Kapitel
- Quadratische Gleichungen
- Lösen von unvollständigen quadratischen Gleichungen
- Untersuchung der Lösungen
- Eigenschaften der Lösungen
- Rationale Gleichungen
- Biquadratische Gleichungen
- Irrationale Gleichungen
- Lösungsschritte für irrationale Gleichungen
- Gleichungen höheren Grades
- Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Unbekannten
- Nichtlineare Gleichungssysteme
Quadratische Gleichungen
Eine quadratische Gleichung liegt beliebig in dieser Form vor:
con 
Sie wird durch die folgende Formel gelöst:
Für den Fall, dass 
, multiplizierst du die beiden Glieder mit 
Lösen von unvollständigen quadratischen Gleichungen
Erster Typ der unvollständigen quadratischen Gleichung
Die Lösung ist 
Zweiter Typ der unvollständigen quadratischen Gleichung
Extrahiere den gemeinsamen Faktor 
.
Setze jeden Faktor auf 
und löse die linearen Gleichungen.
Dritter Typ der unvollständigen quadratischen Gleichung
Eliminiere:
Die beiden möglichen Lösungen 
werden wie folgt berechnet:
Untersuchung der Lösungen
Wie du bereits weißt, liegen quadratische Gleichungen in folgender Form vor:
mit
und werden wie folgt aufgelöst:
wird die Diskriminante der Gleichung genannt und ermöglicht es, in jeder Gleichung die Anzahl der Lösungen herauszufinden.
Du kannst drei Fälle unterscheiden:
Erster Fall
In diesem Fall, wenn die Determinante größer als ist, hat die Gleichung zwei Lösungen, die unterschiedliche reelle Zahlen sind.
Zweiter Fall
In diesem Fall, wenn die Determinante gleich ist, hat die Gleichung eine Doppellösung.
Dritter Fall
In diesem Fall, wenn die Determinante kleiner als ist, hat die Gleichung keine reellen Lösungen.
Eigenschaften der Lösungen
Die Summe der Lösungen einer quadratischen Gleichung ist gleich:
Das Produkt der Lösungen einer quadratischen Gleichung ist gleich:
Die quadratische Gleichung aus ihren Lösungen
Wenn du die Wurzeln einer Gleichung kennst, kannst du sie wie folgt schreiben:
Wobei 
ist
Faktorisierung eines quadratischen Trinoms
Rationale Gleichungen
Rationale Gleichungen sind Gleichungen, in denen Polynombrüche vorkommen.
Um sie zu lösen, multiplizierst du beide Glieder der Gleichung mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Nenner.
Du musst die Lösungen überprüfen, um mögliche seltsame Lösungen auszuschließen, die aus der umgewandelten Gleichung stammen (die sich aus der Multiplikation mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen ergibt), die aber nicht aus der ursprünglichen Gleichung stammen.
Biquadratische Gleichungen
Biquadratische Gleichungen sind Gleichungen vierten Grades, die keine Terme ungeraden Grades enthalten:
Um sie zu lösen, nimmst du folgende Änderung vor:
Dies ergibt eine quadratische Gleichung mit der Unbekannten 
:
Für jeden positiven Wert von gibt es zwei Werte von :
Irrationale Gleichungen
Irrationale Gleichungen sind solche, die mindestens ein Polynom unter dem Vorzeichen des Radikals haben.
Lösungsschritte für irrationale Gleichungen
1 Isoliere ein Radikal in einem der beiden Glieder und bringe den Rest der Terme auf die andere Seite der Gleichung, auch wenn diese ebenfalls Radikale haben.
2 Quadriere auf beiden Seiten.
3 Löse die erhaltene Gleichung.
4 Überprüfe, ob die erhaltenen Lösungen die Anfangsgleichung bestätigen. Du musst berücksichtigen, dass du beim Quadrieren einer Gleichung eine andere Gleichung erhältst, die die gleichen Lösungen wie die gegebene hat. Zusätzlich musst du wissen, dass sich das Vorzeichen eines der Glieder der erhaltenen Gleichung ändert.
5 Wiederhole die ersten beiden Phasen des Prozesses, wenn die Gleichung mehrere Radikale enthält, bis schließlich alle Radikale eliminiert sind.
Gleichungen höheren Grades
Es handelt sich dabei um eine Gleichung beliebigen Grades und liegt in folgender Form von:
Das Polynom 
kann in lineare und quadratische Faktoren zerlegt werden. Dann genügt es, jeden der Faktoren gleich Null zu setzen und die resultierenden linearen und quadratischen Gleichungen zu lösen.
Verwende den Restsatz und die Ruffini-Regel.
Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Unbekannten
Gauß-Verfahren
Diese Methode besteht darin, die Reduktionsmethode so anzuwenden, dass du in jeder Gleichung eine Unbekannte weniger hast als in der vorangegangenen Gleichung.
1 Setze als erste Gleichung diejenige mit dem kleinsten Koeffizienten in ein.
2 Führe eine Reduktion mit der ersten und zweiten Gleichung durch, um aus der zweiten Gleichung zu eliminieren. Setze dann als zweite Gleichung das Ergebnis der Berechnung ein:
3 Mache das Gleiche mit der ersten und dritten Gleichung, um zu eliminieren.
4 Nimm die zweite und dritte umgeformte Gleichung, um eine Reduktion vorzunehmen und 
zu eliminieren.
5 Du erhältst das äquivalente Gleichungssystem.
6 Finde die Lösungen.
Nichtlineare Gleichungssysteme
Ein Gleichungssystem ist nichtlinear, wenn mindestens eine seiner Gleichungen nicht linear ist.
Die Auflösung dieser Systeme erfolgt in der Regel durch die Substitutionsmethode, dazu befolgt man die folgenden Schritte:
1 Eliminiere eine der Unbekannten in einer der Gleichungen, vorzugsweise in der linearen Gleichung.
2 Setze den Wert der Unbekannten in die andere Gleichung ein.
3 Löse die resultierende Gleichung.
4 Jeder der erhaltenen Werte wird in die andere Gleichung eingesetzt, wodurch du die entsprechenden Werte der anderen Unbekannten erhältst.
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