Ein Gleichungssystem ist nichtlinear, wenn mindestens eine seiner Gleichungen nicht vom ersten Grad ist.

Beispiel:

\left\{\begin{matrix} x^2+y^2=25\\ x+y=7 \ \ \ \ \end{matrix}\right.

 

Schritte der Substitutionsmethode

 

Die Auflösung dieser Systeme erfolgt in der Regel durch die Substitutionsmethode, dazu werden die folgenden Schritte befolgt:

 

\left\{\begin{matrix} x^2+y^2=25\\ x+y=7 \ \ \ \ \end{matrix}\right.

 

1 Eliminiere eine Unbekannte in einer der Gleichungen, vorzugsweise in der linearen Gleichung.

 

y=7-x

 

2 Setze den Wert der Unbekannten in die andere Gleichung.

x^2+(7-x)^2=25

 

3 Löse die resultierende Gleichung.

 

x^2+49-14x+x^2=25

 

2x^2-14x+24=0

 

x^2-7x+12=0

 

\displaystyle x=\frac{7\pm \sqrt{49-48}}{2}=\frac{7\pm 1}{2}

 

x_1 =4

 

x_2 =3

 

4 Setze jeden der erhaltenen Werte in die andere Gleichung ein und du erhältst die entsprechenden Werte der anderen Unbekannten.

 

x=3 \hspace{2cm} y=7-3 \hspace{2cm} y=4

 

x=4 \hspace{2cm} y=7-4 \hspace{2cm} y=3

 

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Gleichungssysteme: Aufgaben mit Lösungen

 

1 \left\{\begin{matrix} x+y=7\\ x\cdot y =12 \end{matrix}\right.

 

1 Löse eine Unbekannte in der linearen Gleichung

y=7-x

 

2 Setze sie in die andere Gleichung ein

 x\cdot (7-x)=12

Berechne

7x-x^2=12

Du stellst fest, dass es sich um folgende quadratische Gleichung handelt:

x^2-7x+2=0

3 Löse auf

Durch die abc-Formel weißt du, dass

\displaystyle  x=\frac{7\pm \sqrt{49-48}}{2}=\frac{7\pm 1}{2}

x_1 =4

x_2 =3

4 Erhalte den Wert der anderen Unbekannten

x=4 \hspace{2cm} y=7-4 \hspace{2cm} y=3

x=3 \hspace{2cm} y=7-3 \hspace{2cm} y=4

 

2\left\{\begin{matrix} x^2+y^2=169\\ x+y=17 \ \ \ \ \end{matrix}\right.

 

1 Löse eine Unbekannte in der linearen Gleichung

x=17-y

2 Setze sie in die andere Gleichung ein

(17-y)^2+y^2=169

Berechne

289-34y+y^2+y^2=169

2y^2 -34y+120=0

Du stellst, dass es sich um die folgende quadratische Gleichung handelt:

y^2-17y+60=0

3 Löse auf

Durch die abc-Formel weißt du, dass

\displaystyle  y=\frac{17\pm \sqrt{289-240}}{2}=\frac{17\pm 7}{2}

y_1 =12

y_2 =5

4 Erhalte den Wert der anderen Unbekannten

y=12 \hspace{2cm} x=17-12 \hspace{2cm} x=5

y=5 \hspace{2cm} x=17-5 \hspace{2cm} x=12

 

3 \left\{\begin{matrix} y^2-2y+1=x\\ \sqrt{x}+y=5 \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.

 

1 Eliminiere eine Unbekannte aus einer der Gleichungen
In diesem Fall gibt es keinen ersten Grad, aber wir stellen fest, dass x bereits in der ersten Gleichung eliminiert wurde.

x=y^2-2y+1

2 Setze sie in die andere Gleichung ein

\sqrt{y^2-2y+1}+y=5

Löse die Wurzel auf

\sqrt{y^2-2y+1}=5-y

Quadriere

\left(\sqrt{y^2-2y+1}\right)^2=(5-y)^2

Berechne

y^2-2y+1=25-10y+y^2

10y-2y=25-1

3 Löse auf

8y=24

y =3

4 Erhalte den Wert der anderen Unbekannten

y=3 \hspace{2cm} x=3^2-2\cdot 3+1 \hspace{2cm} x=9-6+1=4

 

4 \displaystyle  \left\{\begin{matrix} \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=13 \\ \\ \frac{1}{x}-\frac{1}{y}=1 \ \ \ \end{matrix}\right.

 

1 Änderung der Variablen Durch Änderung der Variablen

\displaystyle  u=\frac{1}{x} \hspace{2cm} v=\frac{1}{y}

stellst du fest, dass die ursprüngliche Gleichung folgendermaßen lauten würde:

\left\{\begin{matrix} u^2+v^2=13\\ u-v=1 \ \ \ \end{matrix}\right.

2 Eliminiere eine der Unbekannten aus einer der Gleichungen

u=1+v

3 Setze sie in die andere Gleichung ein

(1+v)^2+v^2=13

Berechne

1+2v+v^2+v^2=13

2v^2+2v-12=0

v^2+v-6=0

4 Löse auf

Dank der abc-Formel weißt du, dass

\displaystyle  v=\frac{-1\pm \sqrt{1+24}}{2}=\frac{-1\pm 5}{2}

v_1=2

v_2=-3

5 Erhalte den Wert der anderen Unbekannten

v=2 \hspace{2cm} u=1+2 \hspace{2cm} u=3

v=-3 \hspace{2cm} u=1-3 \hspace{2cm} u=-2

5 Schaue dir noch einmal die Änderung der Variablen an, die du zu Beginn vorgenommen hast

Mit der Lösung von v=2

\displaystyle  v=2=\frac{1}{y} \hspace{1cm} \Rightarrow \hspace{1cm} y=\frac{1}{2}

\displaystyle  u=3=\frac{1}{x} \hspace{1cm} \Rightarrow \hspace{1cm} x=\frac{1}{3}

Mit der Lösung von v=-3

\displaystyle  v=-3=\frac{1}{y} \hspace{1cm} \Rightarrow \hspace{1cm} y=-\frac{1}{3}

\displaystyle  u=-2=\frac{1}{x} \hspace{1cm} \Rightarrow \hspace{1cm} x=-\frac{1}{2}

 

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Anna