Kapitel

Eine quadratische Gleichung ist ein beliebiger Ausdruck der Form:

{ax^2 + bx + c = 0,} con {a \neq 0}

 

Die quadratische Gleichung wird durch Anwendung der folgenden Formel gelöst:

 

{\displaystyle x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 -4ac}}{2a}}

 

Beispiel: Finde die Lösungen von {6x^2 - 5x + 1 = 0}

 

1 Finde zuerst die Werte der Koeffizienten

 

{a = 6, \ \ b = -5, \ \ c = 1}

 

2 Setze dann die Werte in die Formel ein und löse die Gleichung

 

{\begin{array}{rcl}\displaystyle x & = & \displaystyle \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 -4(6)(1)}}{2(6)} \\\\ & = & \displaystyle \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{12} \\\\ & = & \displaystyle \frac{5 \pm \sqrt{1}}{12} \\\\ & = & \displaystyle \frac{5 \pm 1}{12} \end{array}}

 

3 Du stellst fest, dass sich für {x}, zwei Werte ergeben, die üblicherweise durch {x_1, x_2}

 

{\displaystyle x = \left \{ \begin{array}{l} x_1 = \displaystyle \frac{5 + 1}{12} = \frac{6}{12} \\\\ x_2 = \displaystyle \frac{5 - 1}{12} = \frac{4}{12} \end{array} \right. }

 

4 Vereinfache die Ergebnisse und du erhältst

 

{\begin{array}{l} x_1 = \displaystyle \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \\\\ x_2 = \displaystyle \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \end{array} }

 

Diskriminante und Lösungsarten

 

Der Radikand der Quadratwurzel, den du in der Formel zur Lösung einer quadratischen Gleichung findest, wird als Diskriminante bezeichnet

 

{\displaystyle b^2 -4ac}

 

Aus der Diskriminante ist es möglich, die Art der Lösungen der quadratischen Gleichung zu erkennen

 

1 Wenn {\displaystyle b^2 -4ac > 0}, dann sind {\displaystyle x_1, x_2} reale und eindeutige Lösungen.

 

2 Wenn {\displaystyle b^2 -4ac = 0}, dann sind {\displaystyle x_1, x_2} reelle und gleiche Lösungen.

 

3 Wenn {\displaystyle b^2 -4ac < 0}, dann hat die Gleichung keine reellen Lösungen.

 

Beispiel: Bestimme die Arten von Lösungen für {\displaystyle 6x^2 - 5x + 1}

 

Die Koeffizienten sind {a = 6, \ \ b = -5, \ \ c = 1}

 

Setze die Werte in die Formel ein und löse die Gleichung

 

{\begin{array}{l}\displaystyle b^2 - 4ac = \displaystyle (-5)^2 - 4(6)(1) = 1 \end{array}}

 

Da die Diskriminante größer als Null ist, hat die quadratische Gleichung zwei reelle und eindeutige Lösungen.

 

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Los geht's

Übungen zu quadratischen Gleichungen aus deren Lösungen

Finde die quadratischen Gleichungen, die folgende Lösungen haben:

1{x_1 = 2, \ x_2 = 5}

1Wenn du die Werte {x_1 = 2, \ x_2 = 5} der quadratischen Gleichung kennst, kannst du diese Gleichung folgendermaßen darstellen:

 

{x^2 - (x_1 + x_2)x + (x_1 \cdot x_2) = 0}

 

2Substituiere die Wurzeln und du erhältst:

 

{x^2 - (2 + 5)x + (2 \cdot 5) = 0}

 

3Die gesuchte Gleichung lautet also:

 

{x^2 - 7x + 10 = 0}

2{x_1 = -10, \ x_2 = -2}

1Wenn du die Wurzeln {x_1 = -10, \ x_2 = -2} der quadratischen Gleichung kennst, kannst du diese Gleichung folgendermaßen darstellen:

 

{x^2 - (x_1 + x_2)x + (x_1 \cdot x_2) = 0}

 

2Substituiere die Wurzeln und du erhältst:

 

{x^2 - (-10 - 2)x + (-10) \cdot (-2) = 0}

 

3Die gesuchte Gleichung lautet also:

 

{x^2 + 12x + 20 = 0}

3{x_1 = -7, \ x_2 = 8}

1Wenn du die Werte {x_1 = -7, \ x_2 = 8} der quadratischen Gleichung kennst, kannst du diese Gleichung folgendermaßen darstellen:

 

{x^2 - (x_1 + x_2)x + (x_1 \cdot x_2) = 0}

 

2Substituiere die Werte und du erhältst:

 

{x^2 - (-7 + 8)x + (-7) \cdot (8) = 0}

 

3Die gesuchte Gleichung lautet also:

 

{x^2 - x - 56 = 0}

4{x_1 = -6, \ x_2 = 6}

1Wenn du die Werte {x_1 = -6, \ x_2 = 6} der quadratischen Gleichung kennst, kannst du diese Gleichung folgendermaßen darstellen:

 

{x^2 - (x_1 + x_2)x + (x_1 \cdot x_2) = 0}

 

2Substituiere die Werte und du erhältst:

 

{x^2 - (-6 + 6)x + (-6) \cdot (6) = 0}

 

3Die gesuchte Gleichung lautet also:

 

{x^2 - 36 = 0}

5{x_1 = 0, \ x_2 = -7}

1Wenn du die Wurzeln {x_1 = 0, \ x_2 = -7} der quadratischen Gleichung kennst, kannst du diese Gleichung folgendermaßen darstellen:

 

{x^2 - (x_1 + x_2)x + (x_1 \cdot x_2) = 0}

 

2Substituiere die Werte und du erhältst:

 

{x^2 - (0 - 7)x + (0) \cdot (-7) = 0}

 

3Die gesuchte Gleichung lautet also:

 

{x^2 + 7x = 0}

6{x_1 = -3, \ x_2 = \displaystyle \frac{5}{11}}

1Wenn du die Werte {x_1 = -3, \ x_2 = \displaystyle \frac{5}{11}} der quadratischen Gleichung kennst, kannst du diese Gleichung folgendermaßen darstellen:

 

{x^2 - (x_1 + x_2)x + (x_1 \cdot x_2) = 0}

 

2Substituiere die Werte und du erhältst:

 

{x^2 - \left (-3 + \displaystyle \frac{5}{11} \right )x + (-3) \cdot \left ( \displaystyle \frac{5}{11} \right ) = 0}

 

3Die gesuchte Gleichung lautet also:

 

{x^2 + \displaystyle \frac{28}{11}x - \frac{15}{11} = 0}

 

4Die vorherige Gleichung kann mit ganzzahligen Koeffizienten ausgedrückt werden, dazu multiplizierst du beide Seiten der Gleichung mit {11}

 

{\begin{array}{rcl} (11) \left (x^2 + \displaystyle \frac{28}{11}x - \frac{15}{11} \right ) & = & (11) (0) \\\\ 11x^2 + 28x - 15 & = & 0 \end{array} }

7{x_1 = \displaystyle \frac{2}{3}, \ x_2 = \displaystyle \frac{5}{4}}

1Wenn du die Werte {x_1 = \displaystyle \frac{2}{3}, \ x_2 = \displaystyle \frac{5}{4}} der quadratischen Gleichung kennst, kannst du diese Gleichung folgendermaßen darstellen:

 

{x^2 - (x_1 + x_2)x + (x_1 \cdot x_2) = 0}

 

2Substituiere die Wurzeln und du erhältst:

 

{x^2 - \left (\displaystyle \frac{2}{3} + \frac{5}{4} \right )x + \left (\displaystyle \frac{2}{3} \right ) \cdot \left ( \displaystyle \frac{5}{4} \right ) = 0}

 

3Die gesuchte Gleichung lautet also:

 

{x^2 - \displaystyle \frac{23}{12}x + \frac{10}{12} = 0}

 

4Die vorherige Gleichung kann mit ganzzahligen Koeffizienten ausgedrückt werden, dazu multiplizierst du beide Seiten der Gleichung mit {12}

 

{\begin{array}{rcl} (12) \left (x^2 - \displaystyle \frac{23}{12}x + \frac{10}{12} \right ) & = & (12) (0) \\\\ 12x^2 - 23x + 10 & = & 0 \end{array} }

8{x_1 = \displaystyle \sqrt{2}, \ x_2 = \displaystyle \sqrt{3}}

1Wenn du die Werte {x_1 = \displaystyle \sqrt{2}, \ x_2 = \displaystyle \sqrt{3}} der quadratischen Gleichung kennst, kannst du diese Gleichung folgendermaßen darstellen:

 

{x^2 - (x_1 + x_2)x + (x_1 \cdot x_2) = 0}

 

2Substituierst die Werte und du erhältst:

 

{x^2 - \left (\displaystyle \sqrt{2} + \sqrt{3} \right )x + \left (\displaystyle \sqrt{2} \right ) \cdot \left ( \displaystyle \sqrt{3} \right ) = 0}

 

3Die gesuchte Gleichung lautet also:

 

{x^2 - \displaystyle \left (\displaystyle \sqrt{2} + \sqrt{3} \right )x + \sqrt{6} = 0}

 

Faktorisierung von quadratischen Gleichungen: Aufgaben

Faktorisiere die folgenden quadratischen Gleichungen

1{x^2 - 14x + 45 = 0}

11 Die Koeffizienten der quadratischen Gleichung sind: {a = 1, \ b = -14, \ c = 45}.

 

2 Setze die Werte in die Formel ein, um die Lösungen zu erhalten und löse

 

{\begin{array}{rcl}\displaystyle x & = & \displaystyle \frac{-(-14) \pm \sqrt{(-14)^2 -4(1)(45)}}{2(1)} \\\\ & = & \displaystyle \frac{14 \pm \sqrt{196 - 180}}{2} \\\\ & = & \displaystyle \frac{14 \pm \sqrt{16}}{2} \\\\ & = & \displaystyle \frac{5 \pm 4}{2} \end{array}}

 

3 Du stellt fest, dass sich für {x} zwei Werte ergeben, die üblicherweise durch {x_1, x_2} dargestellt werden.

 

{\begin{array}{l} x_1 = \displaystyle \frac{14 + 4}{2} = 9 \\\\ x_2 = \displaystyle \frac{14 - 4}{2} = 5 \end{array}}

 

4 Die gesuchte Faktorisierung ist gegeben durch {(x - x_1)(x - x_2) = 0}

 

{\begin{array}{rcl} (x - 9)(x - 5) & = & 0 \end{array} }

 

2{2x^2 - x - 1 = 0}

1Die Koeffizienten der quadratischen Gleichung sind: {a = 2, \ b = -1, \ c = -1}.

 

2 Setze die Werte in die Formel ein, um die Lösungen zu erhalten und löse

 

{\begin{array}{rcl}\displaystyle x & = & \displaystyle \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(2)(-1)}}{2(2)} \\\\ & = & \displaystyle \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4} \\\\ & = & \displaystyle \frac{1 \pm \sqrt{9}}{4} \\\\ & = & \displaystyle \frac{1 \pm 3}{4} \end{array}}

 

3 Du stellst fest, dass sich für {x}, zwei Werte ergeben, die üblicherweise durch {x_1, x_2} dargestellt werden.

 

{\begin{array}{l} x_1 = \displaystyle \frac{1 + 3}{4} = 1 \\\\ x_2 = \displaystyle \frac{1 - 3}{4} = -\frac{1}{2} \end{array}}

 

4 Die gesuchte Faktorisierung ist gegeben durch {(x - x_1)(x - x_2) = 0}

 

{\begin{array}{rcl} (x - 1) \left (x + \displaystyle \frac{1}{2} \right ) & = & 0 \end{array} }

 

5 Du kannst die Faktoren mit ganzzahligen Koeffizienten erhalten, schreibe dazu den zweiten Faktor mit einem gemeinsamen Nenner und multipliziere dann beide Seiten der Gleichung mit diesem Nenner

 

{\begin{array}{rcl} (x - 1) \left (x + \displaystyle \frac{1}{2} \right ) & = & 0 \\\\ (x - 1) \left (\displaystyle \frac{2x + 1}{2} \right ) & = & 0 \\\\ (2)(x - 1) \left (\displaystyle \frac{2x + 1}{2} \right ) & = & (2)(0) \\\\ (x - 1) \left (2x + 1 \right ) & = & 0 \end{array} }

 

3{6x^2 + 5x + 1 = 0}

1Die Koeffizienten der quadratischen Gleichung sind: {a = 6, \ b = 5, \ c = 1}.

 

2 Setze die Werte in die Formel ein, um die Lösungen zu erhalten und löse

 

{\begin{array}{rcl}\displaystyle x & = & \displaystyle \frac{-(5) \pm \sqrt{(5)^2 - 4(6)(1)}}{2(6)} \\\\ & = & \displaystyle \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 24}}{12} \\\\ & = & \displaystyle \frac{-5 \pm \sqrt{1}}{12} \\\\ & = & \displaystyle \frac{-5 \pm 1}{12} \end{array}}

 

3 Du stellst fest, dass sich für {x} zwei Werte ergeben, die üblicherweise durch {x_1, x_2} dargestellt werden

 

{\begin{array}{l} x_1 = \displaystyle \frac{-5 + 1}{12} = -\frac{1}{3} \\\\ x_2 = \displaystyle \frac{-5 - 1}{12} = -\frac{1}{2} \end{array}}

 

4 Die gesuchte Faktorisierung ist gegeben durch {(x - x_1)(x - x_2) = 0}

 

{\begin{array}{rcl} \left (x + \displaystyle \frac{1}{3} \right ) \left (x + \displaystyle \frac{1}{2} \right ) & = & 0 \end{array} }

 

5 Du kannst die Faktoren mit ganzzahligen Koeffizienten erhalten, schreibe dazu jeden Faktor mit einem gemeinsamen Nenner und multipliziere dann beide Seiten der Gleichung mit dem Produkt der beiden Nenner

 

{\begin{array}{rcl} \left (x + \displaystyle \frac{1}{3} \right ) \left (x + \displaystyle \frac{1}{2} \right ) & = & 0 \\\\ \left (\displaystyle \frac{3x + 1}{3} \right ) \left (\displaystyle \frac{2x + 1}{2} \right ) & = & 0 \\\\ (3 \cdot 2)\left (\displaystyle \frac{3x + 1}{3} \right ) \left (\displaystyle \frac{2x + 1}{2} \right ) & = & (3 \cdot 2)(0) \\\\ (3x + 1) \left (2x + 1 \right ) & = & 0 \end{array} }

 

4{x^2 + 2x}

1 Die Koeffizienten der quadratischen Gleichung sind: {a = 1, \ b = 2, \ c = 0}.

 

2 Setze die Werte in die Formel ein, um die Lösungen zu erhalten und löse

 

{\begin{array}{rcl}\displaystyle x & = & \displaystyle \frac{-(2) \pm \sqrt{(2)^2 -4(1)(0)}}{2(1)} \\\\ & = & \displaystyle \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 0}}{2} \\\\ & = & \displaystyle \frac{-2 \pm \sqrt{4}}{2} \\\\ & = & \displaystyle \frac{-2 \pm 2}{2} \end{array}}

 

3 Du stellst fest, dass sich für {x} zwei Werte ergeben, die üblicherweise durch {x_1, x_2} dargestellt werden.

 

{\begin{array}{l} x_1 = \displaystyle \frac{-2 + 2}{2} = 0 \\\\ x_2 = \displaystyle \frac{-2 - 2}{2} = -2 \end{array}}

 

4 Die gesuchte Faktorisierung ist gegeben durch {(x - x_1)(x - x_2) = 0}

 

{\begin{array}{rcl} (x - 0)(x + 2) & = & 0 \\\\ x(x + 2) & = & 0 \end{array} }

 

5{2x^2 - 3x}

1Die Koeffizienten der quadratischen Gleichung sind: {a = 2, \ b = -3, \ c = 0}.

 

2 Setzte die Werte in die Formel ein, um die Lösungen zu erhalten und löse

 

{\begin{array}{rcl}\displaystyle x & = & \displaystyle \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 -4(2)(0)}}{2(2)} \\\\ & = & \displaystyle \frac{3 \pm \sqrt{9 - 0}}{4} \\\\ & = & \displaystyle \frac{3 \pm \sqrt{9}}{4} \\\\ & = & \displaystyle \frac{3 \pm 3}{4} \end{array}}

 

3 Du stellst fest, dass sich für {x} zwei Werte ergeben, die üblicherweise durch {x_1, x_2} dargestellt werden.

 

{\begin{array}{l} x_1 = \displaystyle \frac{3 - 3}{4} = 0 \\\\ x_2 = \displaystyle \frac{3 + 3}{4} = \frac{3}{2} \end{array}}

 

4 Die gesuchte Faktorisierung ist gegeben durch {(x - x_1)(x - x_2) = 0}

 

{\begin{array}{rcl} (x - 0) \left (x - \displaystyle \frac{3}{2} \right ) & = & 0 \\\\ x \left (\displaystyle \frac{2x - 3}{2} \right ) & = & 0 \\\\ (2)x \left (\displaystyle \frac{2x - 3}{2} \right ) & = & (2)(0) \\\\ x \left (\displaystyle 2x - 3 \right ) & = & 0 \end{array} }

 

6{4x^2 - 9}

1Die Koeffizienten der quadratischen Gleichung sind: {a = 4, \ b = 0, \ c = -9}.

 

2 Setze die Werte in die Formel ein, um die Lösungen zu erhalten und löse

 

{\begin{array}{rcl}\displaystyle x & = & \displaystyle \frac{-(0) \pm \sqrt{(0)^2 -4(4)(-9)}}{2(4)} \\\\ & = & \displaystyle \frac{\pm \sqrt{0 + 144}}{8} \\\\ & = & \displaystyle \frac{\pm \sqrt{144}}{8} \\\\ & = & \displaystyle \frac{\pm 12}{8} \end{array}}

 

3 Du stellst fest, dass sich für {x} zwei Werte ergeben, die üblicherweise durch {x_1, x_2} dargestellt werden

 

{\begin{array}{l} x_1 = \displaystyle \frac{12}{8} = \frac{3}{2} \\\\ x_2 = \displaystyle \frac{-12}{8} = -\frac{3}{2} \end{array}}

 

4 Die gesuchte Faktorisierung ist gegeben durch {(x - x_1)(x - x_2) = 0}

 

{\begin{array}{rcl} \left (x - \displaystyle \frac{3}{2} \right ) \left (x + \displaystyle \frac{3}{2} \right ) & = & 0 \\\\ \left (\displaystyle \frac{2x - 3}{2} \right ) \left (\displaystyle \frac{2x + 3}{2} \right ) & = & 0 \\\\ (4)\left (\displaystyle \frac{2x - 3}{2} \right ) \left (\displaystyle \frac{2x + 3}{2} \right ) & = & (4)(0) \\\\ (2x - 3) \left (\displaystyle 2x + 3 \right ) & = & 0 \end{array} }

 

7{9x^2 - 5}

1Die Koeffizienten der quadratischen Gleichung sind: {a = 9, \ b = 0, \ c = -5}.

 

2 Setze die Werte in die Formel ein, um die Lösungen zu erhalten und löse

 

{\begin{array}{rcl}\displaystyle x & = & \displaystyle \frac{-(0) \pm \sqrt{(0)^2 -4(9)(-5)}}{2(9)} \\\\ & = & \displaystyle \frac{\pm \sqrt{0 + 180}}{18} \\\\ & = & \displaystyle \frac{\pm \sqrt{180}}{18} \\\\ & = & \displaystyle \frac{\pm 6 \sqrt{5}}{18} \end{array}}

 

3 Du stellst fest, dass sich für {x} zwei Werte ergeben, die üblicherweise durch {x_1, x_2} dargestellt werden

 

{\begin{array}{l} x_1 = \displaystyle \frac{6 \sqrt{5}}{18} = \frac{\sqrt{5}}{3} \\\\ x_2 = \displaystyle \frac{-6\sqrt{5}}{18} = -\frac{\sqrt{5}}{3} \end{array}}

 

4 Die gesuchte Faktorisierung ist gegeben durch {(x - x_1)(x - x_2) = 0}

 

{\begin{array}{rcl} \left (x - \displaystyle \frac{\sqrt{5}}{3} \right ) \left (x + \displaystyle \frac{\sqrt{5}}{3} \right ) & = & 0 \\\\ \left (\displaystyle \frac{3x - \sqrt{5}}{3} \right ) \left (\displaystyle \frac{3x + \sqrt{5}}{3} \right ) & = & 0 \\\\ (9)\left (\displaystyle \frac{3x - \sqrt{5}}{3} \right ) \left (\displaystyle \frac{3x + \sqrt{5}}{3} \right ) & = & (9)(0) \\\\ \left(\displaystyle 3x - \sqrt{5} \right) \left (\displaystyle 3x + \sqrt{5} \right ) & = & 0 \end{array} }

 

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Anna

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