Quadratische Gleichungen

 

Eine quadratische Gleichung liegt beliebig in dieser Form vor:

 

ax^{2}+bx+c=0 con a \neq 0

 

Sie wird durch die folgende Formel gelöst:

 

 

\displaystyle x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

 

 

Für den Fall, dass a<0, multiplizierst du die beiden Glieder mit (-1)

 

Erster Typ der unvollständigen quadratischen Gleichung

 

ax^{2}=0

 

Die Lösung ist x=0

 

Zweiter Typ der unvollständigen quadratischen Gleichung

 

ax^{2}+bx=0

Extrahiere den gemeinsamen Faktor x.

 

Setze jeden Faktor auf 0 und löse die linearen Gleichungen.

 

x=0

 

ax+b=0

 

x=-\frac{b}{a}

 

 

Dritter Typ der unvollständigen quadratischen Gleichung

 

ax^{2}+c=0

Eliminiere:

 

 \displaystyle ax^{2}=-c \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  x^{2}= \frac{-c}{a} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  x= \pm \sqrt {\frac{-c}{a}}

Die beiden möglichen Lösungen x_1, x_2 werden wie folgt berechnet:

 

\displaystyle x_1= \sqrt {\frac {-c}{a}}

\displaystyle x_1= \sqrt {- \frac {-c}{a}}

 

Untersuchung der Lösungen

 

Wie du bereits weißt, liegen quadratische Gleichungen in folgender Form vor:

 

ax^{2}+bx+c=0 con a \neq 0

 

und werden wie folgt aufgelöst:

Quadratische Gleichungen lösen mit Mitternachtsformel und Diskriminante

 

b^{2}-4ac

wird die Diskriminante der Gleichung genannt und ermöglicht es, in jeder Gleichung die Anzahl der Lösungen herauszufinden.

Du kannst drei Fälle unterscheiden:

 

Erster Fall

 

b^{2}-4ac > 0

In diesem Fall, wenn die Determinante größer als 0 ist, hat die Gleichung zwei Lösungen, die unterschiedliche reelle Zahlen sind.

 

Zweiter Fall

b^{2}-4ac = 0

In diesem Fall, wenn die Determinante gleich 0 ist, hat die Gleichung eine Doppellösung.

 

Dritter Fall

 

b^{2}-4ac < 0

In diesem Fall, wenn die Determinante kleiner als 0 ist, hat die Gleichung keine reellen Lösungen.

 

Eigenschaften der Lösungen

 

Die Summe der Lösungen einer quadratischen Gleichung ist gleich:

 

\displaystyle x_1 + x_2= \frac {-b}{a}

Das Produkt der Lösungen einer quadratischen Gleichung ist gleich:

 

\displaystyle x_1 \cdot  x_2= \frac {c}{a}

Die quadratische Gleichung aus ihren Lösungen

 

Wenn du die Wurzeln einer Gleichung kennst, kannst du sie wie folgt schreiben:

 

x^{2}-Sx+P=0

 

Wobei S=x_1 + x_2 y P= x_1 \cdot x_2 ist

Faktorisierung eines quadratischen Trinoms

 

ax^{2}+ bx+c=0

 

a \cdot (x-x_1) \cdot (x-x_2)=0

 

Rationale Gleichungen

 

Rationale Gleichungen sind Gleichungen, in denen Polynombrüche vorkommen.

 

Um sie zu lösen, multiplizierst du beide Glieder der Gleichung mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Nenner.

 

Du musst die Lösungen überprüfen, um mögliche seltsame Lösungen auszuschließen, die aus der umgewandelten Gleichung stammen (die sich aus der Multiplikation mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen ergibt), die aber nicht aus der ursprünglichen Gleichung stammen.

 

Biquadratische Gleichungen

 

Biquadratische Gleichungen sind Gleichungen vierten Grades, die keine Terme ungeraden Grades enthalten:

 

ax^{4}+ bx^{2}+c=0

Um sie zu lösen, nimmst du folgende Änderung vor:

 

x^{2}=t, x^{4}=t^{2}

 

Dies ergibt eine quadratische Gleichung mit der Unbekannten t:

 

at^{2}+ bt+c=0

Für jeden positiven Wert von t gibt es zwei Werte von t:

 

x= \pm \sqrt{t}

 

Irrationale Gleichungen

 

Irrationale Gleichungen sind solche, die mindestens ein Polynom unter dem Vorzeichen des Radikals haben.

 

Lösungsschritte für irrationale Gleichungen

 

1 Isoliere ein Radikal in einem der beiden Glieder und bringe den Rest der Terme auf die andere Seite der Gleichung, auch wenn diese ebenfalls Radikale haben.

 

2 Quadriere auf beiden Seiten.

 

3 Löse die erhaltene Gleichung.

 

4 Überprüfe, ob die erhaltenen Lösungen die Anfangsgleichung bestätigen. Du musst berücksichtigen, dass du beim Quadrieren einer Gleichung eine andere Gleichung erhältst, die die gleichen Lösungen wie die gegebene hat. Zusätzlich musst du wissen, dass sich das Vorzeichen eines der Glieder der erhaltenen Gleichung ändert.

 

5 Wiederhole die ersten beiden Phasen des Prozesses, wenn die Gleichung mehrere Radikale enthält, bis schließlich alle Radikale eliminiert sind.

 

Gleichungen höheren Grades

 

Es handelt sich dabei um eine Gleichung beliebigen Grades und liegt in folgender Form von:

 

P(x)=0

 

Das Polynom P(x) kann in lineare und quadratische Faktoren zerlegt werden. Dann genügt es, jeden der Faktoren gleich Null zu setzen und die resultierenden linearen und quadratischen Gleichungen zu lösen.

 

Verwende den Restsatz und die Ruffini-Regel.

 

Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Unbekannten

 

Gauß-Verfahren

 

Diese Methode besteht darin, die Reduktionsmethode so anzuwenden, dass du in jeder Gleichung eine Unbekannte weniger hast als in der vorangegangenen Gleichung.

 

1 Setze als erste Gleichung diejenige mit dem kleinsten Koeffizienten in x ein.

 

2 Führe eine Reduktion mit der ersten und zweiten Gleichung durch, um x aus der zweiten Gleichung zu eliminieren. Setze dann als zweite Gleichung das Ergebnis der Berechnung ein:

 

E'_2=E_2-3E_1

 

3 Mache das Gleiche mit der ersten und dritten Gleichung, um x zu eliminieren.

 

E'_3=E_3-5E_1

 

4 Nimm die zweite und dritte umgeformte Gleichung, um eine Reduktion vorzunehmen und y zu eliminieren.

 

E''_3=E'_3-2E'_2

5 Du erhältst das äquivalente Gleichungssystem.

 

6 Finde die Lösungen.

 

Nichtlineare Gleichungssysteme

 

Ein Gleichungssystem ist nichtlinear, wenn mindestens eine seiner Gleichungen nicht linear ist.

 

Die Auflösung dieser Systeme erfolgt in der Regel durch die Substitutionsmethode, dazu befolgt man die folgenden Schritte:

 

1 Eliminiere eine der Unbekannten in einer der Gleichungen, vorzugsweise in der linearen Gleichung.

 

2 Setze den Wert der Unbekannten in die andere Gleichung ein.

 

3 Löse die resultierende Gleichung.

 

4 Jeder der erhaltenen Werte wird in die andere Gleichung eingesetzt, wodurch du die entsprechenden Werte der anderen Unbekannten erhältst.

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Anna