Definition einer linearen Gleichung
Eine Gleichung ersten Grades (auch als lineare Gleichung bezeichnet, da sich bei der Erstellung des Graphen der Gleichung eine Gerade ergeben würde) ist eine Gleichheit zweier algebraischer Ausdrücke, in denen eine oder mehrere Unbekannte vorhanden sind (alle mit Exponent 
), deren Werte durch arithmetische Operationen in Beziehung gesetzt werden können.
Lineare Gleichungen: Übungsaufgaben
1 
Eliminiere die Unbekannte, indem du auf beiden Seiten durch 
teilst. Du kannst auch sagen, dass die , die im ersten Glied multipliziert wurde, im zweiten Glied dividiert wird.
2 
Wenn du die gleichen Terme zusammenfasst, musst du die beiden Glieder 
und 
, addieren, damit man eine äquivalente Gleichung erhält.
In der Praxis wird oft gesagt, dass ein Term, der in einem Glied addiert wird, durch Subtraktion von 
in das andere Glied übergeht, und wenn übrig bleibt, durch Addition von 
in das andere Glied übergeht. Addiere:
3 
Verwende die Distributiv-Eigenschaft, um die Klammer aufzulösen, d. h. du multiplizierts jeden algebraischen Term, der sich innerhalb der Klammer befindet, mit so dass auf der linken Seite folgendes steht: 
Gruppiere gleichartige Terme, das addierte x wandert durch Subtraktion auf die andere Seite und die verbelibende 
wird addiert. Addiere also:
Eliminiere die Unbekannte, die wandert durch Division auf die andere Seite
4 
Um die Nenner zu entfernen, musst du das kleinste gemeinsame Vielfache von und finden
Multipliziere beide Teile der Gleichung mit dem Mittelwert, in diesem Fall , und erhältst:
Multipliziere unter Verwendung der Distributiv-Eigenschaft, löse die Klammer auf, gruppiere und addiere gleiche Terme:
Löse die Unbekannte:
5 
Multipliziere 
mit jedem Term innerhalb der Klammer (distributive Eigenschaft), um die Klammer aufzulösen und zu vereinfachen:
Gruppiere und addiere gleiche Terme:
6 
Unter Verwendung der Distributiv-Eigenschaft zur Auflösung der Klammern multipliziert man die erste Klammer mit 
und die zweite mit 
.
Fasse gleiche Terme zusammen
Addiere die gleichen Terme und löst nach x auf
7 
Löse mit Hilfe der Distributiv-Eigenschaft die Klammer auf, indem du die erste Klammer mit und die zweite Klammer mit multiplizierst.
Fasse gleiche Terme zusammen
Addiere die gleichen Terme und löst nach x auf
8 
Um die Nenner zu eliminieren, musst du das kleinste gemeinsame Vielfache von , 
y 
Teile den gemeinsamen Nenner durch jeden Nenner und multipliziere das Ergebnis mit dem entsprechenden Zähler
Multipliziere mit der Distributiv-Eigenschaft der Klammern die erste mit , die zweite mit 
und die dritte mit .
Gruppiere gleiche Terme zusammen
Addiere die gleichen Terme und löst nach x auf
9 
Um die Nenner zu entfernen, musst du das kleinste gemeinsame Vielfache von 
,,
und finden.
Teile den gemeinsamen Nenner durch jeden Nenner und multiplizierst das Ergebnis mit dem entsprechenden Zähler
Multipliziere unter Verwendung der Distributiv-Eigenschaft zur Auflösung der Klammern die erste Klammer mit , die zweite mit 
, und die dritte Klammer mit .
Fasse gleiche Terme zusammen
Addiere die gleichen Terme und löse nach x auf
10 
Damit die Gleichheit der beiden Brüche erfüllt ist, muss das Produkt der Zwecke gleich dem Produkt der Mittel sein.
Als Alternative kannst du auch das kleinste gemeinsame Vielfache finden, das 
ist, weil die beiden Binome nicht kürzbar sind. Dann teilst du den Mittelwert durch jeden Nenner und das Ergebnis wird mit dem entsprechenden Zähler multipliziert.
Unter Verwendung der Distributiv-Eigenschaft zur Auflösung der Klammern multiplizierst du die erste Klammer mit 
und die zweite mit .
Addiere die gleichen Terme
Löse die Unbekannte:
11 
Damit die Gleichheit der beiden Brüche erfüllt ist, muss der Extremwert dem Mitelwert entsprechen.
Als Alternative kannst du auch das kleinste gemeinsame Vielfache finden, das 
ist, weil die beiden Binome nicht kürzbar sind. Dann teilst du den Mittelwert durch jeden Nenner und das Ergebnis wird mit dem entsprechenden Zähler multipliziert.
Multipliziere unter nter Verwendung der Distributiv-Eigenschaft zur Auflösung der Klammern die erste Klammer mit und die zweite mit .
Gruppiere gleiche Terme zusammen
Löse die Unbekannte:
12 
Unter Verwendung der Distributiv-Eigenschaft zur Auflösung der Klammern multipliziert man die erste Klammer mit , die zweite mit und die dritte mit 
.
Gut zu wissen: Wenn eine ganze Zahl mit einem Bruch multipliziert wird, löst du diesen, indem die ganze Zahl mit dem Zähler des Bruchs multipliziert wird und der Nenner derselbe bleibt.
Verwende die distributive Eigenschaft, um oben im Bruch die Klammern aufzulösen
Um die Nenner zu entfernen, musst du das kleinste gemeinsame Vielfache von , 
und 
finden.
Dividiere den gemeinsamen Nenner durch jeden Nenner und multiplizierst das Ergebnis mit dem entsprechenden Zähler.
Verwende die Distributiv-Eigenschaft, um die Klammern aufzulösen, multiplizierst die erste Klammer mit und vereinfachst unter Beachtung des Vorzeichenwechsels.
Fasse gleiche Terme zusammen
Löse die Unbekannte:
13 ![\displaystyle 2-\left[-2\cdot (x+1) -\frac{x-3}{2}\right] =\frac{2x}{3}-\frac{5x-3}{12}+3x](https://www.superprof.de/lernplattform/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d84498c46572a4d78502bad7322d7fa2_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
In diesem Fall ist es zweckmäßig, zunächst den Term 
aufzulösen. Beim Auflösen kannst du die eckige Klammer durch eine normale Klammer ersetzen.
Multipliziere die Terme innerhalb der Klammern mit -1, so dass du das negative Vorzeichen und die Klammern aus der Gleichung entfernen kannst:
Um die Nenner zu entfernen, musst du das kleinste gemeinsame Vielfache von 
und 
finden.
Multipliziere nter Verwendung der Distributiv-Eigenschaft zur Auflösung der Klammern die erste Klammer mit und die zweite mit auf:
Gruppiere gleiche Terme zusammen:
Addieret:
Teile die beiden Mitglieder durch 
14 ![\displaystyle \frac{2}{3}\left[x-\left(1-\frac{x-2}{3}\right)\right] +1=x](https://www.superprof.de/lernplattform/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-745ab14427432c9875ad054a2760d01d_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Multipliziere die Terme innerhalb der Klammer durch , so dass du das negative Vorzeichen und die Klammer aus der Gleichung entfernen und die eckige durch eine runde Klammer ersetzen kannst.
Verwende die Distributiv-Eigenschaft, um die Klammern aufzulösen.
Gut zu wissen: Wenn du einen Bruch mit einem anderen multiplizierst, musst du den Zähler mit dem Zähler und den Nenner mit dem Nenner multiplizieren.
Um die Nenner zu entfernen, muss man das kleinste gemeinsame Vielfache von und finden.
Fasse gleiche Terme zusammen:
Addiere und löse nach x auf:
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