Was ist eine Gleichung höheren Grades?

 

Eine Gleichung höheren Grades ist eine Gleichung, die wie folgt geschrieben wird:

 

a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots a_{1}x+a_{0}=0

 

wobei n>2

 

Diese Art von Gleichung kann in lineare und quadratische Faktoren zerlegt werden. Dann genügt es, jeden der Faktoren auf Null zu setzen und die resultierenden linearen und quadratischen Gleichungen zu lösen.

 

Schaue dir am Besten das folgende Beispiel an, um die Auflösungsschritte besser zu verstehen:
2x^{4}+x^{3}-8x^{2}-x+6=0

 

Verwende die Ruffini-Regel und die abc-Formel für quadratische Gleichungen, um die Gleichung zu vereinfachen.

 

I - Faktorisiere die Gleichung vierten Grades

 

Um die Gleichung E(x)=2x^{4}+x^{3}-8x^{2}-x+6 zu faktorisieren

 

1 Suche nach den Divisoren des unabhängigen Terms.

 

Der unabhängige Term ist 6, da der unabhängige Term eines Polynoms derjenige ist, der nicht mit x multipliziert wird.
Die Teiler von 6 sind:
\{\pm 1, \pm 2, \pm 3\}.

 

Du tust dies, um einen Wert zu finden, der die Gleichung E(x)=0, löst, und somit eine Wurzel der Gleichung zu finden, damit es einfacher ist, sie zu faktorisieren. Sobald die Teiler des unabhängigen Terms gefunden sind, ist der nächste Schritt:

 

2 Werte das Polynom in den Divisoren des unabhängigen Terms aus.

 

Wenn x=1

 

E(1)=2(1)^{4}+(1)^{3}-8(1)^{2}-(1)+6=2+1-8-1+6=0

 

x=1, ist daher eine Wurzel aus E(x).

 

Da du eine Wurzel gefunden hast, weißt du, dass der Term x-1 die Gleichung E(x) dividiert.

 

3 Verwende die Ruffini-Regel.

 

Mit der Ruffini-Regel ist es einfach, die Division von E(x) durch x-1 zu berechnen.
Nimmst du die Terme von E(x), die gefundene Wurzel (x=1) und platzierst sie so, wie es die Ruffini-Regel vorgibt, so erhältst du:

 

\begin{tabular}{ c c c c c c} & 2 & 1 & -8 & -1 & 6\\ 1 & & 2 & 3 & -5 & -6 \\ \hline & 2 & 3 & -5 & -6 & 0 \end{tabular}

 

Dies impliziert, dass die Division von E(x) durch die Wurzel x=1 die Gleichung E_1(x)=2x^3+3x^2-5x-6 ergibt.

 

Es gilt also E(x)=(x-1)(2x^3+3x^2-5x-6).

 

II - Faktorisiere die Gleichung dritten Grades

 

Um die im vorherigen Schritt erhaltene Gleichung E_1(x) zu faktorisieren, wird ein ähnliches Verfahren verwendet.

 

1Prüfe, ob sich die Zahl 1 als wiederholte Wurzel erweist, d. h., dass x=1 auch eine Lösung der Gleichung E_1(x) ist, und werte aus:

 

E_{1}(1)=2(1)^3+3(1)^2-5(1)-6=2+3-5-6=-6 \neq 0

 

Du verstehst, dass x=1 keine sich wiederholende Wurzel ist.

 

2Prüfe, ob die verbleibenden Teiler des unabhängigen Terms der ursprünglichen Gleichung E(x) Wurzeln von E_1(x) sind.
Du stellst fest, dass mit x=-1 Folgendes gilt:

 

E_{1}(-1)=2(-1)^3+3(-1)^2-5(-1)-6=-2+3+5-6=0

 

Daher ist x=-1 eine Wurzel von  E_{1}(x).
Das heißt: x+1 teilt E_1(x).

 

3Verwende die Ruffini-Regel um E_1(x) durch x+1 zu teilen.

 

Nimm die Wurzel, die du in diesem Schritt gefunden hast (x=-1) und die Koeffizienten von E_1(x), um sie auf folgende Weise zu ordnen und erhalten:

 

\begin{tabular}{ c c c c c} & 2 & 3 & -5 & -6\\ -1 & & -2 & -1 & 6 \\ \hline & 2 & 1 & -6 & 0 \end{tabular}

 

Dies impliziert, dass das Ergebnis der Division der Ausdruck E_{2}(x)=2x^2+x-6 ist.
Das heißt, dass E_{1}(x)=(x+1)(2x^2+x-6) ist.

 

Daher musst du im Gegenzug: E(x)=(x-1)(x+1)(2x^2+x-6).

 

III - Faktorisiere die quadratische Gleichung

 

Dieser Schritt ist recht einfach, da du nur die Wurzeln des Polynoms vom Grad  2 E_{2}(x)=2x^2+x-6 finden musst..
Du kannst diese Wurzeln leicht mit der abc-Formel für quadratische Gleichungen berechnen:

 

x=\cfrac{-(1)\pm \sqrt{(1)^2-4(2)(-6)}}{2(2)}=\cfrac{-1\pm \sqrt{49}}{4}=\cfrac{-1\pm 7}{4}

 

Dann sind die Wurzeln von E_{2}(x):
x_{1}=-2
x_{2}=\displaystyle \frac{3}{2} .

 

Dies impliziert, dass E_{2}(x)=(x+2)(x-\displaystyle \frac{3}{2}).

 

Daraus kannst du schließen, dass:
E(x)=(x-1)(x+1)(x+2)(x-\displaystyle \frac{3}{2}).

Lösungen

 

x=1,\ x=-1,\ x=-2,\ x=\frac{3}{2}

 

Faktorisierung

 

(x-1)(x+1)(x-\frac{3}{2})(x+2)

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Anna