Kapitel

 

 

Gleichungsübungen

 

1Löse die unten stehende Gleichung:

4(x - 10) = -6(2 - x) - 6x

1Führe die Multiplikationen auf beiden Seiten der Gleichung durch

 

\begin{array}{rcl} 4(x - 10) & = & -6(2 - x) - 6x \\\\ 4x - 40 & = & -12 + 6x - 6x \end{array}

 

2Addiere und subtrahiere gleiche Terme auf beiden Seiten der Gleichung

 

\begin{array}{rcl} 4x - 40 & = & -12 + 6x - 6x \\\\ 4x - 40 & = & -12 \end{array}

 

3Umx zu eliminieren, addierst du zunächst 40 auf beiden Seiten der Gleichung und vereinfachst

 

\begin{array}{rcl} 4x - 40 & = & -12 \\\\ 4x - 40 + 40 & = & -12 + 40 \\\\ 4x & = & 28 \end{array}

 

4Um x zu erhalten, multiplizierst du nun auf beiden Seiten der Gleichung mit \cfrac{1}{4} und vereinfachst

 

\begin{array}{rcl} 4x & = & 28 \\\\ 4x \left ( \cfrac{1}{4} \right ) & = & 28 \left ( \cfrac{1}{4} \right ) \\\\ x & = & 7 \end{array}

 

Somit ist x = 7 die Lösung der Gleichung

 

2Löse die unten stehende Gleichung:

2(x + 1) - 3(x - 2) = x + 6

1Führe die Multiplikationen durch

 

\begin{array}{rcl} 2(x + 1) - 3(x - 2) & = & x + 6 \\\\ 2x + 2 -3x + 6 & = & x + 6 \end{array}

 

2Addiere und subtrahiere gleiche Terme auf beiden Seiten der Gleichung

 

\begin{array}{rcl} 2x + 2 -3x + 6 & = & x + 6 \\\\ -x + 8 & = & x + 6 \end{array}

 

3Um x zu eliminieren, subtrahierst du zunächst x und 8 auf beiden Seiten der Gleichung und vereinfachst

 

\begin{array}{rcl} -x + 8 & = & x + 6 \\\\ -x + 8 - x - 8 & = & x + 6 - x - 8 \\\\ -2x & = & -2 \end{array}

 

4Um x zu erhalten, multiplizierst du nun auf beiden Seiten der Gleichung mit -\cfrac{1}{2} und vereinfachst

 

\begin{array}{rcl} -2x & = & -2 \\\\ -2x \left ( -\cfrac{1}{2} \right ) & = & -2 \left ( -\cfrac{1}{2} \right ) \\\\ x & = & 1 \end{array}

 

Somit ist x = 1 die Lösung der Gleichung

 

3Löse die unten stehende Gleichung:

\cfrac{x - 1}{4} - \cfrac{x - 5}{36} = \cfrac{x + 5}{9}

1Berechne das kleinste gemeinsame Vielfache m.c.m.(4, 36, 9)

 

\begin{array}{rcl} m.c.m.(4, 36, 9) & = & m.c.m.(2^2, 2^2 \cdot 3^2, 3^2) \\\\ & = & 2^2 \cdot 3^2 \\\\ & = & 36 \end{array}

 

2Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen m.c.m.(4, 36, 9)

 

\begin{array}{rcl} \left( \cfrac{x - 1}{4} - \cfrac{x - 5}{36} \right)(36) & = & \left( \cfrac{x + 5}{9} \right) (36) \\\\ 9(x - 1) - (x - 5) & = & 4(x + 5) \\\\ 9x - 9 - x + 5 & = & 4x + 20 \end{array}

 

3Addiere und subtrahiere gleiche Terme auf beiden Seiten der Gleichung

 

\begin{array}{rcl} 9x - 9 - x + 5 & = & 4x + 20 \\\\ 8x - 4 & = & 4x + 20 \end{array}

 

4Umx zu eliminieren, subtrahierst du zunächst 4x und addierst 4 auf beiden Seiten der Gleichung und vereinfachst

 

\begin{array}{rcl} 8x - 4 & = & 4x + 20 \\\\ 8x - 4 - 4x + 4 & = & 4x + 20 - 4x + 4 \\\\ 4x & = & 24 \end{array}

 

5Um x, zu erhalten, multiplizierst du nun auf beiden Seiten der Gleichung mit \cfrac{1}{4} und vereinfachst

 

\begin{array}{rcl} 4x & = & 24 \\\\ 4x \left ( \cfrac{1}{4} \right ) & = & 24 \left ( \cfrac{1}{4} \right ) \\\\ x & = & 6 \end{array}

 

Somit ist x = 6 die Lösung der Gleichung

 

4Löse die unten stehende Gleichung:

6 \left( \cfrac{x + 1}{8} - \cfrac{2x - 3}{16} \right) = 3 \left( \cfrac{3x}{4} - \cfrac{1}{4} \right) - \cfrac{3}{8}(3x - 2)

1Führe die Multiplikationen durch und vereinfache die Brüche

 

\begin{array}{rcl} 6 \left( \cfrac{x + 1}{8} - \cfrac{2x - 3}{16} \right) & = & 3 \left( \cfrac{3x}{4} - \cfrac{1}{4} \right) - \cfrac{3}{8}(3x - 2) \\\\ \cfrac{6}{8}(x + 1) - \cfrac{6}{16}(2x - 3) & = & \cfrac{9x}{4} - \cfrac{3}{4} - \cfrac{3}{8}(3x - 2) \\\\ \cfrac{3}{4}(x + 1) - \cfrac{3}{8}(2x - 3) & = & \cfrac{9x}{4} - \cfrac{3}{4} - \cfrac{3}{8}(3x - 2) \end{array}

 

2Berechne die m.c.m.(4, 8) der Nenner

 

\begin{array}{rcl} m.c.m.(4, 8) & = & m.c.m.(2^2, 2^3) \\\\ & = & 2^3 \\\\ & = & 8 \end{array}

 

3Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen m.c.m.(4, 8)

 

\begin{array}{rcl} \left( \cfrac{3}{4}(x + 1) - \cfrac{3}{8}(2x - 3) \right)(8) & = & \left( \cfrac{9x}{4} - \cfrac{3}{4} - \cfrac{3}{8}(3x - 2) \right) (8) \\\\ 6(x + 1) - 3(2x - 3) & = & 2(9x) - 2(3) - 3(3x - 2) \\\\ 6x + 6 - 6x + 9 & = & 18x - 6 - 9x + 6 \end{array}

 

4Addiere und subtrahiere gleiche Terme auf beiden Seiten der Gleichung

 

\begin{array}{rcl} 6x + 6 - 6x + 9 & = & 18x - 6 - 9x + 6 \\\\ 15 & = & 9x \end{array}

 

5Um x zu eliminieren, multiplizierst du auf beiden Seiten der Gleichung mit \cfrac{1}{9} und vereinfachst

 

\begin{array}{rcl} 15 & = & 9x \\\\ 15 \left ( \cfrac{1}{9} \right ) & = & 9x \left ( \cfrac{1}{9} \right ) \\\\ \cfrac{5}{3} & = & x \end{array}

 

Somit ist x = \cfrac{5}{3} die Lösung der Gleichung

 

5Löse die unten stehende Gleichung:

\cfrac{4}{x - 3} = \cfrac{5}{x - 2}

1Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit  x - 3 und x - 2 und vereinfache

 

\begin{array}{rcl} \cfrac{4}{x - 3} (x - 3) (x - 2) & = & \cfrac{5}{x - 2} (x - 3) (x - 2) \\\\ 4(x - 2) & = & 5 (x - 3) \end{array}

 

2Führe die Multiplikationen durch

 

\begin{array}{rcl} 4(x - 2) & = & 5 (x - 3) \\\\ 4x - 8 & = & 5x - 15 \end{array}

 

3Subtrahiere 4x und addiere 15 auf beiden Seiten der Gleichung

 

\begin{array}{rcl} 4x - 8 & = & 5x - 15 \\\\ 4x - 8 - 4x + 15 & = & 5x - 15 - 4x + 15 \\\\ 7 & = & x \end{array}

 

Somit ist x = 7 die Lösung der Gleichung

 

6Löse die unten stehende Gleichung:

2 - \left[ -2(x + 1) - \cfrac{x - 3}{2} \right] = \cfrac{2x}{3} - \cfrac{5x - 3}{12} + 3x

1Löse zuerst die eckigen Klammern auf

 

\begin{array}{rcl} 2 - \left[ -2(x + 1) - \cfrac{x - 3}{2} \right] & = & \cfrac{2x}{3} - \cfrac{5x - 3}{12} + 3x \\\\ 2 + 2(x + 1) + \cfrac{x - 3}{2} & = & \cfrac{2x}{3} - \cfrac{5x - 3}{12} + 3x \end{array}

 

2Berechne das kleinste gemeinsamen Vielfache m.c.m.(2, 3 , 12) der Nenner

 

\begin{array}{rcl} m.c.m.(2, 3 , 12) & = & m.c.m.(2, 3 , 2^2 \cdot 3) \\\\ & = & 2^2 \cdot 3 \\\\ & = & 12 \end{array}

 

3Multipliziere dann beide Seiten der Gleichung mit m.c.m.(2, 3, 12)

 

\begin{array}{rcl} \left( 2 + 2(x + 1) + \cfrac{x - 3}{2} \right) (12) & = & \left( \cfrac{2x}{3} - \cfrac{5x - 3}{12} + 3x \right) (12) \\\\ 24 + 24(x + 1) + 6(x - 3) & = & 8x - (5x - 3) + 36x \\\\ 24 + 24x + 24 + 6x - 18 & = & 8x - 5x + 3 + 36x \end{array}

 

4Addiere und subtrahiere gleiche Terme

 

\begin{array}{rcl} 24 + 24x + 24 + 6x - 18 & = & 8x - 5x + 3 + 36x \\\\ 30x + 30 & = & 39x + 3 \end{array}

 

5Subtrahiere nun 30x und 3 auf beiden Seiten der Gleichung

 

\begin{array}{rcl} 30x + 30 & = & 39x + 3 \\\\ 30x + 30 - 30x - 3 & = & 39x + 3 - 30x - 3 \\\\ 27 & = & 9x \end{array}

 

6Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit \cfrac{1}{9}

 

\begin{array}{rcl} 27 \left( \cfrac{1}{9} \right) & = & 9x \left( \cfrac{1}{9} \right) \\\\ 3 & = & x \end{array}

 

Somit ist x = 3 die Lösung der Gleichung

 

7Löse die unten stehende Gleichung:

7x^2 +21x - 28 = 0

1Löse diese Gleichung mit der abc-Formel für quadratische Gleichungen

 

\begin{array}{rcl} x & = & \cfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\\\ & = & \cfrac{-(21) \pm \sqrt{(21)^2 - 4(7)(-28)}}{2(7)} \\\\ & = & \cfrac{-21 \pm \sqrt{1225}}{14} \\\\ & = & \cfrac{-21 \pm 35}{14} \end{array}

 

Die Wurzeln sind

 

x_1 = \cfrac{-21 + 35}{14} = 1

 

x_2 = \cfrac{-21 - 35}{14} = -4

 

2Die Wurzeln der Gleichung sind die Lösungen der Gleichung. Die gesuchten Lösungen sind also x = 1 und x = -4

 

8Löse die unten stehende Gleichung:

-x^2 + 4x - 7 = 0

1Löse diese Gleichung mit der abc-Formel für quadratische Gleichungen

 

\begin{array}{rcl} x & = & \cfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\\\ & = & \cfrac{-(4) \pm \sqrt{(4)^2 - 4(-1)(-7)}}{2(-1)} \\\\ & = & \cfrac{-4 \pm \sqrt{-12}}{14} \end{array}

 

Da es in den reellen Zahlen keine Wurzeln negativer Zahlen gibt, weißt du, dass die Gleichung keine reellen Lösungen hat.

 

9Löse die unten stehende Gleichung:

12x^2 - 3x = 0

1Löse diese Gleichung mit der abc-Formel für quadratische Gleichungen

 

\begin{array}{rcl} x & = & \cfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\\\ & = & \cfrac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(12)(0)}}{2(12)} \\\\ & = & \cfrac{3 \pm \sqrt{9}}{24} \\\\ & = & \cfrac{3 \pm 3}{24} \end{array}

 

Die Wurzeln sind

 

x_1 = \cfrac{3 + 3}{24} = \cfrac{1}{4}

 

x_2 = \cfrac{3 - 3}{24} = 0

 

2Die Wurzeln der Gleichung sind die Lösungen der Gleichung. Die gesuchten Lösungen sind also x = 0 und x = \cfrac{1}{4}

 

10Löse die unten stehende Gleichung:

4x^2 - 16 = 0

1Löse diese Gleichung mit der abc-Formel für quadratische Gleichungen

 

\begin{array}{rcl} x & = & \cfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\\\ & = & \cfrac{-(0) \pm \sqrt{(0)^2 - 4(4)(-16)}}{2(4)} \\\\ & = & \cfrac{0 \pm \sqrt{256}}{8} \\\\ & = & \cfrac{\pm 16}{8} \end{array}

 

Die Wurzeln sind

 

x_1 = \cfrac{0 + 16}{8} = 2

 

x_2 = \cfrac{0 - 16}{8} = -2

 

2Die Wurzeln der Gleichung sind die Lösungen der Gleichung. Die gesuchten Lösungen sind also  x = -2 und x = 2

 

Anwendungsprobleme

 

11Ein Vater ist 35 Jahre alt und sein Sohn ist 5 Jahre alt. Nach wie vielen Jahren wird das Alter des Vaters dreimal so hoch sein wie das Alter des Sohnes?

1Das aktuelle Alter des Vaters ist 35 und das des Sohnes ist 5, während x die Jahre sind, die vergehen müssen, damit die gegebene Bedingung erfüllt wird

 

2Schreibe die gegebene Bedingung in Form einer Gleichung

 

\begin{array}{rcl} 35 + x & = & 3 (5 + x) \end{array}

 

3Multipliziere anschließend

 

\begin{array}{rcl} 35 + x & = & 3 (5 + x) \\\\ 35 + x & = & 15 + 3x \end{array}

 

4Subtrahiere nun 3x und 35 auf beiden Seiten der Gleichung

 

\begin{array}{rcl} 35 + x - 3x - 35 & = & 15 + 3x - 3x - 35 \\\\ -2x & = & -20 \end{array}

 

5Um x aufzulösen, multiplizierst du beide Seiten der Gleichung mit -\cfrac{1}{2} und vereinfachst

 

\begin{array}{rcl} -2x \left( -\cfrac{1}{2} \right) & = & -20 \left( -\cfrac{1}{2} \right) \\\\ x & = & 10 \end{array}

 

6In 10 Jahren wird das Alter des Vaters dreimal so hoch sein wie das seines Sohnes.

 

12Subtrahiert man eine Zahl zweimal durch die Hälfte, erhält man 54. Wie lautet die Zahl?

1Da du die angeforderte Zahl nicht kennst, verwendest du dafür die Variable x

 

2Schreibe die gegebene Bedingung in Form einer Gleichung

 

\begin{array}{rcl} 2x - \cfrac{x}{2} & = & 54 \end{array}

 

3Multipliziere nun auf beiden Seiten der Gleichung mit 2

 

\begin{array}{rcl} \left( 2x - \cfrac{x}{2} \right) (2) & = & 54 (2) \\\\ 4x - x & = & 108 \\\\ 3x & = & 108 \end{array}

 

4Multipliziere mit \cfrac{1}{3} auf beiden Seiten der Gleichung

 

\begin{array}{rcl} 3x \left( \cfrac{1}{3} \right) & = & 108 \left( \cfrac{1}{3} \right) \\\\ x & = & 36 \end{array}

 

5Die gesuchte Zahl ist x = 36

 

13Die Grundfläche eines Rechtecks ist doppelt so groß wie seine Höhe. Was sind seine Abmessungen, wenn der Umfang 30 cm beträgt?

1Stelle die Höhe durch x dar, also ist die Grundfläche 2x

 

2Schreibe die Umfangsbedingung in Form der Gleichung

 

\begin{array}{rcl} 2(x) + 2(2x) & = & 30 \end{array}

 

3Führe die Multiplikationen durch und addiere gleiche Terme

 

\begin{array}{rcl} 2(x) + 2(2x) & = & 30 \\\\ 2x + 4x & = & 30 \\\\ 6x & = & 30 \end{array}

 

4Multipliziere nun mit \cfrac{1}{6} auf beiden Seiten der Gleichung

 

\begin{array}{rcl} 6x \left( \cfrac{1}{6} \right) & = & 30 \left( \cfrac{1}{6} \right) \\\\ x & = & 5 \end{array}

 

5Die Höhe ist x = 5 \, cm und die Grundfläche ist 2x = 10 \, cm

 

14In einer Versammlung gibt es doppelt so viele Frauen wie Männer und dreimal so viele Kinder wie Männer und Frauen zusammen. Wie viele Männer, Frauen und Kinder sind anwesend, wenn die Versammlung aus 96 Personen besteht?

1Stelle die Anzahl der Männer durch x dar, also ist die Anzahl der Frauen 2x und die Anzahl der Kinder ist 3(x + 2x)

 

2Schreibe die gegebene Bedingung in Form einer Gleichung

 

\begin{array}{rcl} x + 2x + 3(x + 2x) & = & 96 \end{array}

 

3Führe die Multiplikationen durch und addiere gleiche Terme

 

\begin{array}{rcl} x + 2x + 3(x + 2x) & = & 96 \\\\ x + 2x + 3x + 6x & = & 96 \\\\ 12x & = & 96 \end{array}

 

4Multipliziere nun mit \cfrac{1}{12} auf beiden Seiten der Gleichung

 

\begin{array}{rcl} 12x \left( \cfrac{1}{12} \right) & = & 96 \left( \cfrac{1}{12} \right) \\\\ x & = & 8 \end{array}

 

5Die Anzahl der Männer beträgt x = 8, die Anzahl der Frauen beträgt 2x = 16 und die Anzahl der Kinder beträgt 3(x + 2x) = 72

 

15 \cfrac{7}{8} eines Ölkanisters wurde verbraucht. Man füllt 38 \, l auf und der Kanister ist zu \cfrac{3}{5} gefüllt. Berechne das Fassungsvermögen des Kanisters.

1x steht für das Fassunsvermögen des Kanisters, und da \cfrac{7}{8} bereits verbraucht wurde, bleibt folgendes übrig:

 

\begin{array}{rcl} x - \cfrac{7x}{8} & = & \cfrac{x}{8} \end{array}

 

2Beziehe dich nun auf die 38 \, l und schreibe die zweite Bedingung in Form der Gleichung

 

\begin{array}{rcl} \cfrac{x}{8} + 38 & = & \cfrac{3x}{5} \end{array}

 

3Multipliziere mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen m.c.m.(8, 5) = 40 auf beiden Seiten der Gleichung

 

\begin{array}{rcl} \left( \cfrac{x}{8} + 38 \right) (40) & = & \cfrac{3x}{5} (40) \\\\ 5x + 1520 & = & 24x \end{array}

 

4Subtrahiere nun 24x und 1520 auf beiden Seiten der Gleichung

 

\begin{array}{rcl} 5x + 1520 - 24x - 1520 & = & 24x - 24x - 1520 \\\\ -19x & = & -1520 \end{array}

 

5Multipliziere anschließend mit -\cfrac{1}{19} auf beiden Seiten der Gleichung

 

\begin{array}{rcl} -19x \left( -\cfrac{1}{19} \right) & = & -1520 \left( -\cfrac{1}{19} \right) \\\\ x & = & 80 \end{array}

 

6Das Fassungsvermögen des Kanisters beträgt x = 80 \, l

 

16Ein Bauernhof hat Schweine und Truthähne, insgesamt sind es 35 Köpfe und 116 Beine. Wie viele Schweine und Truthähne gibt es?

1x steht für die Anzahl der Köpfe von Schweinen, und da es insgesamt 35 Köpfe gibt, ist 35 - x die Anzahl der Köpfe von Truthähnen

 

2Stelle nun die Gleichung für die Beine auf. Die Schweine haben 4 Beine und die Truthähne 2 Beine.

 

\begin{array}{rcl} 4x + 2(35 - x) & = & 116 \end{array}

 

3Multipliziere und addiere dann gleiche Terme

 

\begin{array}{rcl} 4x + 2(35 - x) & = & 116 \\\\ 4x + 70 - 2x & = & 116 \\\\ 2x + 70 & = & 116 \end{array}

 

4Subtrahiere 70 auf beiden Seiten der Gleichung

 

\begin{array}{rcl} 2x + 70 & = & 116 \\\\ 2x + 70 - 70 & = & 116 - 70 \\\\ 2x & = & 46 \end{array}

 

5Multipliziere anschließend mit \cfrac{1}{2} auf beiden Seiten der Gleichung

 

\begin{array}{rcl} 2x \left( \cfrac{1}{2} \right) & = & 46 \left( \cfrac{1}{2} \right) \\\\ x & = & 23 \end{array}

 

6Es gibt x = 23 Schweine und 35 - 23 = 12 Truthähne.

 

17Luis machte eine Fahrt mit dem Auto, bei der er 20 \, l Benzin verbrauchte. Die Fahrt erfolgte in zwei Etappen: In der ersten Etappe verbrauchte er \cfrac{2}{3} des im Tank befindlichen Benzins und in der zweiten Etappe die Hälfte des restlichen Benzins. Du wirst nach der Anzahl der Liter Benzin, die er im Tank hatte, und nach den in jeder Etappe verbrauchten Litern gefragt.

1x steht für die Anzahl der Liter Benzin im Tank

 

2Stelle die Bedingung der ersten Etappe mathematisch dar

 

\cfrac{2x}{3}

 

3Und dann die Bedingung der zweiten Etappe

 

\begin{array}{rcl} \cfrac{1}{2} \left( x - \cfrac{2x}{3} \right) & = & \cfrac{1}{2} \left( \cfrac{x}{3} \right) \\\\ & = & \cfrac{x}{6} \end{array}

 

4Um die Benzinmenge im Tank zu ermitteln, addierst du die in beiden Etappen verbrauchte Menge, die gleich ist wie   20 \, l

 

\begin{array}{rcl} \cfrac{2x}{3} + \cfrac{x}{6} & = & 20 \end{array}

 

5Multipliziere nun mit 6 auf beiden Seiten der Gleichung

 

\begin{array}{rcl} \left( \cfrac{2x}{3} + \cfrac{x}{6} \right)(6) & = & 20 (6) \\\\ 4x + x & = & 120 \\\\ 5x & = & 120 \end{array}

 

6Multipliziere anschließend mit \cfrac{1}{5} auf beiden Seiten der Gleichung

 

\begin{array}{rcl} 5x \left( \cfrac{1}{5} \right) & = & 120 \left( \cfrac{1}{5} \right) \\\\ x & = & 24 \end{array}

 

Somit hatte der Tank  24 \, l

 

In der ersten Etappe wurde \cfrac{2x}{3} = \cfrac{2(24)}{3} = 16 \, l, verbraucht, während in der zweiten Etappe \cfrac{x}{6} = \cfrac{24}{6} = 4 \, l verbraucht wurde

 

18In einer Buchhandlung kauft Anna mit einem Drittel ihres Geldes ein Buch und mit zwei Dritteln des verbliebenen Geldes ein Comic-Heft. Als sie die Buchhandlung verließ, hatte sie 12 €. Wie viel Geld hatte Anna vor dem Einkauf?

1x steht für das Gesamtgeld

 

2Stelle die Bedingung für den Kauf des Buches mathematisch dar

 

\cfrac{x}{3}

 

3Stelle auch die Bedingung für den Kauf des Comics mathematisch dar

 

\begin{array}{rcl} \cfrac{2}{3} \left( x - \cfrac{x}{3} \right) & = & \cfrac{2}{3} \left( \cfrac{2x}{3} \right) \\\\ & = & \cfrac{4x}{9} \end{array}

 

4Um den Geldbetrag zu ermitteln, den sie vor dem Einkauf hatte, musst du die Kosten für das Buch und den Comic mit dem Geld, das übrig blieb, zusammenrechnen

 

\begin{array}{rcl} \cfrac{x}{3} + \cfrac{4x}{9} + 12 & = & x \end{array}

 

5Multipliziere mit 9 auf beiden Seiten der Gleichung und addiere gleiche Terme

 

\begin{array}{rcl} \left( \cfrac{x}{3} + \cfrac{4x}{9} + 12 \right)(9) & = & x (9) \\\\ 3x + 4x + 108 & = & 9x \\\\ 7x + 108 & = & 9x \end{array}

 

6Subtrahiere nun 108 und 9x auf beiden Seiten der Gleichung

 

\begin{array}{rcl} 7x + 108 - 9x - 108 & = & 9x - 9x - 108 \\\\ -2x & = & -108 \end{array}

 

7Multipliziere anschließend mit -\cfrac{1}{2} auf beiden Seiten der Gleichung

 

\begin{array}{rcl} -2x \left( -\cfrac{1}{2} \right) & = & -108 \left( -\cfrac{1}{2} \right) \\\\ x & = & 54 \end{array}

 

Anna hatte also 54 € vor dem Einkauf

 

19Ein Lastwagen verlässt eine Stadt mit einer Geschwindigkeit von 40 km/h. Eine Stunde später verlässt ein Auto die gleiche Stadt und fährt mit 60 km/h in dieselbe Richtung. Ermitteln Sie die Zeit, die benötigt wird, um den Lastwagen zu erreichen.

1t steht für die Zeit des Lastwagens und t - 1 für die Zeit des Autos

 

2Beide Fahrzeuge fahren die gleiche Strecke, daher gilt:

 

40 t = 60 (t - 1)

 

3Multipliziere nun

 

\begin{array}{rcl} 40 t & = & 60(t - 1) \\\\ 40 t& = & 60 t - 60 \end{array}

 

4Subtrahiere 60t auf beiden Seiten der Gleichung

 

\begin{array}{rcl} 40 t - 60 t& = & 60 t - 60 - 60t \\\\ -20 t & = & -60 \end{array}

 

4Multipliziere anschließend mit -\cfrac{1}{20} auf beiden Seiten der Gleichung

 

\begin{array}{rcl} -20t \left( -\cfrac{1}{20} \right) & = & -60 \left( -\cfrac{1}{20} \right) \\\\ t & = & 3 \end{array}

 

Damit sich die Fahrzeuge gegenseitig erreichen, braucht der Lkw also 3 \, h während der Pkw 2 \, h braucht

 

20Die beiden Ziffern einer Zahl sind aufeinanderfolgend. Die Größere ist der Zehner und die Kleinere ist der Einser. Die Zahl ist gleich dem Sechsfachen der Summe der Ziffern. Wie lautet die Zahl?

1x steht für die Nummer der Einser, und x + 1 für die Nummer der Zehner

 

2Wenn du eine zweistellige Zahl hast, zum Beispiel 65, kannst du sie wie folgt zerlegen:

 

65 = 60 \cdot 10 + 5

 

3Die zweistellige Zahl ist (x + 1) \cdot 10 + x, mit folgender Bedingung:

 

\begin{array}{rcl} (x + 1) \cdot 10 + x & = & 6(x + 1 + x) \\\\ 11x + 10 & = & 12x + 6 \end{array}

 

4Subtrahiere nun 12 x und 10 auf beiden Seiten der Gleichung

 

\begin{array}{rcl} 11x + 10 - 12x - 10 & = & 12x + 6 - 12x - 10 \\\\ -x & = & -4 \end{array}

 

5Multipliziere anschließend auf beiden Seiten der Gleichung mit -1 und erhalte x = 4

 

Die gesuchte Zahl ist also:

 

\begin{array}{rcl}(x + 1) \cdot 10 + x & = & (4 + 1) \cdot 10 + 4 \\\\ & = & 54 \end{array}

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Anna

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