ x_{1}= 1 & & x_{2}=\cfrac{1}{2} \end{matrix}

 

3 Die Gleichung hat zwei verschiedene reelle Lösungen

 

x_{1}= 1 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; x_{2}=\cfrac{1}{2}

 

 

16 x^{2}-\cfrac{7}{6}\, x+\cfrac{1}{3}=0

 

x^{2}-\cfrac{7}{6}\, x+\cfrac{1}{3}=0

 

1 Wir multiplizieren die linke Seite der Gleichung mit 6 und die rechte Seite der Gleichung mit 2, um den Nenner (6) zu entfernen und erhalten somit:

 

6x^{2}-7x+2=0

 

2 Wir ermitteln die Werte für a, b und c

 

a=6 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; b=-7 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; c=2

 

3 Wir setzen in die a-b-c-Formel ein und lösen

 

x=\cfrac{-(-7)\pm \sqrt{(-7)^{2}-(4)(6)(2)}}{(2)(6)}

 

x=\cfrac{7\pm \sqrt{49-48}}{12}

 

x=\cfrac{7\pm \sqrt{1}}{12}

 

x=\cfrac{7\pm 1}{12}

 

\begin{matrix} x_{1}=\cfrac{7+1}{12} & & x_{2}=\cfrac{7-1}{12}\\ & & \\ x_{1}=\cfrac{8}{12} & & x_{2}=\cfrac{6}{12}\\ & & \\ x_{1}=\cfrac{2}{3} & & x_{2}=\cfrac{1}{2} \end{matrix}

 

4 Die Gleichung hat zwei reelle Lösungen.

 

x_{1}=\cfrac{2}{3}\; \; \; \; \; x_{2}=\cfrac{1}{2}

 

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Katrin

Ich bin staatlich geprüfte Übersetzerin & Dolmetscherin mit den Arbeitssprachen Englisch, Spanisch, Deutsch. Meine Ausbildung habe ich am SDI München mit dem Fachgebiet Technik abvsolviert und übersetze hauptsächlich im technischen sowie mathematisch-naturwissenschaftlichen Bereich. Bei Superprof darf ich die Mathe-Expert*innen unterstützen, indem ich ihre Artikel ins Deutsche übersetze.