Kapitel
Gleichungsübungen
1Löse die unten stehende Gleichung:
1Führe die Multiplikationen auf beiden Seiten der Gleichung durch
2Addiere und subtrahiere gleiche Terme auf beiden Seiten der Gleichung
3Um
zu eliminieren, addierst du zunächst 
auf beiden Seiten der Gleichung und vereinfachst
4Um zu erhalten, multiplizierst du nun auf beiden Seiten der Gleichung mit 
und vereinfachst
Somit ist 
die Lösung der Gleichung
2Löse die unten stehende Gleichung:
1Führe die Multiplikationen durch
2Addiere und subtrahiere gleiche Terme auf beiden Seiten der Gleichung
3Um zu eliminieren, subtrahierst du zunächst und 
auf beiden Seiten der Gleichung und vereinfachst
4Um zu erhalten, multiplizierst du nun auf beiden Seiten der Gleichung mit 
und vereinfachst
Somit ist 
die Lösung der Gleichung
3Löse die unten stehende Gleichung:
1Berechne das kleinste gemeinsame Vielfache 
2Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen
3Addiere und subtrahiere gleiche Terme auf beiden Seiten der Gleichung
4Um zu eliminieren, subtrahierst du zunächst 
und addierst 
auf beiden Seiten der Gleichung und vereinfachst
5Um , zu erhalten, multiplizierst du nun auf beiden Seiten der Gleichung mit und vereinfachst
Somit ist 
die Lösung der Gleichung
4Löse die unten stehende Gleichung:
1Führe die Multiplikationen durch und vereinfache die Brüche
2Berechne die 
der Nenner
3Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen
4Addiere und subtrahiere gleiche Terme auf beiden Seiten der Gleichung
5Um zu eliminieren, multiplizierst du auf beiden Seiten der Gleichung mit 
und vereinfachst
Somit ist 
die Lösung der Gleichung
5Löse die unten stehende Gleichung:
1Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit 
und 
und vereinfache
2Führe die Multiplikationen durch
3Subtrahiere und addiere 
auf beiden Seiten der Gleichung
Somit ist die Lösung der Gleichung
6Löse die unten stehende Gleichung:
1Löse zuerst die eckigen Klammern auf
2Berechne das kleinste gemeinsamen Vielfache 
der Nenner
3Multipliziere dann beide Seiten der Gleichung mit 
4Addiere und subtrahiere gleiche Terme
5Subtrahiere nun 
und 
auf beiden Seiten der Gleichung
6Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit
Somit ist 
die Lösung der Gleichung
7Löse die unten stehende Gleichung:
1Löse diese Gleichung mit der abc-Formel für quadratische Gleichungen
Die Wurzeln sind
2Die Wurzeln der Gleichung sind die Lösungen der Gleichung. Die gesuchten Lösungen sind also und 
8Löse die unten stehende Gleichung:
1Löse diese Gleichung mit der abc-Formel für quadratische Gleichungen
Da es in den reellen Zahlen keine Wurzeln negativer Zahlen gibt, weißt du, dass die Gleichung keine reellen Lösungen hat.
9Löse die unten stehende Gleichung:
1Löse diese Gleichung mit der abc-Formel für quadratische Gleichungen
Die Wurzeln sind
2Die Wurzeln der Gleichung sind die Lösungen der Gleichung. Die gesuchten Lösungen sind also 
und 
10Löse die unten stehende Gleichung:
1Löse diese Gleichung mit der abc-Formel für quadratische Gleichungen
Die Wurzeln sind
2Die Wurzeln der Gleichung sind die Lösungen der Gleichung. Die gesuchten Lösungen sind also 
und 
Anwendungsprobleme
11Ein Vater ist 35 Jahre alt und sein Sohn ist 5 Jahre alt. Nach wie vielen Jahren wird das Alter des Vaters dreimal so hoch sein wie das Alter des Sohnes?
1Das aktuelle Alter des Vaters ist 35 und das des Sohnes ist 5, während die Jahre sind, die vergehen müssen, damit die gegebene Bedingung erfüllt wird
2Schreibe die gegebene Bedingung in Form einer Gleichung
3Multipliziere anschließend
4Subtrahiere nun 
und 
auf beiden Seiten der Gleichung
5Um aufzulösen, multiplizierst du beide Seiten der Gleichung mit und vereinfachst
6In 
Jahren wird das Alter des Vaters dreimal so hoch sein wie das seines Sohnes.
12Subtrahiert man eine Zahl zweimal durch die Hälfte, erhält man 54. Wie lautet die Zahl?
1Da du die angeforderte Zahl nicht kennst, verwendest du dafür die Variable
2Schreibe die gegebene Bedingung in Form einer Gleichung
3Multipliziere nun auf beiden Seiten der Gleichung mit 2
4Multipliziere mit 
auf beiden Seiten der Gleichung
5Die gesuchte Zahl ist 
13Die Grundfläche eines Rechtecks ist doppelt so groß wie seine Höhe. Was sind seine Abmessungen, wenn der Umfang 30 cm beträgt?
1Stelle die Höhe durch dar, also ist die Grundfläche 
2Schreibe die Umfangsbedingung in Form der Gleichung
3Führe die Multiplikationen durch und addiere gleiche Terme
4Multipliziere nun mit 
auf beiden Seiten der Gleichung
5Die Höhe ist 
und die Grundfläche ist 
14In einer Versammlung gibt es doppelt so viele Frauen wie Männer und dreimal so viele Kinder wie Männer und Frauen zusammen. Wie viele Männer, Frauen und Kinder sind anwesend, wenn die Versammlung aus 96 Personen besteht?
1Stelle die Anzahl der Männer durch dar, also ist die Anzahl der Frauen und die Anzahl der Kinder ist 
2Schreibe die gegebene Bedingung in Form einer Gleichung
3Führe die Multiplikationen durch und addiere gleiche Terme
4Multipliziere nun mit 
auf beiden Seiten der Gleichung
5Die Anzahl der Männer beträgt 
, die Anzahl der Frauen beträgt 
und die Anzahl der Kinder beträgt 
15 
eines Ölkanisters wurde verbraucht. Man füllt 
auf und der Kanister ist zu 
gefüllt. Berechne das Fassungsvermögen des Kanisters.
1 steht für das Fassunsvermögen des Kanisters, und da bereits verbraucht wurde, bleibt folgendes übrig:
2Beziehe dich nun auf die und schreibe die zweite Bedingung in Form der Gleichung
3Multipliziere mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen 
auf beiden Seiten der Gleichung
4Subtrahiere nun 
und 
auf beiden Seiten der Gleichung
5Multipliziere anschließend mit 
auf beiden Seiten der Gleichung
6Das Fassungsvermögen des Kanisters beträgt 
16Ein Bauernhof hat Schweine und Truthähne, insgesamt sind es 35 Köpfe und 116 Beine. Wie viele Schweine und Truthähne gibt es?
1 steht für die Anzahl der Köpfe von Schweinen, und da es insgesamt 35 Köpfe gibt, ist 
die Anzahl der Köpfe von Truthähnen
2Stelle nun die Gleichung für die Beine auf. Die Schweine haben 4 Beine und die Truthähne 2 Beine.
3Multipliziere und addiere dann gleiche Terme
4Subtrahiere 
auf beiden Seiten der Gleichung
5Multipliziere anschließend mit 
auf beiden Seiten der Gleichung
6Es gibt 
Schweine und 
Truthähne.
17Luis machte eine Fahrt mit dem Auto, bei der er 
Benzin verbrauchte. Die Fahrt erfolgte in zwei Etappen: In der ersten Etappe verbrauchte er 
des im Tank befindlichen Benzins und in der zweiten Etappe die Hälfte des restlichen Benzins. Du wirst nach der Anzahl der Liter Benzin, die er im Tank hatte, und nach den in jeder Etappe verbrauchten Litern gefragt.
1 steht für die Anzahl der Liter Benzin im Tank
2Stelle die Bedingung der ersten Etappe mathematisch dar
3Und dann die Bedingung der zweiten Etappe
4Um die Benzinmenge im Tank zu ermitteln, addierst du die in beiden Etappen verbrauchte Menge, die gleich ist wie
5Multipliziere nun mit 
auf beiden Seiten der Gleichung
6Multipliziere anschließend mit 
auf beiden Seiten der Gleichung
Somit hatte der Tank 
In der ersten Etappe wurde 
, verbraucht, während in der zweiten Etappe 
verbraucht wurde
18In einer Buchhandlung kauft Anna mit einem Drittel ihres Geldes ein Buch und mit zwei Dritteln des verbliebenen Geldes ein Comic-Heft. Als sie die Buchhandlung verließ, hatte sie 12 €. Wie viel Geld hatte Anna vor dem Einkauf?
1 steht für das Gesamtgeld
2Stelle die Bedingung für den Kauf des Buches mathematisch dar
3Stelle auch die Bedingung für den Kauf des Comics mathematisch dar
4Um den Geldbetrag zu ermitteln, den sie vor dem Einkauf hatte, musst du die Kosten für das Buch und den Comic mit dem Geld, das übrig blieb, zusammenrechnen
5Multipliziere mit 
auf beiden Seiten der Gleichung und addiere gleiche Terme
6Subtrahiere nun 
und 
auf beiden Seiten der Gleichung
7Multipliziere anschließend mit auf beiden Seiten der Gleichung
Anna hatte also 
€ vor dem Einkauf
19Ein Lastwagen verlässt eine Stadt mit einer Geschwindigkeit von 40 km/h. Eine Stunde später verlässt ein Auto die gleiche Stadt und fährt mit 60 km/h in dieselbe Richtung. Ermitteln Sie die Zeit, die benötigt wird, um den Lastwagen zu erreichen.
1
steht für die Zeit des Lastwagens und 
für die Zeit des Autos
2Beide Fahrzeuge fahren die gleiche Strecke, daher gilt:
3Multipliziere nun
4Subtrahiere 
auf beiden Seiten der Gleichung
4Multipliziere anschließend mit 
auf beiden Seiten der Gleichung
Damit sich die Fahrzeuge gegenseitig erreichen, braucht der Lkw also 
während der Pkw 
braucht
20Die beiden Ziffern einer Zahl sind aufeinanderfolgend. Die Größere ist der Zehner und die Kleinere ist der Einser. Die Zahl ist gleich dem Sechsfachen der Summe der Ziffern. Wie lautet die Zahl?
1 steht für die Nummer der Einser, und 
für die Nummer der Zehner
2Wenn du eine zweistellige Zahl hast, zum Beispiel 
, kannst du sie wie folgt zerlegen:
3Die zweistellige Zahl ist 
, mit folgender Bedingung:
4Subtrahiere nun 
und auf beiden Seiten der Gleichung
5Multipliziere anschließend auf beiden Seiten der Gleichung mit 
und erhalte 
Die gesuchte Zahl ist also:
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