Definition einer linearen Gleichung

 

Eine Gleichung ersten Grades (auch als lineare Gleichung bezeichnet, da sich bei der Erstellung des Graphen der Gleichung eine Gerade ergeben würde) ist eine Gleichheit zweier algebraischer Ausdrücke, in denen eine oder mehrere Unbekannte vorhanden sind (alle mit Exponent 1), deren Werte durch arithmetische Operationen in Beziehung gesetzt werden können.

 

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Lineare Gleichungen: Übungsaufgaben

1 2x=6

 

2x=6

Eliminiere die Unbekannte, indem du auf beiden Seiten durch  2 teilst. Du kannst auch sagen, dass die 2, die im ersten Glied multipliziert wurde, im zweiten Glied dividiert wird.

 

\displaystyle x=\frac{6}{2}\hspace{2cm} x=3

 

2 2x-3=6+x

 

2x-3=6+x

Wenn du die gleichen Terme zusammenfasst, musst du die beiden Glieder -x und 3, addieren, damit man eine äquivalente Gleichung erhält.

 

2x-x-3+3=6+x-x+3

 

In der Praxis wird oft gesagt, dass ein Term, der in einem Glied 3 addiert wird, durch Subtraktion von  -3 in das andere Glied übergeht, und wenn -x übrig bleibt, durch Addition von x in das andere Glied übergeht. Addiere:

 

2x-x=6+3

x=9

 

3 2(2x-3)=6+x

 

2(2x-3)=6+x

Verwende die Distributiv-Eigenschaft, um die Klammer aufzulösen, d. h. du multiplizierts jeden algebraischen Term, der sich innerhalb der Klammer befindet, mit 2 so dass auf der linken Seite folgendes steht: 2(2x-3)= 2(2x) +2(-3) = 4x - 6

 

4x-6=6+x

 

Gruppiere gleichartige Terme, das addierte x wandert durch Subtraktion auf die andere Seite und die verbelibende 6 wird addiert. Addiere also:

 

4x-x=6+6 \hspace{2cm} 3x=12

 

Eliminiere die Unbekannte, die 3 wandert durch Division auf die andere Seite

 

\displaystyle x=\frac{12}{3} \hspace{2cm} x=4

 

4 \displaystyle \frac{x-1}{6}-\frac{x-3}{2}=-1

 

\displaystyle \frac{x-1}{6}-\frac{x-3}{2}=-1

Um die Nenner zu entfernen, musst du das kleinste gemeinsame Vielfache von 2 und 6 finden

 

\text{m.c.m}(6,2)=6

 

Multipliziere beide Teile der Gleichung mit dem Mittelwert, in diesem Fall 6, und erhältst:

 

x-1-3(x-3)=-6

 

Multipliziere unter Verwendung der Distributiv-Eigenschaft, löse die Klammer auf, gruppiere und addiere gleiche Terme:

 

x-1-3x+9=-6 \hspace{2cm} x-3x=-6-9+1 \hspace{2cm} -2x=-14

 

Löse die Unbekannte:

 

\displaystyle 2x=14 \hspace{2cm} x=\frac{14}{2} \hspace{2cm} x=7

 

5 \displaystyle \frac{3}{2}(2x+4)=x+19

 

\displaystyle \frac{3}{2}(2x+4)=x+19

Multipliziere \displaystyle \frac{3}{2} mit jedem Term innerhalb der Klammer (distributive Eigenschaft), um die Klammer aufzulösen und zu vereinfachen:

 

\displaystyle \frac{6x}{2}+\frac{12}{2}=x+19 \hspace{2cm} 3x+6=x+19

 

Gruppiere und addiere gleiche Terme:

 

3x - x = 19 - 6 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2x = 13 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x = \frac{13}{2}

 

6 4(x-10)=-6(2-x)-6x

 

4(x-10)=-6(2-x)-6x

Unter Verwendung der Distributiv-Eigenschaft zur Auflösung der Klammern multipliziert man die erste Klammer mit 4 und die zweite mit -6.

 

4x-40=-12+6x-6x

 

Fasse gleiche Terme zusammen

 

4x-6x+6x=-12+40

 

Addiere die gleichen Terme und löst nach x auf

 

4x=28 \hspace{2cm} x=7

 

7 2(x+1)-3(x-2)=x+6

 

2(x+1)-3(x-2)=x+6

Löse mit Hilfe der Distributiv-Eigenschaft die Klammer auf, indem du die erste Klammer mit 2 und die zweite Klammer mit -3 multiplizierst.

 

2x+2-3x+6=x+6

 

Fasse gleiche Terme zusammen

 

2x-3x-x=6-2-6

 

Addiere die gleichen Terme und löst nach x auf

 

-2x=-2 \hspace{2cm} x=1

 

8 \displaystyle \frac{x-1}{4}-\frac{x-5}{36}=\frac{x+5}{9}

 

\displaystyle \frac{x-1}{4}-\frac{x-5}{36}=\frac{x+5}{9}

Um die Nenner zu eliminieren, musst du das kleinste gemeinsame Vielfache von 4, 36 y 9

 

4=2^2 \hspace{2cm} 36=2^2\cdot 3^2 \hspace{2cm} 9=3^2

 

\text{m.c.m}(4,36,9)=36

 

Teile den gemeinsamen Nenner durch jeden Nenner und multipliziere das Ergebnis mit dem entsprechenden Zähler

 

9(x-1)-(x-5)=4(x+5)

 

Multipliziere mit der Distributiv-Eigenschaft der Klammern die erste mit 9, die zweite mit -1 und die dritte mit 4.

 

9x-9-x+5=4x+20

 

Gruppiere gleiche Terme zusammen

 

9x-x-4x=20+9-5

 

Addiere die gleichen Terme und löst nach x auf

 

4x=24 \hspace{2cm} x=6

 

9 \displaystyle \frac{3x+1}{7}-\frac{2-4x}{3}=\frac{-5x-4}{14}+\frac{7x}{6}

 

\displaystyle \frac{3x+1}{7}-\frac{2-4x}{3}=\frac{-5x-4}{14}+\frac{7x}{6}

Um die Nenner zu entfernen, musst du das kleinste gemeinsame Vielfache von 7,3,14 und 6 finden.

 

14=2\cdo 7 \hspace{2cm} 6=2\cdot 3

 

\text{m.c.m}(7,3,14,6)=42

 

Teile den gemeinsamen Nenner durch jeden Nenner und multiplizierst das Ergebnis mit dem entsprechenden Zähler

 

6(3x+1)-14(2-4x)=3(-5x-4)+49x

 

Multipliziere unter Verwendung der Distributiv-Eigenschaft zur Auflösung der Klammern die erste Klammer mit 6, die zweite mit -14, und die dritte Klammer mit 3.

 

18x+6-28+56x=-15x-12+49x

 

Fasse gleiche Terme zusammen

 

18x+56x+15x-49x=-12-6+28

 

Addiere die gleichen Terme und löse nach x auf

 

40x=10 \hspace{2cm} 4x=1 \hspace{2cm} x=\frac{1}{4}

 

10 \displaystyle \frac{5}{x-7}=\frac{3}{x-2}

 

\displaystyle \frac{5}{x-7}=\frac{3}{x-2}

Damit die Gleichheit der beiden Brüche erfüllt ist, muss das Produkt der Zwecke gleich dem Produkt der Mittel sein.

Als Alternative kannst du auch das kleinste gemeinsame Vielfache finden, das (x-7)\cdot (x-2) ist, weil die beiden Binome nicht kürzbar sind. Dann teilst du den Mittelwert durch jeden Nenner und das Ergebnis wird mit dem entsprechenden Zähler multipliziert.

 

5(x-2)=3(x-7)

 

Unter Verwendung der Distributiv-Eigenschaft zur Auflösung der Klammern multiplizierst du die erste Klammer mit 5 und die zweite mit 3.

 

5x-10=3x-21

 

Addiere die gleichen Terme

 

5x-3x=-21+10

 

Löse die Unbekannte:

 

\displaystyle 2x=-11 \hspace{2cm} x=-\frac{11}{2}

 

11 \displaystyle \frac{4}{x-3}=\frac{5}{x-2}

 

\displaystyle \frac{4}{x-3}=\frac{5}{x-2}

Damit die Gleichheit der beiden Brüche erfüllt ist, muss der Extremwert dem Mitelwert entsprechen.

Als Alternative kannst du auch das kleinste gemeinsame Vielfache finden, das \displaystyle (x-3)\cdot (x-2) ist, weil die beiden Binome nicht kürzbar sind. Dann teilst du den Mittelwert durch jeden Nenner und das Ergebnis wird mit dem entsprechenden Zähler multipliziert.

 

\displaystyle 4(x-2)=5(x-3)

 

Multipliziere unter nter Verwendung der Distributiv-Eigenschaft zur Auflösung der Klammern die erste Klammer mit 4 und die zweite mit 5.

 

\displaystyle 4x-8=5x-15

 

Gruppiere gleiche Terme zusammen

 

\displaystyle -8+15=5x-4x

 

Löse die Unbekannte:

 

\displaystyle x=7

 

12 \displaystyle 6\left(\frac{x+1}{8}-\frac{2x-3}{16}\right) =3\left(\frac{3}{4}x-\frac{1}{4}\right) -\frac{3}{8}(3x-2)

 

\displaystyle 6\left(\frac{x+1}{8}-\frac{2x-3}{16}\right) =3\left(\frac{3}{4}x-\frac{1}{4}\right) -\frac{3}{8}(3x-2)

Unter Verwendung der Distributiv-Eigenschaft zur Auflösung der Klammern multipliziert man die erste Klammer mit 6, die zweite mit 3 und die dritte mit \displaystyle \frac{3}{8} .

 

Gut zu wissen: Wenn eine ganze Zahl mit einem Bruch multipliziert wird, löst du diesen, indem die ganze Zahl mit dem Zähler des Bruchs multipliziert wird und der Nenner derselbe bleibt.

 

\displaystyle \frac{6(x+1)}{8}-\frac{6(2x-3)}{16}=\frac{9}{4}x-\frac{3}{4}-\frac{9}{8}x+\frac{6}{8}

 

Verwende die distributive Eigenschaft, um oben im Bruch die Klammern aufzulösen

 

\displaystyle \frac{6x+6}{8}-\frac{12x-18}{16}=\frac{9}{4}x-\frac{3}{4}-\frac{9}{8}x+\frac{6}{8}

 

Um die Nenner zu entfernen, musst du das kleinste gemeinsame Vielfache von 4, 8 und 16 finden.

 

\displaystyle 4=2^2 \hspace{1cm} 8=2^3 \hspace{1cm} 16=2^4

\displaystyle \text{m.c.m}(8,16,4)=16

 

Dividiere den gemeinsamen Nenner durch jeden Nenner und multiplizierst das Ergebnis mit dem entsprechenden Zähler.

 

\displaystyle 2(6x+6)-(12x-18) =36x-12-18x+12

 

Verwende die Distributiv-Eigenschaft, um die Klammern aufzulösen, multiplizierst die erste Klammer mit 2 und vereinfachst unter Beachtung des Vorzeichenwechsels.

 

\displaystyle 12x+12-12x+18=36x-12-18x+12

 

Fasse gleiche Terme zusammen

 

\displaystyle 12+18=36x-18x

 

Löse die Unbekannte:

 

\displaystyle 18x=30 \hspace{2cm} 3x=5 \hspace{2cm} x=\frac{5}{3}

 

13 \displaystyle 2-\left[-2\cdot (x+1) -\frac{x-3}{2}\right] =\frac{2x}{3}-\frac{5x-3}{12}+3x

 

\displaystyle 2-\left[-2\cdot (x+1) -\frac{x-3}{2}\right] =\frac{2x}{3}-\frac{5x-3}{12}+3x

In diesem Fall ist es zweckmäßig, zunächst den Term -2(x+1) aufzulösen. Beim Auflösen kannst du die eckige Klammer durch eine normale Klammer ersetzen.

 

\displaystyle 2-\left(-2x-2-\frac{x-3}{2}\right) =\frac{2x}{3}-\frac{5x-3}{12}+3x

 

Multipliziere die Terme innerhalb der Klammern mit -1, so dass du das negative Vorzeichen und die Klammern aus der Gleichung entfernen kannst:

 

\displaystyle 2+2x+2+\frac{x-3}{2} =\frac{2x}{3}-\frac{5x-3}{12}+3x

 

Um die Nenner zu entfernen, musst du das kleinste gemeinsame Vielfache von 2,3 und 12 finden.

 

\displaystyle 12=2^2\cdot 3

\displaystyle  \text{m.c.m}(2, 3, 12) = 12

 

\displaystyle 24+24x+24+6\cdot (x-3)=8x-(5x-3)+36x

 

Multipliziere nter Verwendung der Distributiv-Eigenschaft zur Auflösung der Klammern die erste Klammer mit 6 und die zweite mit -1 auf:

 

\displaystyle 24+24x+24+6x-18=8x-5x+3+36x

 

Gruppiere gleiche Terme zusammen:

 

\displaystyle 24x+6x-8x+5x-36x=3-24-24+18

 

Addieret:

 

\displaystyle -9x=-27

Teile die beiden Mitglieder durch -9

 

\displaystyle \frac{-9x}{-9}=\frac{-27}{-9} \hspace{2cm} x=3

14 \displaystyle \frac{2}{3}\left[x-\left(1-\frac{x-2}{3}\right)\right] +1=x

 

\displaystyle \frac{2}{3}\left[x-\left(1-\frac{x-2}{3}\right)\right] +1=x

Multipliziere die Terme innerhalb der Klammer durch -1, so dass du das negative Vorzeichen und die Klammer aus der Gleichung entfernen und die eckige durch eine runde Klammer ersetzen kannst.

 

\displaystyle \frac{2}{3}\left(x-1+\frac{x-2}{3}\right)+1=x

 

Verwende die Distributiv-Eigenschaft, um die Klammern aufzulösen.

Gut zu wissen: Wenn du einen Bruch mit einem anderen multiplizierst, musst du den Zähler mit dem Zähler und den Nenner mit dem Nenner multiplizieren.

 

\displaystyle \frac{2}{3}x -\frac{2}{3}+\frac{2x-4}{9}+1=x

 

Um die Nenner zu entfernen, muss man das kleinste gemeinsame Vielfache von 3 und 9 finden.

 

\displaystyle 9=3^2

\displaystyle \text{m.c.m}(3,9)=9

 

\displaystyle 6x-6+2x-4+9=9x

 

Fasse gleiche Terme zusammen:

 

\displaystyle 6x+2x-9x=6+4-9

 

Addiere und löse nach x auf:

\displaystyle -x=1 \hspace{2cm} x=-1

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Anna